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10. 如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则AH与CH的比值是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
C
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
10. C
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，结合平行四边形的性质，对角线互相平分，可得AO是AC的一半；第二步，由E、F是AD、AB的中点，根据三角形中位线定理可知EF平行于BD；第三步，结合平行线分线段成比例，由E是AD中点、EF//BD可推出H是AO的中点，进而分别用AC表示出AH和CH的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴AO = OC = $\frac{1}{2}$AC（平行四边形的对角线互相平分）
∵E、F分别是边AD、AB的中点
∴EF是△ABD的中位线
∴EF//BD（三角形中位线平行于三角形的第三边）
在△AOD中，E为AD中点，且EH//OD
∴H是AO的中点，即AH = $\frac{1}{2}$AO
∴AH = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{4}$AC
则CH = AC - AH = AC - $\frac{1}{4}$AC = $\frac{3}{4}$AC
∴$\frac{AH}{CH}$ = $\frac{\frac{1}{4}AC}{\frac{3}{4}AC}$ = $\frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行四边形与三角形中位线结合的基础题型，解题的核心是通过中位线得到平行关系，进而推导线段的比例关系，是平面几何中常见的比例线段求解考法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步，结合平行四边形的性质，对角线互相平分，可得AO是AC的一半；第二步，由E、F是AD、AB的中点，根据三角形中位线定理可知EF平行于BD；第三步，结合平行线分线段成比例，由E是AD中点、EF//BD可推出H是AO的中点，进而分别用AC表示出AH和CH的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴AO = OC = $\frac{1}{2}$AC（平行四边形的对角线互相平分）
∵E、F分别是边AD、AB的中点
∴EF是△ABD的中位线
∴EF//BD（三角形中位线平行于三角形的第三边）
在△AOD中，E为AD中点，且EH//OD
∴H是AO的中点，即AH = $\frac{1}{2}$AO
∴AH = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{4}$AC
则CH = AC - AH = AC - $\frac{1}{4}$AC = $\frac{3}{4}$AC
∴$\frac{AH}{CH}$ = $\frac{\frac{1}{4}AC}{\frac{3}{4}AC}$ = $\frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行四边形与三角形中位线结合的基础题型，解题的核心是通过中位线得到平行关系，进而推导线段的比例关系，是平面几何中常见的比例线段求解考法。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在平行四边形ABCD中,∠C=100°,BE平分∠ABC交AD于点E,则∠AEB的度数是 (
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
B
)A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
11. B
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义求出∠EBC的度数，最后根据平行四边形对边平行的性质，利用平行线的内错角相等即可求出∠AEB的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ABC + ∠C = 180°（平行四边形对边平行，邻角互补），
∵∠C=100°，
∴∠ABC=180°-100°=80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×80°=40°，
又
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEB=40°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行四边形性质、角平分线定义、平行线性质结合考察，解题的关键是梳理清楚各角之间的数量关系，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义求出∠EBC的度数，最后根据平行四边形对边平行的性质，利用平行线的内错角相等即可求出∠AEB的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ABC + ∠C = 180°（平行四边形对边平行，邻角互补），
∵∠C=100°，
∴∠ABC=180°-100°=80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×80°=40°，
又
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEB=40°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行四边形性质、角平分线定义、平行线性质结合考察，解题的关键是梳理清楚各角之间的数量关系，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
12. 如图，$□ ABCD$ 和 $□ BFDE$ 的顶点 $A,E,F,C$ 在同一直线上，试判断 $AE$ 与 $CF$ 的关系，并说明理由。
12. 如图，$□ ABCD$ 和 $□ BFDE$ 的顶点 $A,E,F,C$ 在同一直线上，试判断 $AE$ 与 $CF$ 的关系，并说明理由。
答案
12. 相等,连接BD,根据平行四边形对角线互相平分可得结论.
解析
【分析】
要判断AE和CF的关系，观察图形可知两个平行四边形共用对角线BD，且A、E、F、C在同一直线上，可借助平行四边形对角线互相平分的性质推导：首先作辅助线连接BD，找到BD与AC的交点，分别利用两个平行四边形的对角线平分性质得到两组相等的线段，再通过线段的差运算即可推出AE和CF的数量关系。
【解析】
AE=CF，理由如下：
连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC$。
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴同理可得$OE=OF$。
∴$OA - OE = OC - OF$，即$AE=CF$。
【答案】
AE与CF相等。
【知识点】
平行四边形对角线性质；等式的性质
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，解题的核心是通过连接公共对角线BD，利用平行四边形对角线互相平分的特征推导线段关系，避免了证明三角形全等的繁琐步骤，体现了平行四边形性质解题的便捷性。
【难度系数】
0.8
要判断AE和CF的关系，观察图形可知两个平行四边形共用对角线BD，且A、E、F、C在同一直线上，可借助平行四边形对角线互相平分的性质推导：首先作辅助线连接BD，找到BD与AC的交点，分别利用两个平行四边形的对角线平分性质得到两组相等的线段，再通过线段的差运算即可推出AE和CF的数量关系。
【解析】
AE=CF，理由如下：
连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC$。
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴同理可得$OE=OF$。
∴$OA - OE = OC - OF$，即$AE=CF$。
【答案】
AE与CF相等。
【知识点】
平行四边形对角线性质；等式的性质
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，解题的核心是通过连接公共对角线BD，利用平行四边形对角线互相平分的特征推导线段关系，避免了证明三角形全等的繁琐步骤，体现了平行四边形性质解题的便捷性。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在平行四边形ABCD中,∠B=∠AFE,EA是∠BEF的平分线,求证:
(1)△ABE≌△AFE；
(2)∠FAD=∠CDE.
