1. 中考新考法 证明代数结论 （2025·浙江绍兴越城区期末）
日常生活中,我们常常将“八点五十五分”说成“九点差五分”,有时这样表达更清楚.这就启发我们设计了一种新的加减记数法.例如:9可写成$1\overline{1},1\overline{1}=10-1$;198 可写成$20\overline{2},20\overline{2}=$$200-2$;7 683 可写成$\overline{12323},\overline{12323}=10\ 000-$$2\ 320+3$.总之,数字上画一杠表示减去“它”,按这个方法计算:$5\overline{2}3\overline{1}-3\overline{24}1=$.

2 068
[解析]$5\overline{2}3\overline{1}-3\overline{24}1=(5\ 000-200)+(30-1)-[3\ 000-240+1]=4\ 800+29-2\ 761=4\ 829-2\ 761=2\ 068$.
归纳总结 本题主要考查有理数的混合运算,解答的关键是理解清楚所给的记数方式.

【分析】
首先需理解题目给出的新加减记数法规则：数字上画一杠表示减去该数字对应的数值，例如$1\overline{1}=10-1$，$20\overline{2}=200-2$。解题时先将被减数和减数按规则转化为常规有理数，再进行减法运算。
【解析】
根据新记数法规则：
$5\overline{2}3\overline{1}=5000 - 200 + 30 - 1 = 4829$；
$3\overline{24}1=3000 - 240 + 1 = 2761$；
则$5\overline{2}3\overline{1}-3\overline{24}1=4829 - 2761 = 2068$。
【答案】
2068
【知识点】
有理数混合运算，新定义运算
【点评】
本题为新定义运算题，核心是理解题目给出的加减记数法规则，将新记数转化为常规有理数运算，考查学生的阅读理解能力与运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5

2. 计算：
(1) $-5 - (-3) + (-4) - [-(-2)]$；
(2) $\dfrac{2}{3} + (\dfrac{5}{6} + 2.8 + \dfrac{1}{3}) - (2\dfrac{4}{5} + \dfrac{5}{6})$；
(3) $-(-\dfrac{3}{2}) + (-\dfrac{5}{6}) + [\dfrac{11}{4} - (-\dfrac{3}{8}) - (+\dfrac{14}{3})].$

(1)原式$=-5+3-4-2=-8$.
(2)原式$=\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}+2.8+\dfrac{1}{3}-2\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{6}=1$.
(3)原式$=\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{11}{4}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{14}{3}$
$=\dfrac{36}{24}-\dfrac{20}{24}+\dfrac{66}{24}+\dfrac{9}{24}-\dfrac{112}{24}$
$=\dfrac{36-20+66+9-112}{24}=-\dfrac{7}{8}$.

【分析】
这三道题均为有理数的加减混合运算，解题思路是：①先根据去括号法则去掉所有括号，注意括号前符号对括号内各项符号的影响（如负负得正、正负得负等）；②利用加法交换律和结合律，将同分母的分数、能凑整的数或互为相反数的数结合，简化计算；③最后按照有理数加减法则计算出结果。
【解析】
(1) 先去括号：
原式$=-5+3-4-2$
再分组计算：
$=(-5-4-2)+3$
$=-11+3=-8$
(2) 先去括号：
原式$=\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}+2.8+\dfrac{1}{3}-2\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{6}$
利用加法交换律、结合律分组：
$=(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3})+(\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6})+(2.8-2\dfrac{4}{5})$
计算每组结果：
$=1+0+0=1$
(3) 先去括号：
原式$=\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{11}{4}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{14}{3}$
通分（分母为24）：
$=\dfrac{36}{24}-\dfrac{20}{24}+\dfrac{66}{24}+\dfrac{9}{24}-\dfrac{112}{24}$
计算分子并化简：
$=\dfrac{36-20+66+9-112}{24}=\dfrac{-21}{24}=-\dfrac{7}{8}$
【答案】
(1) $-8$；(2) $1$；(3) $-\dfrac{7}{8}$
【知识点】
有理数的加减混合运算、去括号法则、加法运算律
【点评】
本题组是有理数加减混合运算的基础题型，重点考查去括号法则的正确应用及加法运算律的简化计算功能，需注意符号处理和通分的准确性，通过合理分组可有效降低计算难度，提升正确率，是初中数学运算能力的核心基础内容。
【难度系数】
0.6

3. 传统文化 “铺地锦” 我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”.例如，如图(1)所示，计算$31 × 47$，首先把乘数 31 和 47 分别写在方格的上面和右面，然后以 31 的每位数字分别乘 47的每位数字，将结果计入对应的格子中(如$3 ×$$4 = 12$的 12 写在 3 下面的方格里，十位 1 写在斜线的上面，个位 2 写在斜线的下面)，再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是 1457 ，即$31 × 47 = 1457$.如图(2)，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则$a$的值是().


