登录
1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(
A.$(x+1)(x-1)=x^2 -1$
B.$x^2 +2x +1=(x+1)^2$
C.$x^2 +2x -1=x(x+2)-1$
D.$x(x-1)=x^2 -x$
B
).A.$(x+1)(x-1)=x^2 -1$
B.$x^2 +2x +1=(x+1)^2$
C.$x^2 +2x -1=x(x+2)-1$
D.$x(x-1)=x^2 -x$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确因式分解的判断标准：因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，判断需同时满足两个条件：①等式左边是多项式；②等式右边是几个整式相乘的形式，且等式左右两边相等。接下来逐一核对四个选项是否符合以上条件，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们对各选项逐一分析：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，排除；
B选项：左边是多项式$x^2+2x+1$，右边是$(x+1)(x+1)$，即两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，当选；
C选项：右边为$x(x+2)-1$，是整式乘积与常数的差，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
D选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确因式分解的判断标准：因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，判断需同时满足两个条件：①等式左边是多项式；②等式右边是几个整式相乘的形式，且等式左右两边相等。接下来逐一核对四个选项是否符合以上条件，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们对各选项逐一分析：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，排除；
B选项：左边是多项式$x^2+2x+1$，右边是$(x+1)(x+1)$，即两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，当选；
C选项：右边为$x(x+2)-1$，是整式乘积与常数的差，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
D选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.8
2. 把多项式$6a^2b - 3ab^2 + 12ab$因式分解时，应提取的公因式是(
A.$ab$
B.$3a^2b$
C.$3ab^2$
D.$3ab$
D
).A.$ab$
B.$3a^2b$
C.$3ab^2$
D.$3ab$
答案
2.D
解析
【分析】
要确定多项式因式分解时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找多项式各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者结合就是要提取的公因式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
公因式的确定步骤如下：
1. 确定系数部分：多项式$6a^2b$、$-3ab^2$、$12ab$的系数分别为6、-3、12，它们的最大公约数是3；
2. 确定字母部分：观察可知各项都含有的相同字母是a和b，其中a在各项的次数分别为2、1、1，最低次是1次，即$a$；b在各项的次数分别为1、2、1，最低次是1次，即$b$，因此字母部分为$ab$；
3. 结合系数和字母部分，最终得到公因式为$3ab$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握“先找系数最大公约数，再找相同字母最低次幂”的确定规则，就能快速解题，为后续复杂的因式分解运算打好基础。
【难度系数】
0.9
要确定多项式因式分解时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找多项式各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者结合就是要提取的公因式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
公因式的确定步骤如下：
1. 确定系数部分：多项式$6a^2b$、$-3ab^2$、$12ab$的系数分别为6、-3、12，它们的最大公约数是3；
2. 确定字母部分：观察可知各项都含有的相同字母是a和b，其中a在各项的次数分别为2、1、1，最低次是1次，即$a$；b在各项的次数分别为1、2、1，最低次是1次，即$b$，因此字母部分为$ab$；
3. 结合系数和字母部分，最终得到公因式为$3ab$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握“先找系数最大公约数，再找相同字母最低次幂”的确定规则，就能快速解题，为后续复杂的因式分解运算打好基础。
【难度系数】
0.9
3. 如图，长方形的长、宽分别为$a$，$b$，且$a$比$b$大3，面积为7，则$a^2b - ab^2$的值为(
A.10
B.21
C.9
D.49
B
).A.10
B.21
C.9
D.49
答案
3.B [解析]由题意，得$a-b=3,ab=7$，则$a^2b - ab^2 = ab(a-b)=21$.故选B.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：由a比b大3可得$a-b=3$，由长方形面积为7可得$ab=7$。再观察所求代数式$a^2b - ab^2$的结构，发现两项含有公因式$ab$，可通过提取公因式将代数式变形为含$a-b$和$ab$的形式，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，能简化计算。
【解析】
解：根据题意可得：$a-b=3$，长方形面积$ab=7$。
对所求代数式提取公因式因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
将$a-b=3$，$ab=7$代入上式得：
原式$=7×3=21$
故选B。
【答案】B
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，长方形面积计算
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题核心是通过提取公因式对所求代数式变形，利用整体代入思想计算，避开求解未知数的复杂过程，简化运算。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：由a比b大3可得$a-b=3$，由长方形面积为7可得$ab=7$。再观察所求代数式$a^2b - ab^2$的结构，发现两项含有公因式$ab$，可通过提取公因式将代数式变形为含$a-b$和$ab$的形式，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，能简化计算。
【解析】
解：根据题意可得：$a-b=3$，长方形面积$ab=7$。
对所求代数式提取公因式因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
将$a-b=3$，$ab=7$代入上式得：
