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【例3】如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$，$CA$的中点，$AH$是边$BC$上的高.
（1）求证：四边形$ADEF$是平行四边形；
（2）求证：$∠ DHF=∠ DEF$.
【解题思路】（1）由点$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$，$CA$的中点，运用中位线可证明四边形$ADEF$是平行四边形；（2）设法把$∠ DHF$转换为$∠ DAF$，在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$D$是$AB$中点，可以证明$∠ DAH=∠ DHA$，在$\mathrm{Rt}△ AHC$中，$F$是$AC$中点，可以证明$∠ FAH=∠ FHA$，故可以证明$∠ DHF=∠ DEF$.
【解答过程】 证明：（1）$\because$点$D$，$E$分别是$AB$，$BC$的中点，$\therefore DE// AC$；同理：$EF// AB$，$\therefore$四边形$ADEF$是平行四边形；
（2）$\because$四边形$ADEF$是平行四边形，$\therefore ∠ DAF=∠ DEF$. $\because$在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$D$是$AB$中点，$\therefore DH=\frac{1}{2}AB=AD$，$\therefore ∠ DAH=∠ DHA$，同理：$∠ FAH=∠ FHA$，$\therefore ∠ DAF=∠ DHF$，$\therefore ∠ DHF=∠ DEF$.
（1）求证：四边形$ADEF$是平行四边形；
（2）求证：$∠ DHF=∠ DEF$.
【解题思路】（1）由点$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$，$CA$的中点，运用中位线可证明四边形$ADEF$是平行四边形；（2）设法把$∠ DHF$转换为$∠ DAF$，在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$D$是$AB$中点，可以证明$∠ DAH=∠ DHA$，在$\mathrm{Rt}△ AHC$中，$F$是$AC$中点，可以证明$∠ FAH=∠ FHA$，故可以证明$∠ DHF=∠ DEF$.
【解答过程】 证明：（1）$\because$点$D$，$E$分别是$AB$，$BC$的中点，$\therefore DE// AC$；同理：$EF// AB$，$\therefore$四边形$ADEF$是平行四边形；
（2）$\because$四边形$ADEF$是平行四边形，$\therefore ∠ DAF=∠ DEF$. $\because$在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$D$是$AB$中点，$\therefore DH=\frac{1}{2}AB=AD$，$\therefore ∠ DAH=∠ DHA$，同理：$∠ FAH=∠ FHA$，$\therefore ∠ DAF=∠ DHF$，$\therefore ∠ DHF=∠ DEF$.
答案
证明：(1)
∵ 点D，E分别是AB，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC。
∵ 点E，F分别是BC，CA的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AB。
∵ DE//AC，EF//AB，即四边形ADEF两组对边分别平行，
∴ 四边形ADEF是平行四边形。
(2)
∵ 四边形ADEF是平行四边形，
∴ ∠DAF = ∠DEF。
∵ AH是BC边上的高，
∴ △AHB是直角三角形。
∵ D是AB的中点，
∴ 在Rt△AHB中，$DH=\frac{1}{2}AB=AD$，
∴ ∠DAH = ∠DHA。
同理，△AHC是直角三角形，F是AC的中点，
∴ $FH=\frac{1}{2}AC=AF$，
∴ ∠FAH = ∠FHA。
∵ ∠DAF = ∠DAH + ∠FAH，∠DHF = ∠DHA + ∠FHA，
∴ ∠DAF = ∠DHF。
结合∠DAF = ∠DEF，可得∠DHF = ∠DEF。
∵ 点D，E分别是AB，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC。
∵ 点E，F分别是BC，CA的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AB。
∵ DE//AC，EF//AB，即四边形ADEF两组对边分别平行，
∴ 四边形ADEF是平行四边形。
(2)
∵ 四边形ADEF是平行四边形，
∴ ∠DAF = ∠DEF。
∵ AH是BC边上的高，
∴ △AHB是直角三角形。
∵ D是AB的中点，
∴ 在Rt△AHB中，$DH=\frac{1}{2}AB=AD$，
∴ ∠DAH = ∠DHA。
同理，△AHC是直角三角形，F是AC的中点，
∴ $FH=\frac{1}{2}AC=AF$，
∴ ∠FAH = ∠FHA。
∵ ∠DAF = ∠DAH + ∠FAH，∠DHF = ∠DHA + ∠FHA，
∴ ∠DAF = ∠DHF。
结合∠DAF = ∠DEF，可得∠DHF = ∠DEF。
解析
【分析】
（1）要证明四边形ADEF是平行四边形，可依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理推导。已知D、E、F均为三角形三边的中点，可运用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，先证得DE//AC，再证得EF//AB，即可得到四边形两组对边分别平行，完成第一问的证明。
（2）要证∠DHF=∠DEF，首先由平行四边形的性质可得对角∠DEF=∠DAF，因此只需证明∠DHF=∠DAF即可。已知AH是BC边上的高，可得△AHB、△AHC均为直角三角形，D、F分别是两个直角三角形斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得DH=AD、FH=AF，再由等边对等角得到∠DAH=∠DHA、∠FAH=∠FHA，将两组等角相加即可得到∠DAF=∠DHF，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：(1)
