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5. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在$AD$，$BC$上，且$AE=CF$。
求证：$BE=DF$。
求证：$BE=DF$。
答案
5. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,∠A=∠C.
又
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,∠A=∠C.
又
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF.
解析
【分析】
要证明BE=DF，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知BE在△ABE中，DF在△CDF中，因此只需证明△ABE≌△CDF即可。首先利用平行四边形的性质可得到AB=CD、∠A=∠C，再结合题目给出的AE=CF的条件，就能通过“SAS”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C。
又
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF。
【答案】
证明过程如上，可证得BE=DF。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础证明题，核心是结合平行四边形的性质构造全等三角形，解题时需准确回忆相关性质和判定定理，逻辑清晰地书写证明过程即可。
【难度系数】
0.85
要证明BE=DF，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知BE在△ABE中，DF在△CDF中，因此只需证明△ABE≌△CDF即可。首先利用平行四边形的性质可得到AB=CD、∠A=∠C，再结合题目给出的AE=CF的条件，就能通过“SAS”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C。
又
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF。
【答案】
证明过程如上，可证得BE=DF。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础证明题，核心是结合平行四边形的性质构造全等三角形，解题时需准确回忆相关性质和判定定理，逻辑清晰地书写证明过程即可。
【难度系数】
0.85
1. (珠海中考题)在$□ ABCD$中，$AB=6\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，则$□ ABCD$的周长为
28
$\mathrm{cm}.$答案
1. 28
解析
【分析】
解题时首先明确所求为平行四边形的周长，回忆平行四边形的边的性质：平行四边形两组对边分别相等，因此平行四边形的周长等于2倍的相邻两边长度之和。题目已经给出相邻两边AB、BC的长度，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD=6cm，BC=AD=8cm（平行四边形的对边相等）
则$□ABCD$的周长为：
$AB+BC+CD+AD=2×(AB+BC)=2×(6+8)=28(\mathrm{cm})$
【答案】
28
【知识点】
平行四边形的性质，周长计算
【点评】
本题是基础类题型，主要考查平行四边形对边相等性质的直接应用，掌握平行四边形的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确所求为平行四边形的周长，回忆平行四边形的边的性质：平行四边形两组对边分别相等，因此平行四边形的周长等于2倍的相邻两边长度之和。题目已经给出相邻两边AB、BC的长度，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD=6cm，BC=AD=8cm（平行四边形的对边相等）
则$□ABCD$的周长为：
$AB+BC+CD+AD=2×(AB+BC)=2×(6+8)=28(\mathrm{cm})$
【答案】
28
【知识点】
平行四边形的性质，周长计算
【点评】
本题是基础类题型，主要考查平行四边形对边相等性质的直接应用，掌握平行四边形的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.（泰州中考题）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB//CD，AD//BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB//CD，AD＝BC。其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
C
）A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
2. C
解析
【分析】
解题核心是熟练掌握平行四边形的判定规则，逐一验证4组条件是否符合判定要求，同时注意排除易混淆的错误条件。首先回忆平行四边形的判定依据：包括定义（两组对边分别平行）、两组对边分别相等、对角线互相平分等，再逐个核对每个条件：①对应平行四边形的定义，②对应两组对边相等的判定定理，③对应对角线互相平分的判定定理，④要注意一组对边平行、另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，不属于平行四边形，最后统计符合要求的条件组数即可。
【解析】
我们对四组条件逐一分析：
1. 条件①：$AB// CD$，$AD// BC$，即两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，故①符合要求；
2. 条件②：$AB=CD$，$AD=BC$，即两组对边分别相等，符合平行四边形的判定定理，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，故②符合要求；
3. 条件③：$AO=CO$，$BO=DO$，即对角线互相平分，符合平行四边形的判定定理，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，故③符合要求；
4. 条件④：$AB// CD$，$AD=BC$，即一组对边平行、另一组对边相等，此时四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，无法保证一定是平行四边形，故④不符合要求。
综上，能判定为平行四边形的条件有①②③，共3组。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的定义
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题，重点考查对判定定理的掌握程度，需特别注意“一组对边平行，另一组对边相等”不是平行四边形的判定条件，做题时要注意区分这类易混淆的结论，避免掉入命题陷阱。
【难度系数】
0.7
解题核心是熟练掌握平行四边形的判定规则，逐一验证4组条件是否符合判定要求，同时注意排除易混淆的错误条件。首先回忆平行四边形的判定依据：包括定义（两组对边分别平行）、两组对边分别相等、对角线互相平分等，再逐个核对每个条件：①对应平行四边形的定义，②对应两组对边相等的判定定理，③对应对角线互相平分的判定定理，④要注意一组对边平行、另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，不属于平行四边形，最后统计符合要求的条件组数即可。
【解析】
我们对四组条件逐一分析：
1. 条件①：$AB// CD$，$AD// BC$，即两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，故①符合要求；
2. 条件②：$AB=CD$，$AD=BC$，即两组对边分别相等，符合平行四边形的判定定理，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，故②符合要求；
3. 条件③：$AO=CO$，$BO=DO$，即对角线互相平分，符合平行四边形的判定定理，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，故③符合要求；
4. 条件④：$AB// CD$，$AD=BC$，即一组对边平行、另一组对边相等，此时四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，无法保证一定是平行四边形，故④不符合要求。
综上，能判定为平行四边形的条件有①②③，共3组。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的定义