原式$=7×3=21$
故选B。
【答案】B
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，长方形面积计算
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题核心是通过提取公因式对所求代数式变形，利用整体代入思想计算，避开求解未知数的复杂过程，简化运算。
【难度系数】
0.8
4. 在多项式①$-m^4 -n^4$；②$a^2 + b^2$；③$-16x^2 + y^2$；④$9(a-b)^2 -4$；⑤$-4a^2 + b^2$中，能用平方差公式分解因式的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.C
解析
【分析】
要判断哪些多项式能用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：1. 多项式是二项式；2. 两项的符号相反；3. 每一项都能写成某个整式的平方的形式。我们只需对照这三个条件逐一分析每个多项式即可得出结果。
【解析】
平方差公式的分解形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，满足以下三个条件的多项式可使用该公式分解因式：①为二项式；②两项符号相反；③两项均可表示为整式的平方形式。
逐一分析各多项式：
① $-m^4 -n^4 = -(m^4 + n^4)$，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解；
② $a^2 + b^2$，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解；
③ $-16x^2 + y^2 = y^2 - (4x)^2$，是二项式，两项符号相反，且均可写成整式的平方，符合条件，可分解为$(y+4x)(y-4x)$；
④ $9(a-b)^2 -4 = [3(a-b)]^2 - 2^2$，是二项式，两项符号相反，且均可写成整式的平方，符合条件，可分解为$[3(a-b)+2][3(a-b)-2]=(3a-3b+2)(3a-3b-2)$；
⑤ $-4a^2 + b^2 = b^2 - (2a)^2$，是二项式，两项符号相反，且均可写成整式的平方，符合条件，可分解为$(b+2a)(b-2a)$。
综上，符合条件的有③④⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式；因式分解判定
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构特征，熟练掌握平方差公式的形式特点是解题的关键，属于因式分解模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
要判断哪些多项式能用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：1. 多项式是二项式；2. 两项的符号相反；3. 每一项都能写成某个整式的平方的形式。我们只需对照这三个条件逐一分析每个多项式即可得出结果。
【解析】
平方差公式的分解形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，满足以下三个条件的多项式可使用该公式分解因式：①为二项式；②两项符号相反；③两项均可表示为整式的平方形式。
逐一分析各多项式：
① $-m^4 -n^4 = -(m^4 + n^4)$，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解；
② $a^2 + b^2$，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解；
③ $-16x^2 + y^2 = y^2 - (4x)^2$，是二项式，两项符号相反，且均可写成整式的平方，符合条件，可分解为$(y+4x)(y-4x)$；
④ $9(a-b)^2 -4 = [3(a-b)]^2 - 2^2$，是二项式，两项符号相反，且均可写成整式的平方，符合条件，可分解为$[3(a-b)+2][3(a-b)-2]=(3a-3b+2)(3a-3b-2)$；
⑤ $-4a^2 + b^2 = b^2 - (2a)^2$，是二项式，两项符号相反，且均可写成整式的平方，符合条件，可分解为$(b+2a)(b-2a)$。
综上，符合条件的有③④⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式；因式分解判定
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构特征，熟练掌握平方差公式的形式特点是解题的关键，属于因式分解模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
5. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是(
A.$x^2 + y^2$
B.$25x^2 + 5xy + y^2$
C.$x^2 + 2xy - y^2$
D.$x^2 - 4xy + 4y^2$
D
).A.$x^2 + y^2$
B.$25x^2 + 5xy + y^2$
C.$x^2 + 2xy - y^2$
D.$x^2 - 4xy + 4y^2$
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确能用完全平方公式分解因式的多项式的结构特征：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对应的多项式需满足三个条件：①共三项；②有两个同号的平方项（两项分别是某个式子的平方，符号一致）；③第三项是两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。接下来对照特征逐一判断选项即可。
【解析】
根据完全平方公式的结构特征逐个分析选项：
A选项：$x^2+y^2$只有两项，不符合完全平方公式三项的要求，无法用完全平方公式分解因式；
B选项：$25x^2+5xy+y^2$中，两个平方项为$25x^2=(5x)^2$、$y^2=y^2$，对应乘积的2倍应为$2×5x× y=10xy$，但选项中间项是$5xy$，不符合要求，无法用完全平方公式分解因式；
C选项：$x^2+2xy-y^2$中两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合“两个平方项同号”的要求，无法用完全平方公式分解因式；
D选项：$x^2-4xy+4y^2$中，平方项为$x^2=x^2$、$4y^2=(2y)^2$，均为正号，中间项$-4xy=-2× x×2y$，刚好是两个底数乘积的2倍，符合完全平方公式结构，可分解为$(x-2y)^2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查公式法因式分解中完全平方公式的应用，准确掌握完全平方公式的结构特点是解题核心，判断时需注意平方项的符号、中间项的倍数关系两个易错点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确能用完全平方公式分解因式的多项式的结构特征：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对应的多项式需满足三个条件：①共三项；②有两个同号的平方项（两项分别是某个式子的平方，符号一致）；③第三项是两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。接下来对照特征逐一判断选项即可。
【解析】
根据完全平方公式的结构特征逐个分析选项：
