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四、操作题。(共5分)
按要求画一画,填一填。
1. 画出三角形向下平移4格后的图形,平移后点A的对应点$A'$的位置用数对表示是( , )。(2分)
2. 把平移后的三角形绕点$A'$顺时针旋转$90°$,画出旋转后的图形。(1分)
3. 先以$O(10,6)$为圆心画一个直径4厘米的圆;再画出把它按$2:1$的比放大后的圆,使大、小两个圆组成只有1条对称轴的图形。(2分)
按要求画一画,填一填。
1. 画出三角形向下平移4格后的图形,平移后点A的对应点$A'$的位置用数对表示是( , )。(2分)
2. 把平移后的三角形绕点$A'$顺时针旋转$90°$,画出旋转后的图形。(1分)
3. 先以$O(10,6)$为圆心画一个直径4厘米的圆;再画出把它按$2:1$的比放大后的圆,使大、小两个圆组成只有1条对称轴的图形。(2分)
答案
第1问答案：$\boxed{(3,3)}$
---
画图说明：
1. 平移三角形：把原三角形三个顶点$A(3,7)$、$B(5,7)$、$C(3,10)$分别向下平移4格，得到对应点$A'(3,3)$、$B'(5,3)$、$C'(3,6)$，顺次连接三个点即得到平移后的图形。
2. 旋转三角形：将$B'(5,3)$、$C'(3,6)$绕点$A'(3,3)$顺时针旋转$90°$，得到对应点$(3,1)$、$(6,3)$，顺次连接$A'(3,3)$、$(3,1)$、$(6,3)$即得到旋转后的图形。
3. 画圆操作：
以$O(10,6)$为圆心，2格（2cm）为半径画圆，即为直径4cm的小圆；
放大后圆的半径为4cm（4格），选择和$(10,6)$不重合的点作为放大后圆的圆心（例如$(14,6)$），以4格为半径画圆，此时两个大小不同的圆不同心，仅存在1条过两圆圆心的对称轴，符合要求。
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画图说明：
1. 平移三角形：把原三角形三个顶点$A(3,7)$、$B(5,7)$、$C(3,10)$分别向下平移4格，得到对应点$A'(3,3)$、$B'(5,3)$、$C'(3,6)$，顺次连接三个点即得到平移后的图形。
2. 旋转三角形：将$B'(5,3)$、$C'(3,6)$绕点$A'(3,3)$顺时针旋转$90°$，得到对应点$(3,1)$、$(6,3)$，顺次连接$A'(3,3)$、$(3,1)$、$(6,3)$即得到旋转后的图形。
3. 画圆操作：
以$O(10,6)$为圆心，2格（2cm）为半径画圆，即为直径4cm的小圆；
放大后圆的半径为4cm（4格），选择和$(10,6)$不重合的点作为放大后圆的圆心（例如$(14,6)$），以4格为半径画圆，此时两个大小不同的圆不同心，仅存在1条过两圆圆心的对称轴，符合要求。
解析
【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 第一小问：先按照数对“先列后行”的规则，确定原点点A的初始位置是第3列第7行，数对为(3,7)。向下平移4格时，点的列数不会改变，行数减去4，计算7-4=3就能得到A'的数对，再把三角形三个顶点都向下平移4格后顺次连线，就得到平移后的图形。
2. 第二小问：旋转操作的定点是A'，旋转过程中A'位置保持不动，把平移后的另外两个顶点分别绕A'顺时针旋转90°，找到新的对应点后顺次连接，即可得到旋转后的图形。
3. 第三小问：直径4cm的圆半径是2cm，对应2个方格边长，先以O(10,6)为圆心画出这个小圆；按2:1放大后圆的半径变为4cm，对应4个方格边长。要让两个圆只有1条对称轴，不能将两个圆画为同心圆（同心圆有无数条对称轴），选择和小圆圆心不重合的点作为大圆圆心，两点连线就是两圆唯一的对称轴，即可满足要求。
【解析】
1. 平移操作：
原三角形三个顶点的数对为A(3,7)、B(5,7)、C(3,10)，向下平移4格后，列数不变，行数均减去4，得到对应点A'(3,3)、B'(5,3)、C'(3,6)，顺次连接三个点即可得到平移后的三角形。
2. 旋转操作：
绕定点A'(3,3)顺时针旋转90°：点B'(5,3)原本在A'右侧2格，旋转后变为A'下方2格，对应点为(3,1)；点C'(3,6)原本在A'上方3格，旋转后变为A'右侧3格，对应点为(6,3)，顺次连接A'(3,3)、(3,1)、(6,3)即可得到旋转后的三角形。
