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16. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°, AC=13, ∠ BAC$与$∠ ACB$的角平分线相交于点$D$，点$M、N$分别在边$AB、BC$上，且$∠ MDN=45°$，连接$MN$，若$△ BMN$的周长为$4$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积为________。
答案
16.30
【难度】0.4
【分析】过$D$点作$DE⊥ AB$于$E$，$DF ⊥ BC$于$F$，$DH ⊥ AC$于$H$，在$FC$上截取$FP=EM$，连接$BD$，根据角平分线的性质得到$DE=DH=DF$，证明$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADH$得到$AE=AH$，证明$\mathrm{Rt}△ CDF≌\mathrm{Rt}△ CDH$得到$CF=CH$，证明$△ DEM≌△ DFP$，得到$DM=DP,∠ EDM=∠ FDP$，再证明$△ DMN≌△ DPN(\mathrm{SAS})$，得到$MN=NP=NF+FP=NF+EM$. 则可求出$BE=BF=2$，设$AB=a$，$BC=b$，根据$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$，可得$\dfrac{1}{2}ab=a+b+13$；根据$AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13$，可得$a+b=17$，据此可得答案.
【详解】解：如图，过$D$点作$DE ⊥ AB$于$E$，$DF ⊥ BC$于$F$，$DH ⊥ AC$于$H$，在$FC$上截取$FP=EM$，连接$BD$，
$\because DA$平分$∠ BAC$，
$\therefore DE=DH$，
同理可得$DF=DH$，
$\therefore DE=DF$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADH$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DH \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADH(\mathrm{HL})$，
$\therefore AE=AH$，
同理可得$CF=CH$，
$\because DE=DF$，$∠ DEM=∠ DFP$，$EM=FP$ ，
$\therefore △ DEM≌△ DFP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DM=DP,∠ EDM=∠ FDP$，
$\therefore ∠ EDM+∠ MDF=∠ PDF+∠ MDF$，
$\therefore ∠ MDP=∠ EDF$，
$\because DE⊥ AB$，$BF⊥ AB$，
$\therefore DE// BF$，
$\because DF ⊥ BC$，
$\therefore DE ⊥ DF$，
$\therefore ∠ MDP=∠ EDF=90°$，$DF=BE=DE=BF$（平行线间间距相等），
$\because ∠ MDN=45°$，
$\therefore ∠ PDN=45°$，
在$△ DMN$和$△ DPN$中，
$\begin{cases} DM=DP \\ ∠ MDN=∠ PDN=45° \\ DN=DN \end{cases}$，
$\therefore △ DMN≌△ DPN(\mathrm{SAS})$ ，
$\therefore MN=NP=NF+FP=NF+EM$.
$\therefore △ BMN$的周长$=MN+BM+BN$
$=EM+BM+BN+NF$
$=BE+BF$
$=4$，
$\therefore BE=BF=DE=DF=DH=2$，
设$AB=a$，$BC=b$，
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$，
$\therefore \dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}× 2a+\dfrac{1}{2}× 2b+\dfrac{1}{2}× 2× 13$，
$\therefore \dfrac{1}{2}ab=a+b+13$；
$\because AE=AB-BE=a-2$，$CF=BC-BF=b-2$，
$\therefore AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13$，
$\therefore a+b=17$，
$\therefore \dfrac{1}{2}ab=a+b+13=17+13=30$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC$的面积为$30$.
故答案为：$30$.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键.
【难度】0.4
【分析】过$D$点作$DE⊥ AB$于$E$，$DF ⊥ BC$于$F$，$DH ⊥ AC$于$H$，在$FC$上截取$FP=EM$，连接$BD$，根据角平分线的性质得到$DE=DH=DF$，证明$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADH$得到$AE=AH$，证明$\mathrm{Rt}△ CDF≌\mathrm{Rt}△ CDH$得到$CF=CH$，证明$△ DEM≌△ DFP$，得到$DM=DP,∠ EDM=∠ FDP$，再证明$△ DMN≌△ DPN(\mathrm{SAS})$，得到$MN=NP=NF+FP=NF+EM$. 则可求出$BE=BF=2$，设$AB=a$，$BC=b$，根据$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$，可得$\dfrac{1}{2}ab=a+b+13$；根据$AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13$，可得$a+b=17$，据此可得答案.