A选项：$x^2+y^2$只有两项，不符合完全平方公式三项的要求，无法用完全平方公式分解因式；
B选项：$25x^2+5xy+y^2$中，两个平方项为$25x^2=(5x)^2$、$y^2=y^2$，对应乘积的2倍应为$2×5x× y=10xy$，但选项中间项是$5xy$，不符合要求，无法用完全平方公式分解因式；
C选项：$x^2+2xy-y^2$中两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合“两个平方项同号”的要求，无法用完全平方公式分解因式；
D选项：$x^2-4xy+4y^2$中，平方项为$x^2=x^2$、$4y^2=(2y)^2$，均为正号，中间项$-4xy=-2× x×2y$，刚好是两个底数乘积的2倍，符合完全平方公式结构，可分解为$(x-2y)^2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查公式法因式分解中完全平方公式的应用，准确掌握完全平方公式的结构特点是解题核心，判断时需注意平方项的符号、中间项的倍数关系两个易错点。
【难度系数】
0.8
6. 已知$x + y = 1$，则$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$等于（
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.1或2
B
）。A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.1或2
答案
6.B
解析
【分析】
遇到这类已知两数和、求含二次项的代数式值的问题，首先观察待求式的结构特征：待求式含有$x^2$、$xy$、$y^2$项，各项系数存在公因数$\frac{1}{2}$，可先提取公因式，提取后括号内的多项式刚好符合完全平方公式的结构，能因式分解为$(x+y)^2$，此时再将已知条件$x+y=1$整体代入，就能快速求出结果，不需要单独求解x、y的具体值。
【解析】
解：对$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$进行变形：
1. 提取公因式$\frac{1}{2}$，得：
$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可知$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，代入得：
原式$=\frac{1}{2}(x+y)^2$
3. 将$x+y=1$代入上式计算：
原式$=\frac{1}{2} × 1^2 = \frac{1}{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提取公因式因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，优先对待求式因式分解再整体代入已知条件，可大幅简化计算过程，是处理整式求值问题的常用思路。
【难度系数】
0.8
遇到这类已知两数和、求含二次项的代数式值的问题，首先观察待求式的结构特征：待求式含有$x^2$、$xy$、$y^2$项，各项系数存在公因数$\frac{1}{2}$，可先提取公因式，提取后括号内的多项式刚好符合完全平方公式的结构，能因式分解为$(x+y)^2$，此时再将已知条件$x+y=1$整体代入，就能快速求出结果，不需要单独求解x、y的具体值。
【解析】
解：对$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$进行变形：
1. 提取公因式$\frac{1}{2}$，得：
$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可知$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，代入得：
原式$=\frac{1}{2}(x+y)^2$
3. 将$x+y=1$代入上式计算：
原式$=\frac{1}{2} × 1^2 = \frac{1}{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提取公因式因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，优先对待求式因式分解再整体代入已知条件，可大幅简化计算过程，是处理整式求值问题的常用思路。
【难度系数】
0.8
7. 已知正方形的面积是$(16-8x+x^2)\mathrm{cm}^2$（$x＞4$），则正方形的周长是（
A.$(4-x)\mathrm{cm}$
B.$(x-4)\mathrm{cm}$
C.$(16-4x)\mathrm{cm}$
D.$(4x-16)\mathrm{cm}$
D
）。A.$(4-x)\mathrm{cm}$
B.$(x-4)\mathrm{cm}$
C.$(16-4x)\mathrm{cm}$
D.$(4x-16)\mathrm{cm}$
答案
7.D
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，回忆正方形面积公式，正方形面积等于边长的平方，因此需要先将给出的面积表达式因式分解为完全平方的形式；第二步，根据算术平方根的非负性以及题目给出的$x＞4$的条件，确定正方形的边长（注意边长必须为正数）；第三步，利用正方形周长=4×边长的公式计算周长，对应选项即可。
【解析】
首先对面积的多项式因式分解：
$16-8x+x^2=x^2-8x+16=(x-4)^2$
因为正方形面积=边长²，且边长为正数，又已知$x＞4$，所以$x-4＞0$，因此正方形的边长为$\sqrt{(x-4)^2}=x-4$（cm）。
再根据正方形周长公式：周长=4×边长，可得周长为：
$4(x-4)=4x-16$（cm）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式因式分解；算术平方根的性质；正方形周长计算
【点评】
本题将因式分解与几何图形的公式计算结合，难度不大，易错点有两个：一是忽略x的取值范围取错边长的符号，二是误将边长当作周长直接选择，解题时需注意仔细审题，结合条件判断代数式的正负。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：第一步，回忆正方形面积公式，正方形面积等于边长的平方，因此需要先将给出的面积表达式因式分解为完全平方的形式；第二步，根据算术平方根的非负性以及题目给出的$x＞4$的条件，确定正方形的边长（注意边长必须为正数）；第三步，利用正方形周长=4×边长的公式计算周长，对应选项即可。
【解析】
首先对面积的多项式因式分解：
$16-8x+x^2=x^2-8x+16=(x-4)^2$
因为正方形面积=边长²，且边长为正数，又已知$x＞4$，所以$x-4＞0$，因此正方形的边长为$\sqrt{(x-4)^2}=x-4$（cm）。
再根据正方形周长公式：周长=4×边长，可得周长为：
$4(x-4)=4x-16$（cm）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式因式分解；算术平方根的性质；正方形周长计算
【点评】
本题将因式分解与几何图形的公式计算结合，难度不大，易错点有两个：一是忽略x的取值范围取错边长的符号，二是误将边长当作周长直接选择，解题时需注意仔细审题，结合条件判断代数式的正负。
【难度系数】
0.7
8. 如果$x^2 + mx -14=(x+2)(x-7)$，那么$m$的值为（
A.9
B.$-9$
C.$-5$
D.5
C
）。A.9
B.$-9$
C.$-5$
D.5
答案
8.C [解析]$\because x^2 + mx - 14 = (x + 2)(x - 7) = x^2 - 5x - 14,\therefore m = -5.$故选C.