(1)△ABE≌△AFE；
(2)∠FAD=∠CDE.
答案
13. 证明:(1)在△ABE与△AFE中，
∠B=∠AFE,∠AEB=∠AEF,AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)；
(2)平行四边形ABCD中,
∵AD//BC,
∴∠ADF=∠DEC.
∵AB//CD,
∴∠C=180°−∠B.
又∠AFD=180°−∠AFE,∠B=∠AFE,
∴∠AFD=∠C.
在△ADF与△DEC中,由三角形内角和定理,得：
∠FAD=180°−∠ADF−∠AFD,∠CDE=180°−∠DEC−∠C，
∴∠FAD=∠CDE.
∠B=∠AFE,∠AEB=∠AEF,AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)；
(2)平行四边形ABCD中,
∵AD//BC,
∴∠ADF=∠DEC.
∵AB//CD,
∴∠C=180°−∠B.
又∠AFD=180°−∠AFE,∠B=∠AFE,
∴∠AFD=∠C.
在△ADF与△DEC中,由三角形内角和定理,得：
∠FAD=180°−∠ADF−∠AFD,∠CDE=180°−∠DEC−∠C，
∴∠FAD=∠CDE.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE≌△AFE，先梳理已知条件：题目给出∠B=∠AFE，EA是∠BEF的平分线可得∠AEB=∠AEF，再加上公共边AE=AE，刚好满足全等三角形AAS的判定条件，直接用AAS即可完成证明。
(2) 要证明∠FAD=∠CDE，首先利用平行四边形对边平行的性质，可得AD//BC推出内错角∠ADF=∠DEC，AB//CD推出同旁内角∠C与∠B互补；再结合已知∠B=∠AFE，可推出∠AFD=∠C；最后利用三角形内角和为180°，△ADF和△DEC中已有两组角对应相等，即可推出第三组角相等，得到要证的结论。
【解析】
(1) 在△ABE与△AFE中，
$\begin{cases}∠B=∠AFE \\∠AEB=∠AEF \\AE=AE\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(AAS)；
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠C=180°−∠B。
又
∵∠AFD=180°−∠AFE，∠B=∠AFE，
∴∠AFD=∠C。
在△ADF中，∠FAD=180°−∠ADF−∠AFD，
在△DEC中，∠CDE=180°−∠DEC−∠C，
∴∠FAD=∠CDE。
【答案】
(1) 已证△ABE≌△AFE；
(2) 已证∠FAD=∠CDE。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
全等三角形的判定，平行四边形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是熟练运用全等判定定理、平行四边形的性质，通过角的等量代换结合三角形内角和推导结论，能够很好地锻炼几何逻辑推理的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABE≌△AFE，先梳理已知条件：题目给出∠B=∠AFE，EA是∠BEF的平分线可得∠AEB=∠AEF，再加上公共边AE=AE，刚好满足全等三角形AAS的判定条件，直接用AAS即可完成证明。
(2) 要证明∠FAD=∠CDE，首先利用平行四边形对边平行的性质，可得AD//BC推出内错角∠ADF=∠DEC，AB//CD推出同旁内角∠C与∠B互补；再结合已知∠B=∠AFE，可推出∠AFD=∠C；最后利用三角形内角和为180°，△ADF和△DEC中已有两组角对应相等，即可推出第三组角相等，得到要证的结论。
【解析】
(1) 在△ABE与△AFE中，
$\begin{cases}∠B=∠AFE \\∠AEB=∠AEF \\AE=AE\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(AAS)；
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠C=180°−∠B。
又
∵∠AFD=180°−∠AFE，∠B=∠AFE，
∴∠AFD=∠C。
在△ADF中，∠FAD=180°−∠ADF−∠AFD，
在△DEC中，∠CDE=180°−∠DEC−∠C，
∴∠FAD=∠CDE。
【答案】
(1) 已证△ABE≌△AFE；
(2) 已证∠FAD=∠CDE。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
全等三角形的判定，平行四边形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是熟练运用全等判定定理、平行四边形的性质，通过角的等量代换结合三角形内角和推导结论，能够很好地锻炼几何逻辑推理的严谨性。
【难度系数】
0.7
1. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 （
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先明确任意多边形的外角和都是固定的360°，结合题目中“内角和是外角和的2倍”的条件，先算出该多边形的内角和；再利用多边形内角和公式（边数为n时，内角和=(n-2)×180°）列关于边数n的方程，解方程即可求出边数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和为360°，该多边形内角和是外角和的2倍，
∴该多边形的内角和为360°×2=720°。
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=720°$
解得$n-2=4$，即$n=6$。
所以这个多边形的边数为6，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查多边形内角和、外角和的基本公式，牢记相关性质即可快速解题，是多边形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确任意多边形的外角和都是固定的360°，结合题目中“内角和是外角和的2倍”的条件，先算出该多边形的内角和；再利用多边形内角和公式（边数为n时，内角和=(n-2)×180°）列关于边数n的方程，解方程即可求出边数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和为360°，该多边形内角和是外角和的2倍，
∴该多边形的内角和为360°×2=720°。
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=720°$
解得$n-2=4$，即$n=6$。
所以这个多边形的边数为6，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查多边形内角和、外角和的基本公式，牢记相关性质即可快速解题，是多边形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