∵ 点D，E分别是AB，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC。
∵ 点E，F分别是BC，CA的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AB。
∵ DE//AC，EF//AB，即四边形ADEF两组对边分别平行，
∴ 四边形ADEF是平行四边形。
(2)
∵ 四边形ADEF是平行四边形，
∴ ∠DAF = ∠DEF。
∵ AH是BC边上的高，
∴ △AHB是直角三角形。
∵ D是AB的中点，
∴ 在Rt△AHB中，$DH=\frac{1}{2}AB=AD$，
∴ ∠DAH = ∠DHA。
同理，△AHC是直角三角形，F是AC的中点，
∴ $FH=\frac{1}{2}AC=AF$，
∴ ∠FAH = ∠FHA。
∵ ∠DAF = ∠DAH + ∠FAH，∠DHF = ∠DHA + ∠FHA，
∴ ∠DAF = ∠DHF。
结合∠DAF = ∠DEF，可得∠DHF = ∠DEF。
【答案】
(1) 四边形ADEF是平行四边形，得证；(2) ∠DHF=∠DEF，得证。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题时需要结合中点相关的性质定理，通过等量代换实现角的转化，有助于提升对几何定理的综合运用能力，以及逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形ADEF是平行四边形，可依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理推导。已知D、E、F均为三角形三边的中点，可运用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，先证得DE//AC，再证得EF//AB，即可得到四边形两组对边分别平行，完成第一问的证明。
（2）要证∠DHF=∠DEF，首先由平行四边形的性质可得对角∠DEF=∠DAF，因此只需证明∠DHF=∠DAF即可。已知AH是BC边上的高，可得△AHB、△AHC均为直角三角形，D、F分别是两个直角三角形斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得DH=AD、FH=AF，再由等边对等角得到∠DAH=∠DHA、∠FAH=∠FHA，将两组等角相加即可得到∠DAF=∠DHF，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：(1)
∵ 点D，E分别是AB，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC。
∵ 点E，F分别是BC，CA的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AB。
∵ DE//AC，EF//AB，即四边形ADEF两组对边分别平行，
∴ 四边形ADEF是平行四边形。
(2)
∵ 四边形ADEF是平行四边形，
∴ ∠DAF = ∠DEF。
∵ AH是BC边上的高，
∴ △AHB是直角三角形。
∵ D是AB的中点，
∴ 在Rt△AHB中，$DH=\frac{1}{2}AB=AD$，
∴ ∠DAH = ∠DHA。
同理，△AHC是直角三角形，F是AC的中点，
∴ $FH=\frac{1}{2}AC=AF$，
∴ ∠FAH = ∠FHA。
∵ ∠DAF = ∠DAH + ∠FAH，∠DHF = ∠DHA + ∠FHA，
∴ ∠DAF = ∠DHF。
结合∠DAF = ∠DEF，可得∠DHF = ∠DEF。
【答案】
(1) 四边形ADEF是平行四边形，得证；(2) ∠DHF=∠DEF，得证。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题时需要结合中点相关的性质定理，通过等量代换实现角的转化，有助于提升对几何定理的综合运用能力，以及逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
1. 已知平行四边形的面积是$144\mathrm{cm}^2$，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，则这个平行四边形的周长为
68
cm.答案
1. 68
解析
【分析】
解题核心是利用平行四边形面积公式先求出相邻两边的长度，再计算周长。首先明确平行四边形面积=底×这条底对应的高，已知总面积和两条不同边上的高，可分别求出两个相邻底的长度；再根据平行四边形对边相等的性质，周长等于相邻两边和的2倍，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：设平行四边形相邻两边的长度分别为$ a \, \mathrm{cm} $、$ b \, \mathrm{cm} $，二者对应的高分别为$ 8\,\mathrm{cm} $、$ 9\,\mathrm{cm} $。
根据平行四边形面积公式$ S = \mathrm{底} × \mathrm{对应高} $，可列算式：
$ 8a = 144 $，解得$ a = 144 ÷ 8 = 18 $
$ 9b = 144 $，解得$ b = 144 ÷ 9 = 16 $
由平行四边形对边相等的性质，周长$ C = 2×(a + b) = 2×(18 + 16) = 68 \, (\mathrm{cm}) $
【答案】
68
【知识点】
平行四边形面积计算，平行四边形周长计算，平行四边形对边相等
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行四边形基本性质的应用，解题的关键是明确高和对应底的匹配关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用平行四边形面积公式先求出相邻两边的长度，再计算周长。首先明确平行四边形面积=底×这条底对应的高，已知总面积和两条不同边上的高，可分别求出两个相邻底的长度；再根据平行四边形对边相等的性质，周长等于相邻两边和的2倍，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：设平行四边形相邻两边的长度分别为$ a \, \mathrm{cm} $、$ b \, \mathrm{cm} $，二者对应的高分别为$ 8\,\mathrm{cm} $、$ 9\,\mathrm{cm} $。
