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1. 下列是二元一次方程的是 （
A.$x + 2y = 3$
B.$x^2 + y = 1$
C.$y + \dfrac{1}{x} = 2$
D.$2x - 1 = 5$
A
）A.$x + 2y = 3$
B.$x^2 + y = 1$
C.$y + \dfrac{1}{x} = 2$
D.$2x - 1 = 5$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个选项是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的3个核心判断标准：①方程一共含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③属于整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这3个标准，全部符合的就是正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，我们逐一分析选项：
A. $x + 2y = 3$：含有x、y两个未知数，x和2y的次数都是1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义；
B. $x^2 + y = 1$：含未知数x的项$x^2$的次数是2，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程；
C. $y + \dfrac{1}{x} = 2$：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. $2x - 1 = 5$：只含有x一个未知数，属于一元一次方程，不符合“含有两个未知数”的要求。
综上只有A选项符合二元一次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判断；一元一次方程的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记二元一次方程的三个判定要点，逐一排查选项即可，做题时要注意区分整式方程和分式方程、一元方程和二元方程的差异。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的3个核心判断标准：①方程一共含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③属于整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这3个标准，全部符合的就是正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，我们逐一分析选项：
A. $x + 2y = 3$：含有x、y两个未知数，x和2y的次数都是1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义；
B. $x^2 + y = 1$：含未知数x的项$x^2$的次数是2，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程；
C. $y + \dfrac{1}{x} = 2$：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. $2x - 1 = 5$：只含有x一个未知数，属于一元一次方程，不符合“含有两个未知数”的要求。
综上只有A选项符合二元一次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判断；一元一次方程的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记二元一次方程的三个判定要点，逐一排查选项即可，做题时要注意区分整式方程和分式方程、一元方程和二元方程的差异。
【难度系数】
0.9
2.已知方程$3x - 4y = 6$，用含$y$的式子表示$x$为（
A. $x=\frac{6 - 4y}{3}$
C. $y=\frac{6 - 3x}{4}$
B
）A. $x=\frac{6 - 4y}{3}$
C. $y=\frac{6 - 3x}{4}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题要求用含y的式子表示x，解题时将y看作已知常数，把x当成未知数，依据等式的性质解关于x的一元一次方程即可。首先通过移项将含x的项留在等号左侧，不含x的项移到等号右侧，再将x的系数化为1就能得到结果。
【解析】
已知原方程为$3x - 4y = 6$，
1. 移项：将$-4y$移到等号右侧，符号变为正，可得$3x = 6 + 4y$；
2. 系数化为1：等号两边同时除以3，可得$x=\frac{6+4y}{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；二元一次方程变形
【点评】
本题是基础类题目，主要考查方程的基本变形操作，熟练掌握移项、系数化为1的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题要求用含y的式子表示x，解题时将y看作已知常数，把x当成未知数，依据等式的性质解关于x的一元一次方程即可。首先通过移项将含x的项留在等号左侧，不含x的项移到等号右侧，再将x的系数化为1就能得到结果。
【解析】
已知原方程为$3x - 4y = 6$，
1. 移项：将$-4y$移到等号右侧，符号变为正，可得$3x = 6 + 4y$；
2. 系数化为1：等号两边同时除以3，可得$x=\frac{6+4y}{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；二元一次方程变形
【点评】
本题是基础类题目，主要考查方程的基本变形操作，熟练掌握移项、系数化为1的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知$\begin{cases}x=1, \\ y=-2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 3$的解，则$2a + 4b - 2$的值是 （ ）
A.2
B.4
C.6
D.9
A.2
B.4
C.6
D.9
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。第一步我们可以把已知的解代入原方程，得到a和b的数量关系；再观察所求代数式的结构，将得到的a、b的关系整体代入代数式计算即可，不需要单独求出a和b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
