20. 如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.

20.(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D.
又AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE与△ADF中,
$\begin{cases}∠AEB=∠AFD,\\∠B=∠D,\\AB=AD,\end{cases}$
∴△ABE≅△ADF(AAS).
∴AE=AF.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=60°,
∴∠BAD=120°.
又∠AEB=90°,∠B=60°,
∴∠BAE=30°.
由(1)知△ABE≅△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=120°−30°−30°=60°.又AE=AF，
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=60°.

【分析】
(1) 要证明AE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。结合菱形的性质可得AB=AD、∠B=∠D，再结合AE⊥BC、AF⊥CD得到两个直角相等，即可用AAS判定△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF。
(2) 求∠AEF的度数，首先由(1)已知AE=AF，可知△AEF是等腰三角形，只需先求出顶角∠EAF的度数即可。先根据菱形邻角互补求出∠BAD的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数，由全等性质得∠DAF=∠BAE，进而算出∠EAF的度数，判断△AEF为等边三角形，即可得到∠AEF的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D。
又
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=∠AFD=90°。
在△ABE与△ADF中，
$\begin{cases}∠AEB=∠AFD,\\∠B=∠D,\\AB=AD,\end{cases}$
∴△ABE≅△ADF(AAS)，
∴AE=AF。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°。
又
∵∠AEB=90°，∠B=60°，
∴∠BAE=30°。
由(1)知△ABE≅△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=∠BAD - ∠BAE - ∠DAF = 120°−30°−30°=60°。
又
∵AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°。
【答案】
(1) 证明见解析，AE=AF成立；(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是四边形基础综合题，解题的关键是熟练运用菱形的边角性质，通过全等三角形实现线段和角的等量转化，结合特殊三角形的性质求解角度，是四边形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

21.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AM⊥DF.

21.
∵四边形ABCD是正方形，
∴CO=AO=DO,∠AOE=∠DOF=90°.
又DE=CF,
∴OE=OF.
在△AOE和△DOF中,
$\begin{cases}AO=DO,\\∠AOE=∠DOF,\\OE=OF,\end{cases}$
∴△AOE≅△DOF(SAS),
∴∠OAE=∠ODF.
∵∠OAE+∠AEO=90°,∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°,
∴∠AMD=90°,即AM⊥DF.

【分析】
要证明AM⊥DF，本质是证明两条直线的夹角为90°，可按以下思路推导：首先利用正方形对角线的性质，得到对角线互相垂直平分且相等，可得AO=DO=CO、∠AOE=∠DOF=90°；再结合已知DE=CF，通过线段和差关系推出OE=OF，得到全等三角形的判定条件；接着用SAS证明△AOE≌△DOF，得到对应角∠OAE=∠ODF；最后结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，进行角的等量代换，即可推出∠AMD=90°，完成证明。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴CO=AO=DO，∠AOE=∠DOF=90°。
又
∵DE=CF，
∴OD-DE=OC-CF，即OE=OF。
在△AOE和△DOF中，
$\begin{cases}AO=DO,\\∠AOE=∠DOF,\\OE=OF,\end{cases}$
∴△AOE≅△DOF(SAS)，
∴∠OAE=∠ODF。
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM（对顶角相等），
∴∠ODF+∠DEM=90°，
∴∠AMD=90°，即AM⊥DF。
【答案】
AM⊥DF
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的判定
【点评】
本题是四边形章节的典型基础证明题，综合考查了正方形的性质与全等三角形的应用，解题关键是通过线段差构造全等条件，利用角的等量代换推导直角，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

22.如图,已知:在梯形ABCD中,$AD // BC$,AB=DC,过点D作$DE ⊥ BC$,垂足为E,延长DE至点F,使EF=DE,连接BF,AC,AC与DE相交于点P.
(1)求证:四边形ABFC是平行四边形;
(2)如果AD=DE,AP=DC,求证:四边形ABFC是矩形.

22.(1)如图,连接BD.

∵梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,
∴AC=BD.
在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,BC=CB，
∴△ABC≅△DCB(SSS)，
∴∠ACB=∠DBC.
又DE⊥BC,EF=DE，
∴BD=BF,∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF,∠ACB=∠CBF,
∴AC//BF，
∴四边形ABFC是平行四边形.
(2)
∵AB=CF,AB=CD,
∴CD=CF.
∵DE⊥BC,
∴∠DCE=∠BCF.
∵AD//BC,
∴∠ADP=∠DEC=90°.
∵AD=DE,AP=CD，
∴Rt△ADP≅Rt△DEC(HL),
∴∠DAP=∠CDE.
∵∠DAP=∠ACB,∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCF=90°,
∴∠ACF=90°.
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形.

【分析】
（1）要证明四边形ABFC是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现：首先已知梯形ABCD是等腰梯形，可得对角线AC=BD；观察到DE⊥BC且EF=DE，说明BC是DF的垂直平分线，因此BD=BF、对应角相等，进而可推得AC=BF且AC//BF，满足平行四边形判定条件，因此需要先连接辅助线BD。
（2）已知四边形ABFC是平行四边形，要证明它是矩形，只需证明有一个内角是直角即可：结合AD=DE、AP=DC的条件，可先证明Rt△ADP≌Rt△DEC，得到角的等量关系，再通过角的代换推出∠ACF=90°，即可根据矩形的判定定理得证。
【解析】
(1) 如图，连接BD。