3. 画圆操作：
① 直径4cm的圆半径为$4÷2=2\ \mathrm{cm}$，对应2个方格边长，以O(10,6)为圆心，2cm为半径画出小圆；
② 按2:1放大后，新圆半径为$2×2=4\ \mathrm{cm}$，对应4个方格边长；选择与O(10,6)不重合的点作为大圆圆心（例如取(14,6)），以4cm为半径画大圆，此时两圆仅存在1条过两圆圆心的对称轴，符合题目要求。
【答案】
平移后点A'的位置用数对表示是$\boldsymbol{(3,3)}$，图形按上述步骤绘制即可。
【知识点】
数对表示位置，图形平移旋转，圆的对称轴性质
【点评】
本题是小学图形与几何板块的综合操作题，覆盖多个基础图形变换知识点，易错点集中在第三问，很多同学会误将放大后的圆和原圆画成同心圆，导致对称轴数量不符合要求，解题时要明确：大小不同的两个圆只有1条对称轴的前提是两圆不同心，圆心连线就是唯一的对称轴。
【难度系数】
0.6
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 第一小问：先按照数对“先列后行”的规则，确定原点点A的初始位置是第3列第7行，数对为(3,7)。向下平移4格时，点的列数不会改变，行数减去4，计算7-4=3就能得到A'的数对，再把三角形三个顶点都向下平移4格后顺次连线，就得到平移后的图形。
2. 第二小问：旋转操作的定点是A'，旋转过程中A'位置保持不动，把平移后的另外两个顶点分别绕A'顺时针旋转90°，找到新的对应点后顺次连接，即可得到旋转后的图形。
3. 第三小问：直径4cm的圆半径是2cm，对应2个方格边长，先以O(10,6)为圆心画出这个小圆；按2:1放大后圆的半径变为4cm，对应4个方格边长。要让两个圆只有1条对称轴，不能将两个圆画为同心圆（同心圆有无数条对称轴），选择和小圆圆心不重合的点作为大圆圆心，两点连线就是两圆唯一的对称轴，即可满足要求。
【解析】
1. 平移操作：
原三角形三个顶点的数对为A(3,7)、B(5,7)、C(3,10)，向下平移4格后，列数不变，行数均减去4，得到对应点A'(3,3)、B'(5,3)、C'(3,6)，顺次连接三个点即可得到平移后的三角形。
2. 旋转操作：
绕定点A'(3,3)顺时针旋转90°：点B'(5,3)原本在A'右侧2格，旋转后变为A'下方2格，对应点为(3,1)；点C'(3,6)原本在A'上方3格，旋转后变为A'右侧3格，对应点为(6,3)，顺次连接A'(3,3)、(3,1)、(6,3)即可得到旋转后的三角形。
3. 画圆操作：
① 直径4cm的圆半径为$4÷2=2\ \mathrm{cm}$，对应2个方格边长，以O(10,6)为圆心，2cm为半径画出小圆；
② 按2:1放大后，新圆半径为$2×2=4\ \mathrm{cm}$，对应4个方格边长；选择与O(10,6)不重合的点作为大圆圆心（例如取(14,6)），以4cm为半径画大圆，此时两圆仅存在1条过两圆圆心的对称轴，符合题目要求。
【答案】
平移后点A'的位置用数对表示是$\boldsymbol{(3,3)}$，图形按上述步骤绘制即可。
【知识点】
数对表示位置，图形平移旋转，圆的对称轴性质
【点评】
本题是小学图形与几何板块的综合操作题，覆盖多个基础图形变换知识点，易错点集中在第三问，很多同学会误将放大后的圆和原圆画成同心圆，导致对称轴数量不符合要求，解题时要明确：大小不同的两个圆只有1条对称轴的前提是两圆不同心，圆心连线就是唯一的对称轴。
【难度系数】
0.6
五、数学阅读题。(共8分)
1. 阅读材料一,按要求完成填空。(每空1分,共4分)
材料一:"水钟"中的数学问题
水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，是用来计时的工具。图6为一种多级漏刻，使用时让漏壶中的水慢慢滴入箭壶,随着箭壶内的水逐断增多,箭杆被下方的浮子托着慢慢浮起,箭杆上的标记也就随着变化,古人看箭杆上的标记,就能知道具体的时刻。
为了探索箭杆上的标记与所经历的时间之间的关系,育才小学六年级数学兴趣小组的同学们制作了如图7所示的简易漏刻装置,并记录箭杆上的数据如下表:
(1) 请你根据上表的数据,填写空格中箭杆的上升高度。
(2) 根据上述表格中的数据,你认为,箭杆的上升高度和所经历的时间成(
(3) 照这样推算,经过(