根据平行四边形面积公式$ S = \mathrm{底} × \mathrm{对应高} $，可列算式：
$ 8a = 144 $，解得$ a = 144 ÷ 8 = 18 $
$ 9b = 144 $，解得$ b = 144 ÷ 9 = 16 $
由平行四边形对边相等的性质，周长$ C = 2×(a + b) = 2×(18 + 16) = 68 \, (\mathrm{cm}) $
【答案】
68
【知识点】
平行四边形面积计算，平行四边形周长计算，平行四边形对边相等
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行四边形基本性质的应用，解题的关键是明确高和对应底的匹配关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，AB=DC=3，则BC=
3
。答案
2. 3
解析
【分析】
解题时首先从已知的角平分线条件入手，先得到∠1和∠BAC相等，再结合∠1=∠2的条件，通过等量代换得到内错角相等，进而推出AB平行于CD；结合AB=DC的条件，可判定四边形ABCD是平行四边形，再利用等角对等边求出AD的长度，最后根据平行四边形对边相等的性质得到BC的长度。
【解析】
1. 因为AC平分∠BAD，根据角平分线的定义，可得∠1=∠BAC。
2. 已知∠1=∠2，通过等量代换得∠BAC=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AB//CD。
3. 又已知AB=DC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形。
4. 根据平行四边形的性质，对边相等，因此BC=AD。
5. 在△ADC中，∠1=∠2，根据“等角对等边”，可得AD=DC=3。
6. 因此BC=AD=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的定义；平行四边形的判定与性质；等角对等边
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是逐步利用已知的角的关系推导平行线，再判定平行四边形，结合等腰三角形的性质求解边长，侧重对基础几何定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的角平分线条件入手，先得到∠1和∠BAC相等，再结合∠1=∠2的条件，通过等量代换得到内错角相等，进而推出AB平行于CD；结合AB=DC的条件，可判定四边形ABCD是平行四边形，再利用等角对等边求出AD的长度，最后根据平行四边形对边相等的性质得到BC的长度。
【解析】
1. 因为AC平分∠BAD，根据角平分线的定义，可得∠1=∠BAC。
2. 已知∠1=∠2，通过等量代换得∠BAC=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AB//CD。
3. 又已知AB=DC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形。
4. 根据平行四边形的性质，对边相等，因此BC=AD。
5. 在△ADC中，∠1=∠2，根据“等角对等边”，可得AD=DC=3。
6. 因此BC=AD=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的定义；平行四边形的判定与性质；等角对等边
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是逐步利用已知的角的关系推导平行线，再判定平行四边形，结合等腰三角形的性质求解边长，侧重对基础几何定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AD//BC,请添加一个条件:
答案不唯一,如$AD=BC$或$AB// DC$
,使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).答案
3. 答案不唯一,如$AD=BC$或$AB// DC$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先回忆平行四边形的判定定理，结合题目给出的已知条件$AD// BC$来推导可添加的条件：平行四边形的判定中，和“一组对边平行”相关的判定有两个方向：① 让这组平行的对边相等，即可满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”；② 再添加另一组对边平行，即可满足“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，按照这两个思路就能得到符合要求的添加条件。
【解析】
我们根据平行四边形的判定定理分析：
1. 若添加条件$AD=BC$：已知$AD// BC$，且$AD=BC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD为平行四边形；
2. 若添加条件$AB// DC$：已知$AD// BC$，且$AB// DC$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD为平行四边形。
除此之外也可添加其他符合判定的条件，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AD=BC$或$AB// DC$
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对平行四边形判定定理的灵活运用，解题时结合已知条件匹配对应的判定规则即可，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们首先回忆平行四边形的判定定理，结合题目给出的已知条件$AD// BC$来推导可添加的条件：平行四边形的判定中，和“一组对边平行”相关的判定有两个方向：① 让这组平行的对边相等，即可满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”；② 再添加另一组对边平行，即可满足“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，按照这两个思路就能得到符合要求的添加条件。
【解析】
我们根据平行四边形的判定定理分析：
1. 若添加条件$AD=BC$：已知$AD// BC$，且$AD=BC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD为平行四边形；