解析
【分析】
本题可利用整式乘法运算和多项式相等的性质求解。等式左右两边的多项式完全相等，意味着两个多项式对应相同次数项的系数一定相等。解题时先将等式右侧的两个一次式相乘展开，合并同类项后，和左侧多项式的一次项系数对比，即可直接求出m的值。
【解析】
先计算等式右侧的整式乘积：
$\begin{aligned}(x+2)(x-7)&=x· x -7· x +2· x +2×(-7)\\&=x^2 -7x +2x -14\\&=x^2 -5x -14\end{aligned}$
已知$x^2 + mx -14 = (x+2)(x-7)$，代入展开结果可得：
$x^2 + mx -14 = x^2 -5x -14$
两个多项式相等时对应同类项的系数相等，因此一次项系数满足$m=-5$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等条件；同类项系数匹配
【点评】
本题是因式分解相关知识点的基础常考题，核心考查整式乘法的运算能力，解题关键是熟练掌握多项式乘法法则，通过展开乘积对比系数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可利用整式乘法运算和多项式相等的性质求解。等式左右两边的多项式完全相等，意味着两个多项式对应相同次数项的系数一定相等。解题时先将等式右侧的两个一次式相乘展开，合并同类项后，和左侧多项式的一次项系数对比，即可直接求出m的值。
【解析】
先计算等式右侧的整式乘积：
$\begin{aligned}(x+2)(x-7)&=x· x -7· x +2· x +2×(-7)\\&=x^2 -7x +2x -14\\&=x^2 -5x -14\end{aligned}$
已知$x^2 + mx -14 = (x+2)(x-7)$，代入展开结果可得：
$x^2 + mx -14 = x^2 -5x -14$
两个多项式相等时对应同类项的系数相等，因此一次项系数满足$m=-5$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等条件；同类项系数匹配
【点评】
本题是因式分解相关知识点的基础常考题，核心考查整式乘法的运算能力，解题关键是熟练掌握多项式乘法法则，通过展开乘积对比系数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 将多项式$6x^2y -12xy^2 +3xy$提公因式$3xy$后，另一个因式为
2x−4y+1
。答案
9.2x−4y+1
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确提公因式法分解因式的原理：提取公因式后，剩余的另一个因式是原多项式每一项除以公因式所得商的代数和。解题时先确定公因式为3xy，再逐项计算原多项式每一项除以3xy的结果，最后将结果相加即可，注意不要漏除最后一项，避免丢掉常数1。
【解析】
解：已知公因式为$3xy$，将原多项式的每一项分别除以$3xy$：
第一项：$6x^2y ÷ 3xy = 2x$
第二项：$-12xy^2 ÷ 3xy = -4y$
第三项：$3xy ÷ 3xy = 1$
将所得的商相加，得到提取公因式$3xy$后剩下的另一个因式为$2x - 4y + 1$。
【答案】
$2x - 4y + 1$
【知识点】
提公因式法因式分解，整式除法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的易错点是容易遗漏多项式最后一项除以公因式得到的1，做题时要注意逐项计算，避免漏项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确提公因式法分解因式的原理：提取公因式后，剩余的另一个因式是原多项式每一项除以公因式所得商的代数和。解题时先确定公因式为3xy，再逐项计算原多项式每一项除以3xy的结果，最后将结果相加即可，注意不要漏除最后一项，避免丢掉常数1。
【解析】
解：已知公因式为$3xy$，将原多项式的每一项分别除以$3xy$：
第一项：$6x^2y ÷ 3xy = 2x$
第二项：$-12xy^2 ÷ 3xy = -4y$
第三项：$3xy ÷ 3xy = 1$
将所得的商相加，得到提取公因式$3xy$后剩下的另一个因式为$2x - 4y + 1$。
【答案】
$2x - 4y + 1$
【知识点】
提公因式法因式分解，整式除法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的易错点是容易遗漏多项式最后一项除以公因式得到的1，做题时要注意逐项计算，避免漏项。
【难度系数】
0.8
10. 分解因式：$(a+b)^2 -4ab = \_\_\_\_\_\_$
答案
10.$(a-b)^2$
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，首先利用完全平方和公式展开$(a+b)^2$，再合并同类项，最后观察合并后的式子是否符合乘法公式的特征，套用对应的公式完成因式分解即可。
【解析】
第一步：根据完全平方和公式展开原式的第一项：
$(a+b)^2 -4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab$
第二步：合并同类项：
$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$
第三步：根据完全平方差公式因式分解：
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
【答案】
$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项、因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式的记忆与应用，解题时注意不要混淆完全平方和与差公式的展开形式，按步骤运算即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时先观察式子结构，首先利用完全平方和公式展开$(a+b)^2$，再合并同类项，最后观察合并后的式子是否符合乘法公式的特征，套用对应的公式完成因式分解即可。
【解析】
第一步：根据完全平方和公式展开原式的第一项：
$(a+b)^2 -4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab$
第二步：合并同类项：
$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$
第三步：根据完全平方差公式因式分解：
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
【答案】
$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式、合并同类项、因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式的记忆与应用，解题时注意不要混淆完全平方和与差公式的展开形式，按步骤运算即可得分。