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题，重点考查对判定定理的掌握程度，需特别注意“一组对边平行，另一组对边相等”不是平行四边形的判定条件，做题时要注意区分这类易混淆的结论，避免掉入命题陷阱。
【难度系数】
0.7
3.（襄阳中考题）如图，梯形ABCD中，AD//BC，DE//AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
C
）A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AD//BC，DE//AB，可先判定四边形ABED是平行四边形，得到∠A与∠BED的等量关系；再结合DE=DC，利用等腰三角形两底角相等求出∠DEC的度数，最后根据邻补角和为180°求出∠BED的度数，即可得到∠A的大小。
【解析】
1. 已知DE=DC，∠C=80°，△DEC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可得∠DEC=∠C=80°。
2. 已知AD//BC，DE//AB，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABED是平行四边形。
3. 点E在BC上，∠BED与∠DEC互为邻补角，因此∠BED=180°-∠DEC=180°-80°=100°。
4. 根据平行四边形对角相等的性质，可得∠A=∠BED=100°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形判定与性质，等腰三角形性质，邻补角性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先判定平行四边形，再结合等腰三角形性质求解对应角，解题时需要熟练掌握基础几何性质，理清角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：AD//BC，DE//AB，可先判定四边形ABED是平行四边形，得到∠A与∠BED的等量关系；再结合DE=DC，利用等腰三角形两底角相等求出∠DEC的度数，最后根据邻补角和为180°求出∠BED的度数，即可得到∠A的大小。
【解析】
1. 已知DE=DC，∠C=80°，△DEC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可得∠DEC=∠C=80°。
2. 已知AD//BC，DE//AB，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABED是平行四边形。
3. 点E在BC上，∠BED与∠DEC互为邻补角，因此∠BED=180°-∠DEC=180°-80°=100°。
4. 根据平行四边形对角相等的性质，可得∠A=∠BED=100°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形判定与性质，等腰三角形性质，邻补角性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先判定平行四边形，再结合等腰三角形性质求解对应角，解题时需要熟练掌握基础几何性质，理清角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.（宿迁中考题）如图，$□ ABCD$中，$BC=BD$，$∠ C=74°$，则$∠ ADB$的度数是（
A.$16°$
B.$22°$
C.$32°$
D.$68°$
C
）A.$16°$
B.$22°$
C.$32°$
D.$68°$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形与等腰三角形的性质推导角度：首先回忆平行四边形对边平行的性质，可知AD和BC平行，待求的∠ADB和∠DBC是内错角，只要求出∠DBC的度数即可得解；再结合已知BC=BD，可知△BCD是等腰三角形，先利用等腰三角形等边对等角的性质得到两个底角的度数，再用三角形内角和定理即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
又
∵BC=BD，
∴△BCD为等腰三角形，∠BDC=∠C=74°，
根据三角形内角和为180°，在△BCD中：
∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-74°-74°=32°，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=32°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题型，核心是将平行四边形、等腰三角形的性质结合起来，通过平行线的性质转化待求角，解题的关键是熟练掌握常见特殊几何图形的角度相关性质。
【难度系数】
0.8
解题时先结合平行四边形与等腰三角形的性质推导角度：首先回忆平行四边形对边平行的性质，可知AD和BC平行，待求的∠ADB和∠DBC是内错角，只要求出∠DBC的度数即可得解；再结合已知BC=BD，可知△BCD是等腰三角形，先利用等腰三角形等边对等角的性质得到两个底角的度数，再用三角形内角和定理即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
又
∵BC=BD，
∴△BCD为等腰三角形，∠BDC=∠C=74°，
根据三角形内角和为180°，在△BCD中：
∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-74°-74°=32°，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=32°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题型，核心是将平行四边形、等腰三角形的性质结合起来，通过平行线的性质转化待求角，解题的关键是熟练掌握常见特殊几何图形的角度相关性质。
【难度系数】
0.8
5.（乐山中考题）如图，点E是$□ ABCD$的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，$DF=3$，$DE=2$，则$□ ABCD$的周长是（
A.5
B.7
C.10
D.14
D
）A.5
B.7
C.10
D.14
答案
5. D
解析
【分析】
解题思路：首先利用平行四边形对边平行的性质，得到△FDE和△BCE的两组对应角相等，再结合E是CD中点的条件，证明两个三角形全等，求出BC的长度；接着由DE的长度算出CD的长度，最后代入平行四边形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠F=∠EBC，∠FDE=∠C，
∵E是CD的中点，DE=2，
∴CE=DE=2，CD=2DE=4，
在△FDE和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ EBC\\ ∠ FDE=∠ C\\ DE=CE\end{array} $
∴△FDE≌△BCE（AAS），
∴BC=DF=3，
∴$□ABCD$的周长为$2×(BC+CD)=2×(3+4)=14$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形周长计算
【点评】
本题是平行四边形与全等三角形结合的基础题，解题的关键是通过平行关系找到全等所需的对应角相等，进而求出平行四边形的邻边长度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用平行四边形对边平行的性质，得到△FDE和△BCE的两组对应角相等，再结合E是CD中点的条件，证明两个三角形全等，求出BC的长度；接着由DE的长度算出CD的长度，最后代入平行四边形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠F=∠EBC，∠FDE=∠C，
∵E是CD的中点，DE=2，
∴CE=DE=2，CD=2DE=4，
在△FDE和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ EBC\\ ∠ FDE=∠ C\\ DE=CE\end{array} $
∴△FDE≌△BCE（AAS），
∴BC=DF=3，
∴$□ABCD$的周长为$2×(BC+CD)=2×(3+4)=14$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形周长计算
【点评】
本题是平行四边形与全等三角形结合的基础题，解题的关键是通过平行关系找到全等所需的对应角相等，进而求出平行四边形的邻边长度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6.（贺州中考题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.求证：
(1)BE=DF；
(2)AF//CE.