2. 若添加条件$AB// DC$：已知$AD// BC$，且$AB// DC$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD为平行四边形。
除此之外也可添加其他符合判定的条件，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AD=BC$或$AB// DC$
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对平行四边形判定定理的灵活运用，解题时结合已知条件匹配对应的判定规则即可，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
4. 如图，在$□ ABCD$中，M，N分别为BC，CD的中点，$AM=1$，$AN=2$，$∠ MAN=60°$，AM，DC的延长线相交于点E，则AB的长为
$\frac{4}{3}$
。答案
4. $\frac{4}{3}$
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行的性质，结合M是BC中点，证明△ABM≌△ECM，得到AB=CE、AM=EM，从而求出AE的长度；再结合已知AN的长度和∠MAN=60°，判定△AEN是等边三角形，得到EN的长度；最后根据N是CD中点，用AB表示出EN的长度，列方程求解即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠B=∠ECM，∠BAM=∠E，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△ABM和△ECM中：
$\{\begin{array}{l}∠BAM=∠E \\∠B=∠ECM \\BM=CM\end{array} $
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CE，AM=EM=1，
∴AE=AM+EM=2，
又
∵AN=2，∠MAN=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴EN=AN=2，
∵N是CD的中点，
∴CN=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，
设AB=x，则CE=x，CN=$\frac{1}{2}x$，
∴EN=CE+CN=$x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，
∴$\frac{3}{2}x=2$，解得$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形章节的典型综合题，解题的关键是通过全等三角形转化线段长度，结合等边三角形的性质建立线段间的数量关系，能有效考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对边平行的性质，结合M是BC中点，证明△ABM≌△ECM，得到AB=CE、AM=EM，从而求出AE的长度；再结合已知AN的长度和∠MAN=60°，判定△AEN是等边三角形，得到EN的长度；最后根据N是CD中点，用AB表示出EN的长度，列方程求解即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠B=∠ECM，∠BAM=∠E，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△ABM和△ECM中：
$\{\begin{array}{l}∠BAM=∠E \\∠B=∠ECM \\BM=CM\end{array} $
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CE，AM=EM=1，
∴AE=AM+EM=2，
又
∵AN=2，∠MAN=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴EN=AN=2，
∵N是CD的中点，
∴CN=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，
设AB=x，则CE=x，CN=$\frac{1}{2}x$，
∴EN=CE+CN=$x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，
∴$\frac{3}{2}x=2$，解得$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形章节的典型综合题，解题的关键是通过全等三角形转化线段长度，结合等边三角形的性质建立线段间的数量关系，能有效考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，用4个全等的等边三角形按图拼成一个几何图案，从该图中可找出
3
个平行四边形。答案
5. 3
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质和平行四边形的判定方法：全等的等边三角形所有边长相等，内角均为60°；一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形。我们可以有序计数：先找由两个有公共边的等边三角形组成的四边形，逐一验证是否为平行四边形，再排除不符合的图形，避免漏数或多数。
【解析】
已知图中4个三角形是全等的等边三角形，因此所有边长相等，每个内角都是60°。
1. 最上方的正放等边三角形与中间倒放的等边三角形共用一条边，组成的四边形两组对边均等于等边三角形的边长，且对边互相平行，是平行四边形；
2. 左下方的正放等边三角形与中间倒放的等边三角形共用一条边，组成的四边形满足平行四边形的判定条件，是平行四边形；
3. 右下方的正放等边三角形与中间倒放的等边三角形共用一条边，组成的四边形满足平行四边形的判定条件，是平行四边形。
其余由3个或4个小三角形组成的图形为梯形或大三角形，均不是平行四边形，因此共有3个平行四边形。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题主要考察几何图形的计数能力和平行四边形判定的应用，解题时要有序观察图形，结合等边三角形的边、角特征判定平行四边形，养成不重复、不遗漏的计数习惯。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等边三角形的性质和平行四边形的判定方法：全等的等边三角形所有边长相等，内角均为60°；一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形。我们可以有序计数：先找由两个有公共边的等边三角形组成的四边形，逐一验证是否为平行四边形，再排除不符合的图形，避免漏数或多数。