【难度系数】
0.85
11.分解因式:$2mx^2 - 4mxy + 2my^2 =$
2m(x−y)²
.答案
11.$2m(x-y)^2$ [解析]$2mx^2 - 4mxy + 2my^2 = 2m(x^2 - 2xy + y^2) = 2m(x-y)^2.$
解析
【分析】
拿到因式分解类题目，首先遵循“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项均含有公因式2m，优先提取公因式；提取后观察剩余的多项式$x^2-2xy+y^2$，属于三项式，符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式进一步分解；最后检查分解结果是否已经不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
先提取公因式$2m$：
$2mx^2 - 4mxy + 2my^2 = 2m(x^2 - 2xy + y^2)$
再对括号内的多项式套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=x$，$b=y$）：
$2m(x^2 - 2xy + y^2) = 2m(x-y)^2$
【答案】
$2m(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考察因式分解的常规解题步骤，解题时需注意公因式要提取完全，分解最终要到不能再分解为止，避免出现漏提公因式、公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.85
拿到因式分解类题目，首先遵循“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项均含有公因式2m，优先提取公因式；提取后观察剩余的多项式$x^2-2xy+y^2$，属于三项式，符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式进一步分解；最后检查分解结果是否已经不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
先提取公因式$2m$：
$2mx^2 - 4mxy + 2my^2 = 2m(x^2 - 2xy + y^2)$
再对括号内的多项式套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=x$，$b=y$）：
$2m(x^2 - 2xy + y^2) = 2m(x-y)^2$
【答案】
$2m(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考察因式分解的常规解题步骤，解题时需注意公因式要提取完全，分解最终要到不能再分解为止，避免出现漏提公因式、公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.85
12.已知$x^2+mx+49$能用完全平方公式因式分解，则m的值为
±14
。答案
12.$\pm14$ [解析]$\because x^2 + mx + 49$能用完全平方公式进行因式分解，$x^2 + mx + 49 = x^2 + mx + 7^2$，$\therefore m = 2×7 = 14$ 或 $m = -(2×7) = -14$，$\therefore m$ 的值为$\pm14.$
解析
【分析】
解题前先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，其特征是“首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号与前一个样”。首先对应给定的多项式$x^2+mx+49$：$x^2$对应公式里的$a^2$，因此$a=x$；常数项49是$7^2$，对应公式里的$b^2$，因此$b=7$。中间项$mx$对应公式里的$\pm2ab$，因此分完全平方和、完全平方差两种情况计算$m$的值即可，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
$\because x^2 + mx + 49$能用完全平方公式进行因式分解，
将式子变形为$x^2 + mx + 7^2$，对比完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得$a=x$，$b=7$，
因此中间项$mx=\pm 2× x×7$，
化简得$mx=\pm14x$，根据多项式对应项系数相等，可得$m=\pm14$。
【答案】
$\pm14$
【知识点】
完全平方公式；因式分解的公式法
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心是熟练掌握完全平方公式的两种结构形式，易错点是容易只考虑完全平方和的情况，忽略完全平方差的情况，导致漏写$m=-14$的结果。
【难度系数】
0.7
解题前先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，其特征是“首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号与前一个样”。首先对应给定的多项式$x^2+mx+49$：$x^2$对应公式里的$a^2$，因此$a=x$；常数项49是$7^2$，对应公式里的$b^2$，因此$b=7$。中间项$mx$对应公式里的$\pm2ab$，因此分完全平方和、完全平方差两种情况计算$m$的值即可，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
$\because x^2 + mx + 49$能用完全平方公式进行因式分解，
将式子变形为$x^2 + mx + 7^2$，对比完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得$a=x$，$b=7$，
因此中间项$mx=\pm 2× x×7$，
化简得$mx=\pm14x$，根据多项式对应项系数相等，可得$m=\pm14$。
【答案】
$\pm14$
【知识点】
完全平方公式；因式分解的公式法
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心是熟练掌握完全平方公式的两种结构形式，易错点是容易只考虑完全平方和的情况，忽略完全平方差的情况，导致漏写$m=-14$的结果。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的二次式$x^2 + mx + n$，当$m=$
5
，$n=$6
时（写出一组满足条件的整数值即可），它在有理数范围内能够进行因式分解。答案
13.5 6(答案不唯一)
解析
【分析】
