23.（10分）已知，直线$AB// CD$，$G$为平面内一点，点$E$，$F$分别在直线$AB$，$CD$上，连接$EG$，$FG$.
（1）如图（1），若点$G$在直线$AB$，$CD$之间，当$∠ BEG=110°$，$∠ DFG=150°$时，求$∠ EGF$的度数；
（2）如图（2），若点$G$在直线$AB$，$CD$之间，$EP$、$FP$分别是$∠ AEG$、$∠ CFG$的平分线，$EQ$、$FQ$分别是$∠ BEG$、$∠ DFG$的平分线，猜想$∠ P$与$∠ G$的数量关系以及$∠ P$与$∠ Q$的数量关系，并说明理由；
（3）如图（3），若点$G$在直线$CD$的下方，$EP$、$FP$分别是$∠ AEG$、$∠ CFG$的平分线，$EQ$平分$∠ BEG$，$FH$平分$∠ DFG$，$FH$的反向延长线与直线$EQ$相交于点$Q$，当$2∠ P+5∠ Q=780°$时，直接写出$∠ P$、$∠ Q$的度数.

（1）过点G向右作$GH// AB$，
$\therefore ∠BEG+∠EGH=180°$，
$\therefore ∠EGH=180°-∠BEG=180°-110°=70°$，
$\because AB// CD$，$GH// AB$，
$\therefore GH// CD$，
$\therefore ∠DFG+∠FGH=180°$，
$\therefore ∠FGH=180°-∠DFG=180°-150°=30°$，
$\therefore ∠EGF=∠EGH+∠FGH=70°+30°=100°$；
（2）$∠EGF=2∠EPF$，$∠EPF+∠EQF=180°$，
设$∠AEP=x$，$∠CFP=y$，
$\because EP$、$FP$分别是$∠AEG$、$∠CFG$的平分线，
$\therefore ∠GEP=∠AEP=x$，$∠GFP=∠CFP=y$，
$\therefore ∠AEG=2x$，$∠CFG=2y$，
过点G作$GH// AB$，
$\therefore ∠EGH=∠AEG=2x$，
$\because AB// CD$，$GH// AB$，
$\therefore GH// CD$，
$\therefore ∠FGH=∠CFG=2y$，
$\therefore ∠EGF=∠EGH+∠FGH=∠AEG+∠CFG=2x+2y$，
$\because EQ$、$FQ$分别是$∠BEG$、$∠DFG$的平分线，
$\therefore ∠BEQ=\frac{1}{2}∠BEG=90°-x$，$\frac{1}{2}∠BEG=90°-x$，$∠DFQ=\frac{1}{2}∠DFG=90°-y$，
过点P作$PM// AB$，过点Q向左作$QN// AB$，
同理，可得$∠EPF=∠AEP+∠CFP=x+y$，$∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=90°-x+90°-y=180°-x-y$，
$\therefore ∠EGF=2∠EPF$，$∠EPF+∠EQF=180°$；即$∠G=2∠P$，$∠P+∠Q=180°$；
（3）$∠P=40°$，$∠Q=140°$，
过程如下：设$∠1=x$，$∠3=y$，
$\because EP$、$FP$分别是$∠AEG$、$∠CFG$的平分线，
$\therefore ∠1=∠2=x$，$∠3=∠4=y$，
$\therefore ∠BEG=180°-2x$，$∠DFG=180°-2y$，
$\because EQ$、$FQ$分别是$∠BEG$、$∠DFG$的平分线所在直线相交于点Q，
$\therefore ∠6=\frac{180°-2x}{2}=90°-x$，$∠7=\frac{180°-2y}{2}=90°-y$，
$\therefore ∠QFC=∠7=90°-y$，
$\therefore ∠FQD=180°-∠7=180°-(90°-y)=90°+y$，
过点P向右作$PM// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore PM// CD$，
$\therefore ∠EPM=∠1=x$，$∠5=∠3=y$，
$\therefore ∠EPF=∠EPM-∠5=x-y$，
过点Q向左作$QN// AB$，同理可得：$∠EQF=∠6+∠QFD=90°-x+90°+y=180°-x+y$，
$\because 2∠P+5∠Q=780°$，
$\therefore 2(x-y)+5(180°-x+y)=780°$，
$\therefore x-y=40°$，
$\therefore ∠EPF=x-y=40°$，$∠EQF=180°-x+y=180°-(x-y)=140°$。
即$∠P=40°$，$∠Q=140°$。