【解析】
已知图中4个三角形是全等的等边三角形，因此所有边长相等，每个内角都是60°。
1. 最上方的正放等边三角形与中间倒放的等边三角形共用一条边，组成的四边形两组对边均等于等边三角形的边长，且对边互相平行，是平行四边形；
2. 左下方的正放等边三角形与中间倒放的等边三角形共用一条边，组成的四边形满足平行四边形的判定条件，是平行四边形；
3. 右下方的正放等边三角形与中间倒放的等边三角形共用一条边，组成的四边形满足平行四边形的判定条件，是平行四边形。
其余由3个或4个小三角形组成的图形为梯形或大三角形，均不是平行四边形，因此共有3个平行四边形。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题主要考察几何图形的计数能力和平行四边形判定的应用，解题时要有序观察图形，结合等边三角形的边、角特征判定平行四边形，养成不重复、不遗漏的计数习惯。
【难度系数】
0.7
6. 一个多边形的内角和等于$1440°$,则这个多边形是（
A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.十边形
D
）A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.十边形
答案
6. D
解析
【分析】
要解决已知多边形内角和求边数的问题，首先回忆多边形内角和的计算公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$（n为≥3的整数）。我们可以将已知的内角和数值代入公式，通过列一元一次方程求解边数n，再对应选项得出结果即可。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1440°$
方程两边同时除以$180°$，得：
$n-2=8$
移项解得：$n=10$
因此这个多边形是十边形。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查多边形内角和公式的应用，只要牢记公式，准确代入数值解方程即可快速得出答案，是多边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决已知多边形内角和求边数的问题，首先回忆多边形内角和的计算公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$（n为≥3的整数）。我们可以将已知的内角和数值代入公式，通过列一元一次方程求解边数n，再对应选项得出结果即可。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1440°$
方程两边同时除以$180°$，得：
$n-2=8$
移项解得：$n=10$
因此这个多边形是十边形。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查多边形内角和公式的应用，只要牢记公式，准确代入数值解方程即可快速得出答案，是多边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
7. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$的平分线依次与$BD$，$DC$，$BC$的延长线交于点$E$，$F$，$G$，则下列四个结论中正确的是 （
A.$AB=EG$
B.$AD=DF$
C.$AE=EF$
D.$BE=ED$
B
）A.$AB=EG$
B.$AD=DF$
C.$AE=EF$
D.$BE=ED$
答案
7. B
解析
【分析】
解决本题需结合平行四边形的性质、角平分线的定义，通过角的等量代换推导等腰三角形，进而判断边的关系：首先回忆平行四边形对边平行的性质，再利用角平分线得到相等的角，结合平行线的内错角相等，推导等角对等边，同时逐一排除错误选项即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，
∴ ∠BAF = ∠DFA（两直线平行，内错角相等），
∵ AG平分∠BAD，
∴ ∠BAF = ∠DAF，
∴ ∠DAF = ∠DFA（等量代换），
∴ AD = DF（等角对等边），故B选项正确。
对其余选项分析：
A选项：无已知条件可证明AB=EG，结论不成立；
C选项：E为BD与AF的交点，普通平行四边形中E不是AF中点，AE不一定等于EF；
D选项：若BE=ED则AG需平分BD，AG仅为∠BAD的角平分线，一般不满足该条件，结论不成立。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形的基础应用题型，解题的核心是利用平行四边形的平行线性质结合角平分线构造等腰三角形，需要学生熟练掌握几何图形的基本性质，具备基础的角和边的等量推导能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合平行四边形的性质、角平分线的定义，通过角的等量代换推导等腰三角形，进而判断边的关系：首先回忆平行四边形对边平行的性质，再利用角平分线得到相等的角，结合平行线的内错角相等，推导等角对等边，同时逐一排除错误选项即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，
∴ ∠BAF = ∠DFA（两直线平行，内错角相等），
∵ AG平分∠BAD，
∴ ∠BAF = ∠DAF，
∴ ∠DAF = ∠DFA（等量代换），
∴ AD = DF（等角对等边），故B选项正确。
对其余选项分析：
A选项：无已知条件可证明AB=EG，结论不成立；
C选项：E为BD与AF的交点，普通平行四边形中E不是AF中点，AE不一定等于EF；
D选项：若BE=ED则AG需平分BD，AG仅为∠BAD的角平分线，一般不满足该条件，结论不成立。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形的基础应用题型，解题的核心是利用平行四边形的平行线性质结合角平分线构造等腰三角形，需要学生熟练掌握几何图形的基本性质，具备基础的角和边的等量推导能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使$△ ABE ≌ △ CDF$,则添加的条件不能是 (