本题是开放性题目，考查二次三项式在有理数范围内因式分解的条件。对于形如$x^2+mx+n$的二次三项式，若能在有理数范围内因式分解，可分解为$(x+a)(x+b)$（$a$、$b$为有理数）的形式。根据整式乘法展开后对应系数相等的规律，可得$m=a+b$，$n=ab$。要取整数值的话，只需任选两个整数作为$a$、$b$，计算出对应的$m$、$n$即可。
【解析】
若二次式$x^2+mx+n$能在有理数范围内因式分解，可设其分解结果为$(x+a)(x+b)$（$a$、$b$为整数）。
将$(x+a)(x+b)$展开得：$x^2+(a+b)x+ab$，
对比原式可得：$m=a+b$，$n=ab$。
我们任选一组整数，例如取$a=2$，$b=3$，则$m=2+3=5$，$n=2×3=6$，此时$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$，满足在有理数范围内可因式分解的要求，还可选取其他整数得到不同的答案。
【答案】
5；6（答案不唯一）
【知识点】
十字相乘法因式分解；整式乘法运算
【点评】
本题属于开放性基础题，灵活考查二次三项式因式分解的规律，掌握十字相乘法的本质即可快速写出答案，解题时可灵活选择整数值，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
本题是开放性题目，考查二次三项式在有理数范围内因式分解的条件。对于形如$x^2+mx+n$的二次三项式，若能在有理数范围内因式分解，可分解为$(x+a)(x+b)$（$a$、$b$为有理数）的形式。根据整式乘法展开后对应系数相等的规律，可得$m=a+b$，$n=ab$。要取整数值的话，只需任选两个整数作为$a$、$b$，计算出对应的$m$、$n$即可。
【解析】
若二次式$x^2+mx+n$能在有理数范围内因式分解，可设其分解结果为$(x+a)(x+b)$（$a$、$b$为整数）。
将$(x+a)(x+b)$展开得：$x^2+(a+b)x+ab$，
对比原式可得：$m=a+b$，$n=ab$。
我们任选一组整数，例如取$a=2$，$b=3$，则$m=2+3=5$，$n=2×3=6$，此时$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$，满足在有理数范围内可因式分解的要求，还可选取其他整数得到不同的答案。
【答案】
5；6（答案不唯一）
【知识点】
十字相乘法因式分解；整式乘法运算
【点评】
本题属于开放性基础题，灵活考查二次三项式因式分解的规律，掌握十字相乘法的本质即可快速写出答案，解题时可灵活选择整数值，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
14. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：
（第14题）
x²+2x+4x+8=(x+2)(x+4)
。（第14题）答案
14.$x^2 + 2x + 4x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
解析
【分析】
解题思路利用拼接前后图形面积相等建立等量关系。首先分别计算四个小图形的面积，求和得到多项式形式；再计算拼接后大长方形的面积，得到两个一次式乘积的形式，根据面积相等即可得到对应的因式分解等式。
【解析】
第一步：计算四个小图形的总面积：
边长为$x$的正方形面积：$S_1 = x · x = x^2$
长为$x$、宽为2的长方形面积：$S_2 = 2 · x = 2x$
长为$x$、宽为4的长方形面积：$S_3 = 4 · x = 4x$
长为4、宽为2的长方形面积：$S_4 = 4 × 2 = 8$
四个图形总面积和为：$S_{总} = x^2 + 2x + 4x + 8$
第二步：计算拼接后大长方形的面积：
拼接后大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为：$S = (x+2)(x+4)$
第三步：根据拼接前后面积相等，可得对应的因式分解等式。
【答案】
$x^2 + 2x + 4x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
【知识点】
因式分解；面积法；整式乘法
【点评】
本题借助几何拼图考查因式分解的几何意义，体现了数形结合的数学思想，通过面积相等建立代数等式，能够直观展现因式分解与整式乘法的互逆关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题思路利用拼接前后图形面积相等建立等量关系。首先分别计算四个小图形的面积，求和得到多项式形式；再计算拼接后大长方形的面积，得到两个一次式乘积的形式，根据面积相等即可得到对应的因式分解等式。
【解析】
第一步：计算四个小图形的总面积：
边长为$x$的正方形面积：$S_1 = x · x = x^2$
长为$x$、宽为2的长方形面积：$S_2 = 2 · x = 2x$
长为$x$、宽为4的长方形面积：$S_3 = 4 · x = 4x$
长为4、宽为2的长方形面积：$S_4 = 4 × 2 = 8$
四个图形总面积和为：$S_{总} = x^2 + 2x + 4x + 8$
第二步：计算拼接后大长方形的面积：
拼接后大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为：$S = (x+2)(x+4)$
第三步：根据拼接前后面积相等，可得对应的因式分解等式。
【答案】
$x^2 + 2x + 4x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
【知识点】
因式分解；面积法；整式乘法
【点评】
本题借助几何拼图考查因式分解的几何意义，体现了数形结合的数学思想，通过面积相等建立代数等式，能够直观展现因式分解与整式乘法的互逆关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
15. 利用因式分解计算：$3.68×15.7 - 31.4 + 15.7×0.32 =$
31.4
答案
15.31.4 [解析]$3.68×15.7 - 31.4 + 15.7×0.32 = 3.68×15.7 - 15.7×2 + 15.7×0.32 = 15.7×(3.68 - 2 + 0.32) = 15.7×2 = 31.4.$
解析
【分析】
观察算式可知，算式中同时出现15.7和31.4，且31.4=15.7×2，变形后三个项都含有公因式15.7，因此可先对中间项进行转化，再提取公因式15.7，先计算括号内的加减运算，再计算乘法即可简化运算，避免直接计算多步乘法的复杂过程。
【解析】
解：$3.68×15.7 - 31.4 + 15.7×0.32$
$= 3.68×15.7 - 15.7×2 + 15.7×0.32$
$= 15.7×(3.68 - 2 + 0.32)$
$= 15.7×[(3.68 + 0.32) - 2]$
$= 15.7×(4 - 2)$
$= 15.7×2$
$= 31.4$
【答案】
$31.4$
【知识点】