已知$\begin{cases}x=1, \\ y=-2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 3$的解，将其代入方程可得：
$a×1 - b×(-2) = 3$
化简得：$a + 2b = 3$
观察所求代数式$2a + 4b - 2$，可变形为$2(a + 2b) - 2$，把$a + 2b = 3$整体代入：
$2×3 - 2 = 6 - 2 = 4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，核心考查对二元一次方程解的概念的掌握，解题时运用整体代入的思想可快速求出代数式的值，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。第一步我们可以把已知的解代入原方程，得到a和b的数量关系；再观察所求代数式的结构，将得到的a、b的关系整体代入代数式计算即可，不需要单独求出a和b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
已知$\begin{cases}x=1, \\ y=-2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 3$的解，将其代入方程可得：
$a×1 - b×(-2) = 3$
化简得：$a + 2b = 3$
观察所求代数式$2a + 4b - 2$，可变形为$2(a + 2b) - 2$，把$a + 2b = 3$整体代入：
$2×3 - 2 = 6 - 2 = 4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，核心考查对二元一次方程解的概念的掌握，解题时运用整体代入的思想可快速求出代数式的值，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.8
4. 对于二元一次方程组$\begin{cases}y=x-1,① \\ x-2y=7,②\end{cases}$ 将①式代入②式，消去$y$可以得到 （ ）
A.$x-2x-1=7$
B.$x-2x-2=7$
C.$x-2x+2=7$
D.$x+2x+2=7$
A.$x-2x-1=7$
B.$x-2x-2=7$
C.$x-2x+2=7$
D.$x+2x+2=7$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基础操作，解题思路如下：首先明确代入消元的核心是将一个未知数用含另一个未知数的式子整体替换，本题已经给出y的表达式，只需将①式中的y=x-1整体代入②式，代入时要注意给x-1加括号保证是整体运算，再按照去括号法则展开化简就能得到对应的式子，解题时要格外注意去括号的符号变化，避免漏乘或符号错误。
【解析】
将①式$y=x-1$整体代入②式$x-2y=7$，可得：
$x - 2(x - 1) = 7$
根据去括号法则：括号前为负号时，括号内各项需变号，且括号外的系数要乘括号内每一项，展开得：
$x - 2x + 2 = 7$
与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法；去括号运算
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，易错点为代入时未将替换的多项式作为整体加括号，导致去括号时常数项符号或数值计算错误，掌握整体代入的思路和去括号的运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基础操作，解题思路如下：首先明确代入消元的核心是将一个未知数用含另一个未知数的式子整体替换，本题已经给出y的表达式，只需将①式中的y=x-1整体代入②式，代入时要注意给x-1加括号保证是整体运算，再按照去括号法则展开化简就能得到对应的式子，解题时要格外注意去括号的符号变化，避免漏乘或符号错误。
【解析】
将①式$y=x-1$整体代入②式$x-2y=7$，可得：
$x - 2(x - 1) = 7$
根据去括号法则：括号前为负号时，括号内各项需变号，且括号外的系数要乘括号内每一项，展开得：
$x - 2x + 2 = 7$
与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法；去括号运算
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，易错点为代入时未将替换的多项式作为整体加括号，导致去括号时常数项符号或数值计算错误，掌握整体代入的思路和去括号的运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 以方程组$\begin{cases}x+y=1, \\2x-y=-4\end{cases}$的解为坐标的点$(x,y)$，在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5.B
解析
【分析】
要确定点$(x,y)$所在的象限，首先需要求出$x$和$y$的具体取值，再结合各象限坐标的符号特点判断。我们可以用加减消元法求解给出的二元一次方程组，得到$x$、$y$的值后，对照四个象限的正负特征就能得出答案。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x+y=1&① \\2x-y=-4&②\end{cases}$，
将①+②消去$y$，可得：$x+y+2x-y=1+(-4)$，
合并同类项得：$3x=-3$，解得$x=-1$。
把$x=-1$代入①式，得：$-1+y=1$，解得$y=2$。
因此该点坐标为$(-1,2)$。
根据平面直角坐标系象限符号特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，可知点$(-1,2)$位于第二象限。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，将二元一次方程组的求解与平面直角坐标系中点的位置判断结合起来，熟练掌握加减消元法解方程组的步骤以及各象限坐标的符号规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定点$(x,y)$所在的象限，首先需要求出$x$和$y$的具体取值，再结合各象限坐标的符号特点判断。我们可以用加减消元法求解给出的二元一次方程组，得到$x$、$y$的值后，对照四个象限的正负特征就能得出答案。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x+y=1&① \\2x-y=-4&②\end{cases}$，