(1)BE=DF；
(2)AF//CE.
答案
6. 证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠ABD=∠CDB,
∵∠1=∠2,
∴∠AEB=∠CFD.
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF；
(2)由(1)得,△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∵∠1=∠2,EF=FE,
∴△AFE≌△CEF,
∴∠AFE=∠CEF,
∴AF//CE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠ABD=∠CDB,
∵∠1=∠2,
∴∠AEB=∠CFD.
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF；
(2)由(1)得,△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∵∠1=∠2,EF=FE,
∴△AFE≌△CEF,
∴∠AFE=∠CEF,
∴AF//CE.
解析
【分析】
(1) 要证BE=DF，可通过证明两条线段所在的△ABE和△CDF全等来推导。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB=CD、∠ABD=∠CDB，再结合∠1=∠2推出两角的补角∠AEB=∠CFD，满足AAS全等条件，即可证得△ABE≌△CDF，得到BE=DF。
(2) 要证AF//CE，可通过证明内错角∠AFE=∠CEF来推导。由(1)的全等结论可得AE=CF，结合已知∠1=∠2和公共边EF，满足SAS全等条件，证得△AFE≌△CEF，得到对应角∠AFE=∠CEF，即可推出两直线平行。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABD=∠CDB，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠AEB=∠CFD，
∴ △ABE≌△CDF（AAS），
∴ BE=DF。
(2) 由(1)得△ABE≌△CDF，
∴ AE=CF，
∵ ∠1=∠2，EF=FE，
∴ △AFE≌△CEF（SAS），
∴ ∠AFE=∠CEF，
∴ AF//CE。
【答案】
证明过程如下：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABD=∠CDB，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠AEB=∠CFD，
∴ △ABE≌△CDF，
∴ BE=DF；
(2) 由(1)得△ABE≌△CDF，
∴ AE=CF，
∵ ∠1=∠2，EF=FE，
∴ △AFE≌△CEF，
∴ ∠AFE=∠CEF，
∴ AF//CE。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查平行四边形性质和全等三角形的综合应用，解题的关键是结合图形特征，从已知条件出发寻找全等三角形的判定条件，通过全等得到线段、角的等量关系，进而完成证明，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要证BE=DF，可通过证明两条线段所在的△ABE和△CDF全等来推导。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB=CD、∠ABD=∠CDB，再结合∠1=∠2推出两角的补角∠AEB=∠CFD，满足AAS全等条件，即可证得△ABE≌△CDF，得到BE=DF。
(2) 要证AF//CE，可通过证明内错角∠AFE=∠CEF来推导。由(1)的全等结论可得AE=CF，结合已知∠1=∠2和公共边EF，满足SAS全等条件，证得△AFE≌△CEF，得到对应角∠AFE=∠CEF，即可推出两直线平行。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABD=∠CDB，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠AEB=∠CFD，
∴ △ABE≌△CDF（AAS），
∴ BE=DF。
(2) 由(1)得△ABE≌△CDF，
∴ AE=CF，
∵ ∠1=∠2，EF=FE，
∴ △AFE≌△CEF（SAS），
∴ ∠AFE=∠CEF，
∴ AF//CE。
【答案】
证明过程如下：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABD=∠CDB，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠AEB=∠CFD，
∴ △ABE≌△CDF，
∴ BE=DF；
(2) 由(1)得△ABE≌△CDF，
∴ AE=CF，
∵ ∠1=∠2，EF=FE，
∴ △AFE≌△CEF，
∴ ∠AFE=∠CEF，
∴ AF//CE。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查平行四边形性质和全等三角形的综合应用，解题的关键是结合图形特征，从已知条件出发寻找全等三角形的判定条件，通过全等得到线段、角的等量关系，进而完成证明，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