【详解】解：如图，过$D$点作$DE ⊥ AB$于$E$，$DF ⊥ BC$于$F$，$DH ⊥ AC$于$H$，在$FC$上截取$FP=EM$，连接$BD$，
$\because DA$平分$∠ BAC$，
$\therefore DE=DH$，
同理可得$DF=DH$，
$\therefore DE=DF$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADH$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DH \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADH(\mathrm{HL})$，
$\therefore AE=AH$，
同理可得$CF=CH$，
$\because DE=DF$，$∠ DEM=∠ DFP$，$EM=FP$ ，
$\therefore △ DEM≌△ DFP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DM=DP,∠ EDM=∠ FDP$，
$\therefore ∠ EDM+∠ MDF=∠ PDF+∠ MDF$，
$\therefore ∠ MDP=∠ EDF$，
$\because DE⊥ AB$，$BF⊥ AB$，
$\therefore DE// BF$，
$\because DF ⊥ BC$，
$\therefore DE ⊥ DF$，
$\therefore ∠ MDP=∠ EDF=90°$，$DF=BE=DE=BF$（平行线间间距相等），
$\because ∠ MDN=45°$，
$\therefore ∠ PDN=45°$，
在$△ DMN$和$△ DPN$中，
$\begin{cases} DM=DP \\ ∠ MDN=∠ PDN=45° \\ DN=DN \end{cases}$，
$\therefore △ DMN≌△ DPN(\mathrm{SAS})$ ，
$\therefore MN=NP=NF+FP=NF+EM$.
$\therefore △ BMN$的周长$=MN+BM+BN$
$=EM+BM+BN+NF$
$=BE+BF$
$=4$，
$\therefore BE=BF=DE=DF=DH=2$，
设$AB=a$，$BC=b$，
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$，
$\therefore \dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}× 2a+\dfrac{1}{2}× 2b+\dfrac{1}{2}× 2× 13$，
$\therefore \dfrac{1}{2}ab=a+b+13$；
$\because AE=AB-BE=a-2$，$CF=BC-BF=b-2$，
$\therefore AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13$，
$\therefore a+b=17$，
$\therefore \dfrac{1}{2}ab=a+b+13=17+13=30$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC$的面积为$30$.
故答案为：$30$.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键.
17. 解不等式组$\begin{cases}x-1＜2(x+1)① \\\dfrac{3}{2}x-1≤7-\dfrac{5}{2}x②\end{cases}$，请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为________。
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为________。
答案
17. (1)$x＞-3$
(2)$x≤ 2$
(3)详见解析
(4)$-3 ＜ x≤ 2$
【难度】0.85
【分析】本题考查了一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集：（1）去括号、移项，再合并同类项求解即可；（2）移项再合并同类项即可；（3）根据已知解集，在数轴上表示；（4）观察数轴即可.
【详解】（1）解：$x-1＜2(x+1)$
$x-1＜2x+2$
$x-2x＜2+1$
$\therefore x＞-3$；
（2）解：$\dfrac{3}{2}x-1≤ 7-\dfrac{5}{2}x$
$\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2}x≤ 7+1$
$\therefore x≤ 2$；
（3）解：解集表示在数轴上如图：
（4）解：观察数轴，原不等式的解集为$-3 ＜ x≤ 2$.
18. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据：
如图：$AB// CD,AB=CD$，求证：$AD// BC,AD=BC$.
证明：$\because AB// CD$
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$ （ ）
在$△ ABD$和$△ CDB$中
$AB=$（ ）
$\because ∠ ABD=∠ CDB$
$BD=$（ ）
$\therefore △ ABD≌△ CDB$ （ ）
$\therefore AD=CB$ （ ）
$\therefore ∠ ADB=$（ ）（ ）
$\therefore AD// BC$ （ ）.
如图：$AB// CD,AB=CD$，求证：$AD// BC,AD=BC$.