将①+②消去$y$，可得：$x+y+2x-y=1+(-4)$，
合并同类项得：$3x=-3$，解得$x=-1$。
把$x=-1$代入①式，得：$-1+y=1$，解得$y=2$。
因此该点坐标为$(-1,2)$。
根据平面直角坐标系象限符号特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，可知点$(-1,2)$位于第二象限。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，将二元一次方程组的求解与平面直角坐标系中点的位置判断结合起来，熟练掌握加减消元法解方程组的步骤以及各象限坐标的符号规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6.一个长方形的周长为28，若它的长减少2，宽增加2，就变成了一个正方形，则该长方形的面积为（
A.45
B.48
C.40
D.49
A
）A.45
B.48
C.40
D.49
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先利用长方形周长公式求出长与宽的和，再抓住“长减少2、宽增加2后变成正方形”这一关键条件：正方形四条边相等，说明变化后的长和宽相等，据此建立等量关系，即可求出长方形的长和宽，最后计算面积即可，用一元一次方程求解符合现阶段知识要求。
【解析】
1. 计算长与宽的和：根据长方形周长公式$周长=2×(长+宽)$，已知周长为28，可得$长+宽=28÷2=14$。
2. 设未知数列方程：设长方形的长为$x$，则宽为$14-x$。由长减少2、宽增加2后变为正方形（边长相等），可列方程：$x-2=(14-x)+2$
3. 解方程求长和宽：
化简方程得$x-2=16-x$
移项合并同类项得$2x=18$，解得$x=9$
则宽为$14-9=5$
4. 计算面积：长方形面积$=长×宽=9×5=45$
【答案】
A
【知识点】
长方形周长与面积计算、一元一次方程应用、正方形性质
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础题型，解题核心是挖掘“变成正方形”背后隐含的边长相等的等量关系，理清长和宽的数量关系后就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先利用长方形周长公式求出长与宽的和，再抓住“长减少2、宽增加2后变成正方形”这一关键条件：正方形四条边相等，说明变化后的长和宽相等，据此建立等量关系，即可求出长方形的长和宽，最后计算面积即可，用一元一次方程求解符合现阶段知识要求。
【解析】
1. 计算长与宽的和：根据长方形周长公式$周长=2×(长+宽)$，已知周长为28，可得$长+宽=28÷2=14$。
2. 设未知数列方程：设长方形的长为$x$，则宽为$14-x$。由长减少2、宽增加2后变为正方形（边长相等），可列方程：$x-2=(14-x)+2$
3. 解方程求长和宽：
化简方程得$x-2=16-x$
移项合并同类项得$2x=18$，解得$x=9$
则宽为$14-9=5$
4. 计算面积：长方形面积$=长×宽=9×5=45$
【答案】
A
【知识点】
长方形周长与面积计算、一元一次方程应用、正方形性质
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础题型，解题核心是挖掘“变成正方形”背后隐含的边长相等的等量关系，理清长和宽的数量关系后就能快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=4, \\2x+y=5\end{cases}$的解也是方程$x+y=3k$的解，则$k$的值为 （ ）
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
7.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确方程组的解是同时满足方程组中两个方程的x、y的值，且该解也满足方程$x+y=3k$，因此第一步先求解给定的二元一次方程组，得到x、y的具体取值；第二步将x、y代入含k的方程$x+y=3k$，得到关于k的一元一次方程，解该方程即可求出k的值。
【解析】
解：设二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=4&① \\2x+y=5&②\end{cases}$
对②式两边同乘2，得：$4x+2y=10$ ③
用③式减去①式消去y，得：$3x=6$，解得$x=2$
将$x=2$代入①式，得：$2+2y=4$，解得$y=1$
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$代入$x+y=3k$，得：$2+1=3k$
化简得$3k=3$，解得$k=1$
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二元一次方程组的解法
2.二元一次方程的解的定义
【点评】
本题是基础考查题，核心是对二元一次方程组解的性质的理解与应用，只要熟练掌握二元一次方程组的基本求解方法，按照先求方程组解、再代入求参数的步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确方程组的解是同时满足方程组中两个方程的x、y的值，且该解也满足方程$x+y=3k$，因此第一步先求解给定的二元一次方程组，得到x、y的具体取值；第二步将x、y代入含k的方程$x+y=3k$，得到关于k的一元一次方程，解该方程即可求出k的值。
【解析】
解：设二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=4&① \\2x+y=5&②\end{cases}$
对②式两边同乘2，得：$4x+2y=10$ ③
用③式减去①式消去y，得：$3x=6$，解得$x=2$
将$x=2$代入①式，得：$2+2y=4$，解得$y=1$
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$代入$x+y=3k$，得：$2+1=3k$
化简得$3k=3$，解得$k=1$
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二元一次方程组的解法
2.二元一次方程的解的定义
【点评】
本题是基础考查题，核心是对二元一次方程组解的性质的理解与应用，只要熟练掌握二元一次方程组的基本求解方法，按照先求方程组解、再代入求参数的步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