提公因式法因式分解；有理数简便运算
【点评】
本题是利用因式分解进行简便计算的常规题型，解题关键是通过数字变形找到公因式，提取公因式后可大幅降低计算量，能很好地锻炼学生对数字的观察能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，算式中同时出现15.7和31.4，且31.4=15.7×2，变形后三个项都含有公因式15.7，因此可先对中间项进行转化，再提取公因式15.7，先计算括号内的加减运算，再计算乘法即可简化运算，避免直接计算多步乘法的复杂过程。
【解析】
解：$3.68×15.7 - 31.4 + 15.7×0.32$
$= 3.68×15.7 - 15.7×2 + 15.7×0.32$
$= 15.7×(3.68 - 2 + 0.32)$
$= 15.7×[(3.68 + 0.32) - 2]$
$= 15.7×(4 - 2)$
$= 15.7×2$
$= 31.4$
【答案】
$31.4$
【知识点】
提公因式法因式分解；有理数简便运算
【点评】
本题是利用因式分解进行简便计算的常规题型，解题关键是通过数字变形找到公因式，提取公因式后可大幅降低计算量，能很好地锻炼学生对数字的观察能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
16. 甲、乙两个同学分解因式$x^2+ax+b$时，甲看错了$b$，分解结果为$(x+2)(x+4)$；乙看错了$a$，分解结果为$(x+1)(x+9)$，则$a+b$=
15
。答案
16.15 [解析]分解因式$x^2 + ax + b$，甲看错了$b$，但$a$是正确的.$\because (x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8,\therefore a = 6.$同理，乙看错了$a$，但$b$是正确的.$\because (x+1)(x+9) = x^2 + 10x + 9,\therefore b = 9,\therefore a + b = 15.$
解析
【分析】
解题时要利用因式分解和整式乘法互逆的关系思考：甲仅看错了常数项b，说明他分解得到的结果展开后，一次项系数是正确的，也就是原式中的a值是对的；乙仅看错了一次项系数a，说明他分解得到的结果展开后，常数项是正确的，也就是原式中的b值是对的。我们只需要分别展开两人的分解结果，提取对应正确的a、b值，再计算a+b即可。
【解析】
1. 求正确的a值：
甲看错了b，因此他的分解结果中一次项系数正确。
展开$(x+2)(x+4)$：
$(x+2)(x+4)=x^2+4x+2x+8=x^2+6x+8$
和原式$x^2+ax+b$对应，可得$a=6$。
2. 求正确的b值：
乙看错了a，因此他的分解结果中常数项正确。
展开$(x+1)(x+9)$：
$(x+1)(x+9)=x^2+9x+x+9=x^2+10x+9$
和原式$x^2+ax+b$对应，可得$b=9$。
3. 计算$a+b$：
$a+b=6+9=15$
【答案】
15
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法互逆
2. 多项式系数对应关系
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是排除“看错参数”的干扰，找准对应正确的系数，只要熟练掌握整式乘法的运算规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时要利用因式分解和整式乘法互逆的关系思考：甲仅看错了常数项b，说明他分解得到的结果展开后，一次项系数是正确的，也就是原式中的a值是对的；乙仅看错了一次项系数a，说明他分解得到的结果展开后，常数项是正确的，也就是原式中的b值是对的。我们只需要分别展开两人的分解结果，提取对应正确的a、b值，再计算a+b即可。
【解析】
1. 求正确的a值：
甲看错了b，因此他的分解结果中一次项系数正确。
展开$(x+2)(x+4)$：
$(x+2)(x+4)=x^2+4x+2x+8=x^2+6x+8$
和原式$x^2+ax+b$对应，可得$a=6$。
2. 求正确的b值：
乙看错了a，因此他的分解结果中常数项正确。
展开$(x+1)(x+9)$：
$(x+1)(x+9)=x^2+9x+x+9=x^2+10x+9$
和原式$x^2+ax+b$对应，可得$b=9$。
3. 计算$a+b$：
$a+b=6+9=15$
【答案】
15
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法互逆
2. 多项式系数对应关系
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是排除“看错参数”的干扰，找准对应正确的系数，只要熟练掌握整式乘法的运算规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
17. 如图，依据图形面积间的关系，可得到一个你已经熟悉的因式分解的公式，用图中的字母表示这个公式为
x²+2xy+y²=(x+y)²
。答案
17.$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$ [解析]根据面积不变的性质可得$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2.$
解析
【分析】
我们可以通过两种方法计算大正方形的面积推导公式：首先观察图形，确定大正方形的边长，直接计算其面积；再将大正方形拆分为几个小规则图形，分别计算各小图形的面积后求和得到大正方形的总面积；因为两种方式计算的是同一个图形的面积，结果相等，即可整理得到对应的因式分解公式。
【解析】
第一步：计算大正方形的面积
观察图形可知，大正方形的边长为$x+y$，根据正方形面积公式可得其面积为：
$S=(x+y)^2$
第二步：计算拆分后各小图形的面积和
大正方形可以拆分为1个边长为$x$的正方形、2个长为$x$宽为$y$的长方形、1个边长为$y$的正方形：
边长为$x$的正方形面积：$x^2$
2个长方形的总面积：$2× xy=2xy$
边长为$y$的正方形面积：$y^2$
因此各小图形面积和为：$S=x^2+2xy+y^2$
第三步：联立两个面积表达式
因为两种方法计算的是同一个大正方形的面积，所以二者相等，即得到对应的因式分解公式。
【答案】
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，面积法
【点评】
本题借助几何图形面积的不同表示方式验证因式分解公式，体现了数形结合的数学思想，能帮助我们更直观地理解代数公式的几何含义，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
我们可以通过两种方法计算大正方形的面积推导公式：首先观察图形，确定大正方形的边长，直接计算其面积；再将大正方形拆分为几个小规则图形，分别计算各小图形的面积后求和得到大正方形的总面积；因为两种方式计算的是同一个图形的面积，结果相等，即可整理得到对应的因式分解公式。