2. 若一个正多边形的一个外角是$40°$，则这个正多边形的边数是（
A.10
B.9
C.8
D.6
B
）A.10
B.9
C.8
D.6
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：首先，任意多边形的外角和固定为360°，和边数无关；其次，正多边形的所有外角大小相等，且多边形的外角个数等于其边数。因此只需用多边形外角总和除以单个外角的度数，即可得到外角的个数，也就是正多边形的边数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和恒为360°，正多边形的每个外角度数相等，
∴这个正多边形的边数 = 外角和÷单个外角的度数 = $360° ÷ 40° = 9$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查多边形外角和的应用，牢记相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相关性质：首先，任意多边形的外角和固定为360°，和边数无关；其次，正多边形的所有外角大小相等，且多边形的外角个数等于其边数。因此只需用多边形外角总和除以单个外角的度数，即可得到外角的个数，也就是正多边形的边数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和恒为360°，正多边形的每个外角度数相等，
∴这个正多边形的边数 = 外角和÷单个外角的度数 = $360° ÷ 40° = 9$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查多边形外角和的应用，牢记相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB⊥AC。若 AB＝4，AC＝6，则 BD 的长是（
A.8
B.9
C.10
D.11
C
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可先求出AO的长度；再结合AB⊥AC的条件，可知△ABO是直角三角形，已知AB、AO的长度，利用勾股定理可求出BO的长，最后根据BD=2BO即可算出BD的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O
∴OA = OC = $\frac{1}{2}$AC，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD
已知AC=6，
∴OA = $\frac{1}{2}$×6 = 3
又
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，即△ABO是直角三角形
在Rt△ABO中，AB=4，OA=3，根据勾股定理得：
$BO = \sqrt{AB^2 + OA^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$
∴BD = 2BO = 2×5 = 10
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，把求BD的长度转化为求直角三角形的斜边BO的长度，熟练掌握基础性质和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可先求出AO的长度；再结合AB⊥AC的条件，可知△ABO是直角三角形，已知AB、AO的长度，利用勾股定理可求出BO的长，最后根据BD=2BO即可算出BD的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O
∴OA = OC = $\frac{1}{2}$AC，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD
已知AC=6，
∴OA = $\frac{1}{2}$×6 = 3
又
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，即△ABO是直角三角形
在Rt△ABO中，AB=4，OA=3，根据勾股定理得：
$BO = \sqrt{AB^2 + OA^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$
∴BD = 2BO = 2×5 = 10
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，把求BD的长度转化为求直角三角形的斜边BO的长度，熟练掌握基础性质和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$□ ABCD$中,已知$AD=8\ \mathrm{cm},AB=6\ \mathrm{cm},DE$平分$∠ ADC$交$BC$边于点$E$,则$BE$等于（
A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
A
）A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，首先平行四边形对边平行且相等，可得AD与BC平行、长度相等，CD与AB长度相等；再结合角平分线的定义，以及两直线平行内错角相等的性质，可推导出△DEC是等腰三角形，得到CE的长度，最后用BC的长度减去CE的长度即可求出BE的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，
∴∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CE=CD=6cm（等角对等边），
∴BE=BC-CE=8-6=2cm。
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】本题是平行四边形相关的基础题型，解题的核心是掌握“平行线+角平分线”可推出等腰三角形这一常见模型，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】0.8
解题时先从平行四边形的性质入手，首先平行四边形对边平行且相等，可得AD与BC平行、长度相等，CD与AB长度相等；再结合角平分线的定义，以及两直线平行内错角相等的性质，可推导出△DEC是等腰三角形，得到CE的长度，最后用BC的长度减去CE的长度即可求出BE的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，
∴∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CE=CD=6cm（等角对等边），
∴BE=BC-CE=8-6=2cm。
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】本题是平行四边形相关的基础题型，解题的核心是掌握“平行线+角平分线”可推出等腰三角形这一常见模型，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】0.8