1. 阅读材料一,按要求完成填空。(每空1分,共4分)
材料一:"水钟"中的数学问题
水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，是用来计时的工具。图6为一种多级漏刻，使用时让漏壶中的水慢慢滴入箭壶,随着箭壶内的水逐断增多,箭杆被下方的浮子托着慢慢浮起,箭杆上的标记也就随着变化,古人看箭杆上的标记,就能知道具体的时刻。
为了探索箭杆上的标记与所经历的时间之间的关系,育才小学六年级数学兴趣小组的同学们制作了如图7所示的简易漏刻装置,并记录箭杆上的数据如下表:
(1) 请你根据上表的数据,填写空格中箭杆的上升高度。
(2) 根据上述表格中的数据,你认为,箭杆的上升高度和所经历的时间成(
正比例
)关系。(填“正比例”或“反比例”)(3) 照这样推算,经过(
9
)分钟,箭杆会上升3.6厘米。用t表示经历的时间,h表示箭杆上升的高度,那么表示h与t之间关系的等式是($h=0.4t$
)。答案
1. (1) 2.0 (2) 正比例 (3) 9 $h=0.4t$
解析
【分析】
这道题是结合生活情境的正比例应用题目，解题思路可以按三步推进：第一步先从表格已有的数据中，计算出每分钟箭杆的上升高度，也就是单位时间的上升量，用已知的对应高度除以对应时间，得到固定的上升速度，再乘空格对应的时间就能算出空缺的上升高度；第二步判断比例关系，回忆正反比例的定义：两个相关联的量，比值固定就是正比例，乘积固定就是反比例，这里上升高度随时间增加而增加，且比值是固定的上升速度，就能判断比例类型；第三步已知上升高度求时间，直接用高度除以固定的上升速度得到时间，再结合正比例的特征写出两个变量的关系式即可。
【解析】
(1) 从表格已有的数据可得：箭杆2分钟上升0.8厘米，4分钟上升1.6厘米，因此每分钟箭杆上升的高度为 $0.8÷2=0.4$ 厘米/分钟，空缺处对应时间为5分钟，因此上升高度为 $5×0.4=2.0$ 厘米。
(2) 由于箭杆上升高度÷经历的时间=每分钟箭杆上升的高度（定值0.4厘米），两个相关联量的比值固定，因此箭杆的上升高度和所经历的时间成正比例关系。
(3) 当箭杆上升3.6厘米时，所需时间为 $3.6÷0.4=9$ 分钟；因为h和t成正比例，比例系数为0.4，因此二者的关系等式为 $h=0.4t$。
【答案】
(1) 2.0 (2) 正比例 (3) 9；$h=0.4t$
【知识点】
正比例判定，正比例表达式，归一问题
【点评】
本题以古代计时工具水钟为情境，将传统文化和数学知识结合，核心考察正比例相关的基础应用，难度较低，解题的关键是先从已知数据中找到固定的单位变化量，注意区分正比例和反比例的判定规则，不要把比值固定和乘积固定的条件混淆。
【难度系数】
0.8
这道题是结合生活情境的正比例应用题目，解题思路可以按三步推进：第一步先从表格已有的数据中，计算出每分钟箭杆的上升高度，也就是单位时间的上升量，用已知的对应高度除以对应时间，得到固定的上升速度，再乘空格对应的时间就能算出空缺的上升高度；第二步判断比例关系，回忆正反比例的定义：两个相关联的量，比值固定就是正比例，乘积固定就是反比例，这里上升高度随时间增加而增加，且比值是固定的上升速度，就能判断比例类型；第三步已知上升高度求时间，直接用高度除以固定的上升速度得到时间，再结合正比例的特征写出两个变量的关系式即可。
【解析】
(1) 从表格已有的数据可得：箭杆2分钟上升0.8厘米，4分钟上升1.6厘米，因此每分钟箭杆上升的高度为 $0.8÷2=0.4$ 厘米/分钟，空缺处对应时间为5分钟，因此上升高度为 $5×0.4=2.0$ 厘米。
(2) 由于箭杆上升高度÷经历的时间=每分钟箭杆上升的高度（定值0.4厘米），两个相关联量的比值固定，因此箭杆的上升高度和所经历的时间成正比例关系。
(3) 当箭杆上升3.6厘米时，所需时间为 $3.6÷0.4=9$ 分钟；因为h和t成正比例，比例系数为0.4，因此二者的关系等式为 $h=0.4t$。
【答案】
(1) 2.0 (2) 正比例 (3) 9；$h=0.4t$
【知识点】
正比例判定，正比例表达式，归一问题
【点评】
本题以古代计时工具水钟为情境，将传统文化和数学知识结合，核心考察正比例相关的基础应用，难度较低，解题的关键是先从已知数据中找到固定的单位变化量，注意区分正比例和反比例的判定规则，不要把比值固定和乘积固定的条件混淆。
【难度系数】
0.8