证明：$\because AB// CD$
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$ （ ）
在$△ ABD$和$△ CDB$中
$AB=$（ ）
$\because ∠ ABD=∠ CDB$
$BD=$（ ）
$\therefore △ ABD≌△ CDB$ （ ）
$\therefore AD=CB$ （ ）
$\therefore ∠ ADB=$（ ）（ ）
$\therefore AD// BC$ （ ）.
答案
18. 两直线平行，内错角相等；$CD$；$DB$；$\mathrm{SAS}$；全等三角形对应边相等；$∠ CBD$；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行
【难度】0.65
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据$AB// CD$得$∠ ABD=∠ CDB$，根据$\mathrm{SAS}$证明$△ ABD≌△ CDB$，得$AD=CB$，$∠ ADB=∠ CBD$，从而证明$AD// BC$.
【详解】证明：$\because AB // CD$
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB$（两直线平行，内错角相等）
在$△ ABD$和$△ CDB$中，$AB = CD$
$\because ∠ ABD = ∠ CDB$，$BD = DB$
$\therefore △ ABD≌△ CDB(\mathrm{SAS})$
$\therefore AD = CB$（全等三角形对应边相等）
$\therefore ∠ ADB = ∠ CBD$（全等三角形对应角相等）
$\therefore AD // BC$（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：两直线平行，内错角相等；$CD$；$DB$；$\mathrm{SAS}$；全等三角形对应边相等；$∠ CBD$；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行.
【难度】0.65
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据$AB// CD$得$∠ ABD=∠ CDB$，根据$\mathrm{SAS}$证明$△ ABD≌△ CDB$，得$AD=CB$，$∠ ADB=∠ CBD$，从而证明$AD// BC$.
【详解】证明：$\because AB // CD$
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB$（两直线平行，内错角相等）
在$△ ABD$和$△ CDB$中，$AB = CD$
$\because ∠ ABD = ∠ CDB$，$BD = DB$
$\therefore △ ABD≌△ CDB(\mathrm{SAS})$
$\therefore AD = CB$（全等三角形对应边相等）
$\therefore ∠ ADB = ∠ CBD$（全等三角形对应角相等）
$\therefore AD // BC$（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：两直线平行，内错角相等；$CD$；$DB$；$\mathrm{SAS}$；全等三角形对应边相等；$∠ CBD$；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行.
19. “微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利. 七年级数学小组在校内对“你最认可的生活事物”进行调查,随机调查了$ x $名学生,每名学生从如图四种中必选一种且只能选择一种,
将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图.
（1）根据图中信息,求出：$ x=$
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查的结果,请估算在全校1500名学生中,最认可“微信”和“支付宝”这两样生活事物的学生共有多少名？
将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图.
（1）根据图中信息,求出：$ x=$
100
，$ n=$35
；（2）请把条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查的结果,请估算在全校1500名学生中,最认可“微信”和“支付宝”这两样生活事物的学生共有多少名？
答案
19. (1)100，35；
(2)见解析
(3)1125人
【难度】0.65
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，掌握两个统计图中数量关系是正确解答的前提.
（1）样本中，认可“共享单车”的有10人，占被调查人数的10%，可求出被调查人数，即$x$的值，进而求出“网购”的人数，“支付宝”的人数和所占的百分比，确定$n$的值；
（2）求出“支付宝”“网购”人数即可补全条形统计图；
（3）样本中，“微信”和“支付宝”占被调查人数的$\dfrac{40+35}{100}$，因此估计总体1500人中“微信”和“支付宝”也占$\dfrac{40+35}{100}$，根据样本估计总体即可得出答案.
【详解】（1）解：$10÷10\%=100$（人），即$x=100$，
“网购”人数：$100×15\%=15$（人），
“支付宝”人数：$100-40-15-10=35$（人），$35÷100=35\%$，
因此$n=35$，
故答案为：100，35；
（2）解：补全条形统计图如图所示：
（3）解：$1500×\dfrac{40+35}{100}=1125$（人），
答：全校1500名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的大约有1125人.