A.2
B.3
C.5
D.7

D

【分析】
要解决这个问题，需先明确“铺地锦”的计算规则：两个两位数相乘时，将乘数分别写在方格上方和右方，每个方格内填写对应两个数字的乘积，乘积的十位写在方格内斜线的上方，个位写在斜线的下方。观察图(2)中各格子的数值与对应数字的关系，建立等式求解a。
首先确定各格子对应的乘法：左下格子对应上方数字4和右方数字2，乘积为4×2；图中该格子数值为a+1，可据此直接列等式计算a。
【解析】
根据“铺地锦”规则，左下格子是上方数字4与右方数字2的乘积，即：
$4×2 = 8$
又因为图中左下格子的数值为$a+1$，因此：
$a + 1 = 8$
解得：$a = 8 - 1 = 7$
验证：右上格子对应$8×a=8×7=56$，其个位为6，图中右上格子数值为$a-1=7-1=6$，符合规则；左上格子对应$4×a=4×7=28$，其个位为8，图中左上格子数值为$a+1=8$，也符合规则，故$a=7$。
【答案】
D
【知识点】
规律探究、整式运算
【点评】
本题以传统计算方法“铺地锦”为背景，考查规律分析与代数运算能力，核心是理解铺地锦中格子数值与对应数字乘积的关系，通过建立等式即可快速求解，难度适中。
【难度系数】
0.4

4. 计算：
(1)$[2\dfrac{1}{2}-(-1\dfrac{1}{2})]÷(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{1}{8});$
(2)$18÷\{1\dfrac{5}{12}-[2\dfrac{4}{5}÷(-3\dfrac{9}{25})-0.75]\}.$

(1)原式$=4×(-4)×(-\dfrac{1}{8})=2$.
(2)原式$=18÷(1\dfrac{5}{12}+2\dfrac{4}{5}÷3\dfrac{9}{25}+\dfrac{3}{4})$
$=18÷(1\dfrac{5}{12}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{4})=18÷3=6$.

【分析】本题是有理数的混合运算，解题思路：①先将带分数转化为假分数、小数化为分数，简化计算；②严格遵循运算顺序：有括号先算括号内，括号内先乘除后加减，同级运算（乘除）从左到右依次计算；③注意符号变化规则，负负得正、正负得负，去括号时需正确改变符号。
【解析】
(1) 先计算小括号内的部分：
$2\dfrac{1}{2} - (-1\dfrac{1}{2}) = \dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2} = 4$，
原式转化为：$4 ÷ (-\dfrac{1}{4}) × (-\dfrac{1}{8})$，
同级运算从左到右依次计算：
$4 ÷ (-\dfrac{1}{4}) = 4 × (-4) = -16$，
$-16 × (-\dfrac{1}{8}) = 2$；
(2) 先计算最内层的除法：
$2\dfrac{4}{5} ÷ (-3\dfrac{9}{25}) = \dfrac{14}{5} ÷ (-\dfrac{84}{25}) = \dfrac{14}{5} × (-\dfrac{25}{84}) = -\dfrac{5}{6}$，
去括号时注意符号变化：
原式$=18 ÷ [1\dfrac{5}{12} - (-\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4})] = 18 ÷ (1\dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4})$，
计算括号内的和：
$1\dfrac{5}{12} = \dfrac{17}{12}$，$\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$，$\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$，
和为$\dfrac{17+10+9}{12} = \dfrac{36}{12} = 3$，
因此$18 ÷ 3 = 6$；
【答案】(1)$2$；(2)$6$
【知识点】有理数混合运算，带分数与假分数转换，符号运算
【点评】本题考查有理数混合运算的基础规则，核心是运算顺序和符号处理，需熟练掌握带分数、小数与分数的转换，是初中数学的基础运算题，只要细心计算即可完成。
【难度系数】0.7