∵ 梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，
∴ 梯形ABCD是等腰梯形，得AC=BD。
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l} AB=DC\\ AC=DB\\ BC=CB\end{array} $
∴ △ABC≅△DCB(SSS)，
∴ ∠ACB=∠DBC。
又
∵ DE⊥BC，EF=DE，
∴ BC垂直平分DF，得BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴ AC=BF，∠ACB=∠CBF，
∴ AC//BF，
∴ 四边形ABFC是平行四边形。
(2)
∵ 四边形ABFC是平行四边形，
∴ AB=CF，
又
∵ AB=CD，
∴ CD=CF。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DCE=∠BCF。
∵ AD//BC，DE⊥BC，
∴ ∠ADP=∠DEC=90°。
在Rt△ADP和Rt△DEC中，
$\{\begin{array}{l} AD=DE\\ AP=DC\end{array} $
∴ Rt△ADP≅Rt△DEC(HL)，
∴ ∠DAP=∠CDE。
∵ AD//BC，
∴ ∠DAP=∠ACB，
又
∵ ∠CDE+∠DCE=90°，
∴ ∠ACB+∠BCF=90°，即∠ACF=90°。
∵ 四边形ABFC是平行四边形，
∴ 四边形ABFC是矩形。
【答案】
(1) 如图,连接BD.

∵梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,
∴AC=BD.
在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,BC=CB，
∴△ABC≅△DCB(SSS)，
∴∠ACB=∠DBC.
又DE⊥BC,EF=DE，
∴BD=BF,∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF,∠ACB=∠CBF,
∴AC//BF，
∴四边形ABFC是平行四边形.
(2)
∵AB=CF,AB=CD,
∴CD=CF.
∵DE⊥BC,
∴∠DCE=∠BCF.
∵AD//BC,
∴∠ADP=∠DEC=90°.
∵AD=DE,AP=CD，
∴Rt△ADP≅Rt△DEC(HL),
∴∠DAP=∠CDE.
∵∠DAP=∠ACB,∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCF=90°,
∴∠ACF=90°.
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形.
【知识点】
等腰梯形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质、全等三角形的证明，解题的关键是合理添加辅助线，结合垂直平分线的性质、全等三角形的性质完成边角的等量转化，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6

23. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，过点$C$的直线$MN // AB$，$D$为边$AB$上一点，过点$D$作$DE ⊥ BC$，交直线$MN$于点$E$，垂足为$F$，连接$CD$，$BE$。
(1)求证:$CE=AD$。
(2)当$D$在$AB$的中点时，四边形$BECD$是什么特殊四边形？说明你的理由。
(3)若$D$为$AB$的中点，则当$∠ A$的大小满足什么条件时，四边形$BECD$是正方形？请说明你的理由。

23.(1)
∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB.
∴AC//DE.
∵MN//AB,即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD.
(2)四边形BECD是菱形.理由如下：
∵D为AB的中点,
∴AD=BD.
∵CE=AD,
∴BD=CE.
∵BD//CE,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°,D为AB的中点，
∴CD=BD,
∴四边形BECD是菱形.
(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
理由如下：
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC.
∵D为BA的中点,
∴CD⊥AB.
∴∠CDB=90°.
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形.
即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.

【分析】
(1)要证$CE=AD$，可先证四边形$ADEC$是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质推导：首先由$DE⊥ BC$、$∠ ACB=90°$可推出$AC// DE$，再结合$MN// AB$（即$CE// AD$），两组对边分别平行即可判定四边形$ADEC$为平行四边形。
(2)判断四边形$BECD$的形状时，先结合$D$是$AB$中点的条件，由(1)的结论得$CE=BD$，结合$CE// BD$先判定其为平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到$CD=BD$，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论。
(3)菱形变为正方形需要有一个内角为直角，因此推导$∠ CDB=90°$时$∠ A$的度数即可：当$∠ A=45°$时，$△ ABC$为等腰直角三角形，结合$D$是$AB$中点，由等腰三角形三线合一得$CD⊥ AB$，即$∠ CDB=90°$，有一个直角的菱形是正方形，即可得结论。
【解析】
(1)证明：
$\because DE⊥ BC$，
$\therefore ∠ DFB=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFB$，
$\therefore AC// DE$。
$\because MN// AB$，即$CE// AD$，
$\therefore$四边形$ADEC$是平行四边形，
$\therefore CE=AD$。
(2)四边形$BECD$是菱形，理由如下：
$\because D$为$AB$的中点，
$\therefore AD=BD$。
$\because CE=AD$，
$\therefore BD=CE$。
$\because BD// CE$，
$\therefore$四边形$BECD$是平行四边形。
$\because ∠ ACB=90°$，$D$为$AB$的中点，
$\therefore CD=BD$，
$\therefore$四边形$BECD$是菱形。
(3)当$∠ A=45°$时，四边形$BECD$是正方形，理由如下：
$\because ∠ ACB=90°$，$∠ A=45°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ A=45°$，
$\therefore AC=BC$。
$\because D$为$BA$的中点，
$\therefore CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDB=90°$。
$\because$四边形$BECD$是菱形，
$\therefore$四边形$BECD$是正方形，
即当$∠ A=45°$时，四边形$BECD$是正方形。
【答案】
(1)证明成立，$CE=AD$；
(2)四边形$BECD$是菱形；
(3)当$∠ A=45°$时，四边形$BECD$是正方形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题是四边形综合题，逐层递进考查了不同特殊四边形的判定方法，同时结合了平行线判定、直角三角形及等腰三角形的性质，解题时需紧扣特殊四边形的判定逻辑，结合已知条件逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7