【解析】
第一步：计算大正方形的面积
观察图形可知，大正方形的边长为$x+y$，根据正方形面积公式可得其面积为：
$S=(x+y)^2$
第二步：计算拆分后各小图形的面积和
大正方形可以拆分为1个边长为$x$的正方形、2个长为$x$宽为$y$的长方形、1个边长为$y$的正方形：
边长为$x$的正方形面积：$x^2$
2个长方形的总面积：$2× xy=2xy$
边长为$y$的正方形面积：$y^2$
因此各小图形面积和为：$S=x^2+2xy+y^2$
第三步：联立两个面积表达式
因为两种方法计算的是同一个大正方形的面积，所以二者相等，即得到对应的因式分解公式。
【答案】
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，面积法
【点评】
本题借助几何图形面积的不同表示方式验证因式分解公式，体现了数形结合的数学思想，能帮助我们更直观地理解代数公式的几何含义，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
18. 已知$a=2025x+2024$，$b=2025x+2025$，$c=2025x+2026$，则多项式$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$的值为
3
。答案
18.3 [解析]$\because a = 2025x + 2024,b = 2025x + 2025,c = 2025x + 2026,$
$\therefore a - b = -1,a - c = -2,b - c = -1,$
则原式$=\frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc)$
$=\frac{1}{2}[(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2)]$
$=\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2]$
$=\frac{1}{2}×(1 + 4 + 1) = 3.$
$\therefore a - b = -1,a - c = -2,b - c = -1,$
则原式$=\frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc)$
$=\frac{1}{2}[(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2)]$
$=\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2]$
$=\frac{1}{2}×(1 + 4 + 1) = 3.$
解析
【分析】
首先观察所求多项式的结构，直接将a、b、c的表达式代入计算会十分繁琐。注意到a、b、c的表达式中都含有相同的2025x项，先计算a-b、a-c、b-c的差，可消去x得到常数。再对所求多项式变形，通过乘以2再除以2的方式凑成完全平方的组合形式，代入三个差的平方值即可快速算出结果，无需计算x的具体值，运用整体思想可大幅简化运算。
【解析】
解：已知$a=2025x+2024$，$b=2025x+2025$，$c=2025x+2026$，
则$a-b=(2025x+2024)-(2025x+2025)=-1$，
$a-c=(2025x+2024)-(2025x+2026)=-2$，
$b-c=(2025x+2025)-(2025x+2026)=-1$。
对所求多项式进行变形：
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$
$=\frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac)$
$=\frac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]$
$=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]$
将$a-b=-1$，$a-c=-2$，$b-c=-1$代入上式得：
原式$=\frac{1}{2}×[(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2]=\frac{1}{2}×(1+4+1)=3$。
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值，因式分解应用
【点评】
本题是完全平方公式和因式分解的典型应用题型，核心是通过凑完全平方的技巧将所求式转化为含代数式差值的形式，利用整体代入的思想简化运算，避免了直接代入含x表达式带来的复杂计算，对代数式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先观察所求多项式的结构，直接将a、b、c的表达式代入计算会十分繁琐。注意到a、b、c的表达式中都含有相同的2025x项，先计算a-b、a-c、b-c的差，可消去x得到常数。再对所求多项式变形，通过乘以2再除以2的方式凑成完全平方的组合形式，代入三个差的平方值即可快速算出结果，无需计算x的具体值，运用整体思想可大幅简化运算。
【解析】
解：已知$a=2025x+2024$，$b=2025x+2025$，$c=2025x+2026$，
则$a-b=(2025x+2024)-(2025x+2025)=-1$，
$a-c=(2025x+2024)-(2025x+2026)=-2$，
$b-c=(2025x+2025)-(2025x+2026)=-1$。
对所求多项式进行变形：
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$
$=\frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac)$
$=\frac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]$
$=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]$
将$a-b=-1$，$a-c=-2$，$b-c=-1$代入上式得：
原式$=\frac{1}{2}×[(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2]=\frac{1}{2}×(1+4+1)=3$。
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值，因式分解应用
【点评】
本题是完全平方公式和因式分解的典型应用题型，核心是通过凑完全平方的技巧将所求式转化为含代数式差值的形式，利用整体代入的思想简化运算，避免了直接代入含x表达式带来的复杂计算，对代数式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