A.$AE=CF$
B.$BE=FD$
C.$BF=DE$
D.$∠ 1=∠ 2$
A
)A.$AE=CF$
B.$BE=FD$
C.$BF=DE$
D.$∠ 1=∠ 2$
答案
8. A
解析
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB//CD，进而推出∠ABE=∠CDF，这是证明△ABE≌△CDF已有的两个条件。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐个分析每个选项添加的条件是否能满足全等判定，无法满足的即为所求答案。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD
∴∠ABE=∠CDF
A选项：添加AE=CF，此时满足AB=CD，∠ABE=∠CDF，AE=CF，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定△ABE≌△CDF，符合题意；
B选项：添加BE=FD，此时AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=FD，满足SAS判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意；
C选项：添加BF=DE，根据等式性质，BF-EF=DE-EF，即BE=DF，同B选项，满足SAS可证全等，不符合题意；
D选项：添加∠1=∠2，此时AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠1=∠2，满足ASA判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形与全等三角形的综合题，解题的关键是先根据平行四边形的性质得到全等的基础条件，再结合全等判定定理逐一验证选项，需特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
首先根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB//CD，进而推出∠ABE=∠CDF，这是证明△ABE≌△CDF已有的两个条件。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐个分析每个选项添加的条件是否能满足全等判定，无法满足的即为所求答案。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD
∴∠ABE=∠CDF
A选项：添加AE=CF，此时满足AB=CD，∠ABE=∠CDF，AE=CF，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定△ABE≌△CDF，符合题意；
B选项：添加BE=FD，此时AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=FD，满足SAS判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意；
C选项：添加BF=DE，根据等式性质，BF-EF=DE-EF，即BE=DF，同B选项，满足SAS可证全等，不符合题意；
D选项：添加∠1=∠2，此时AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠1=∠2，满足ASA判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形与全等三角形的综合题，解题的关键是先根据平行四边形的性质得到全等的基础条件，再结合全等判定定理逐一验证选项，需特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$□ ABCD$ 的对角线交于点 $O$，且 $AB=5$，$△ OCD$ 的周长为 23，则 $□ ABCD$ 的两条对角线的和是（
A.18
B.28
C.36
D.46
C
）A.18
B.28
C.36
D.46
答案
9. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合平行四边形的性质推导相关线段的关系：首先利用平行四边形对边相等求出CD的长度，再结合△OCD的周长求出两条对角线一半的长度和，最后根据平行四边形对角线互相平分的性质，将半条对角线的和转化为两条对角线的总和即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=5（平行四边形对边相等），$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$（平行四边形对角线互相平分）
∵△OCD的周长为23
∴$OC + OD + CD = 23$
代入$CD=5$，得$OC + OD = 23 - 5 = 18$
∴平行四边形两条对角线的和为：
$AC + BD = 2OC + 2OD = 2(OC + OD) = 2×18 = 36$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的特点，将对角线和的问题转化为三角形周长相关的计算，解题时需注意区分半条对角线和整条对角线的关系，避免粗心算错结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合平行四边形的性质推导相关线段的关系：首先利用平行四边形对边相等求出CD的长度，再结合△OCD的周长求出两条对角线一半的长度和，最后根据平行四边形对角线互相平分的性质，将半条对角线的和转化为两条对角线的总和即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=5（平行四边形对边相等），$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$（平行四边形对角线互相平分）
∵△OCD的周长为23
∴$OC + OD + CD = 23$
代入$CD=5$，得$OC + OD = 23 - 5 = 18$
∴平行四边形两条对角线的和为：
$AC + BD = 2OC + 2OD = 2(OC + OD) = 2×18 = 36$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的特点，将对角线和的问题转化为三角形周长相关的计算，解题时需注意区分半条对角线和整条对角线的关系，避免粗心算错结果。
【难度系数】
0.7
