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10. 如图，D，E分别是$△ ABC$边AB，AC的中点，连接BE，DE。若$∠ AED=∠ BEC$，$DE=2$，则BE的长为
4
。答案
10.4
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“D，E分别是AB、AC的中点”入手，回忆三角形中位线的性质，先得到DE和BC的位置、数量关系，求出BC的长度；再结合平行线的性质，得到∠AED和∠C的等量关系，结合题目给出的∠AED=∠BEC，通过等量代换得到△BEC中两角相等，利用等腰三角形“等角对等边”的性质即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
已知DE=2，代入得$BC=2DE=2×2=4$。
∵DE//BC，
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。
又
∵∠AED=∠BEC，
∴∠BEC=∠C，
∴△BEC为等腰三角形，根据等角对等边可得BE=BC，
∴BE=4。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是逐层推导条件：先借助中位线得到边的长度，再通过角度的等量转化得到等腰三角形，最终求出目标线段长，对几何基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“D，E分别是AB、AC的中点”入手，回忆三角形中位线的性质，先得到DE和BC的位置、数量关系，求出BC的长度；再结合平行线的性质，得到∠AED和∠C的等量关系，结合题目给出的∠AED=∠BEC，通过等量代换得到△BEC中两角相等，利用等腰三角形“等角对等边”的性质即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
已知DE=2，代入得$BC=2DE=2×2=4$。
∵DE//BC，
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。
又
∵∠AED=∠BEC，
∴∠BEC=∠C，
∴△BEC为等腰三角形，根据等角对等边可得BE=BC，
∴BE=4。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是逐层推导条件：先借助中位线得到边的长度，再通过角度的等量转化得到等腰三角形，最终求出目标线段长，对几何基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
11. 在$□ ABCD$中，$∠ A:∠ B=1:5$，$AB=6$，$BC=4$，则$□ ABCD$的面积为
12
。答案
11.12
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质，结合已知的角的比例关系求出∠A的度数；再根据平行四边形对边相等得到AD的长度，过顶点作AB边上的高，利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度；最后用平行四边形面积公式（底×高）计算面积即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=4，
∴∠A + ∠B = 180°，
∵∠A:∠B=1:5，
∴设∠A=x，则∠B=5x，
代入得：x + 5x = 180°，
解得x=30°，即∠A=30°。
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
在Rt△ADE中，∠A=30°，AD=4，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = 2（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴平行四边形ABCD的面积 = AB × DE = 6 × 2 = 12。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是先通过角的关系得到30°特殊角，再构造直角三角形求出平行四边形的高，最终代入面积公式求解，是四边形部分的常规考法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质，结合已知的角的比例关系求出∠A的度数；再根据平行四边形对边相等得到AD的长度，过顶点作AB边上的高，利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度；最后用平行四边形面积公式（底×高）计算面积即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=4，
∴∠A + ∠B = 180°，
∵∠A:∠B=1:5，
∴设∠A=x，则∠B=5x，
代入得：x + 5x = 180°，
解得x=30°，即∠A=30°。
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
在Rt△ADE中，∠A=30°，AD=4，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = 2（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴平行四边形ABCD的面积 = AB × DE = 6 × 2 = 12。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是先通过角的关系得到30°特殊角，再构造直角三角形求出平行四边形的高，最终代入面积公式求解，是四边形部分的常规考法。
【难度系数】
0.7
12. 在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，CD=5，则BC=
9或3
.答案
12.9或3
解析
【分析】
本题是直角梯形的边长计算问题，核心解题思路是通过作高将梯形转化为矩形和直角三角形，结合矩形性质与勾股定理求解。由于题目未明确梯形两底的长短关系，需分两种情况讨论：一是点C在垂足右侧，BC长度为BE与EC之和；二是点C在垂足左侧，BC长度为BE与EC之差。具体步骤为：先过D作DE⊥BC构造矩形和直角三角形，利用矩形性质得到BE、DE的长度，再用勾股定理求出EC，最后分情况计算BC即可。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E。
∵AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=6，DE=AB=4。
在Rt△DEC中，CD=5，DE=4，由勾股定理可得：
$EC=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
分两种情况讨论：
① 点C在线段BE的延长线上（BC＞AD），此时$BC=BE+EC=6+3=9$；
② 点C在线段BE上（BC＜AD），此时$BC=BE-EC=6-3=3$。
综上，BC的长度为9或3。
【答案】
9或3
【知识点】
直角梯形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查梯形的常用辅助线做法，通过作高将陌生的梯形问题转化为熟悉的矩形、直角三角形问题求解，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是直角梯形的边长计算问题，核心解题思路是通过作高将梯形转化为矩形和直角三角形，结合矩形性质与勾股定理求解。由于题目未明确梯形两底的长短关系，需分两种情况讨论：一是点C在垂足右侧，BC长度为BE与EC之和；二是点C在垂足左侧，BC长度为BE与EC之差。具体步骤为：先过D作DE⊥BC构造矩形和直角三角形，利用矩形性质得到BE、DE的长度，再用勾股定理求出EC，最后分情况计算BC即可。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E。
∵AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=6，DE=AB=4。
在Rt△DEC中，CD=5，DE=4，由勾股定理可得：
$EC=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
分两种情况讨论：
① 点C在线段BE的延长线上（BC＞AD），此时$BC=BE+EC=6+3=9$；
② 点C在线段BE上（BC＜AD），此时$BC=BE-EC=6-3=3$。
综上，BC的长度为9或3。
【答案】
9或3
【知识点】
直角梯形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查梯形的常用辅助线做法，通过作高将陌生的梯形问题转化为熟悉的矩形、直角三角形问题求解，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
13. 若$□ ABCD$的周长为60 cm，对角线相交于点O，$△ AOB$的周长比$△ BOC$的周长多8 cm，则$AB=$
19
cm，$BC=$11
cm.答案
13.19 11
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的基本性质：一是对边相等，二是对角线互相平分。我们先根据平行四边形的周长推出一组邻边的和；再结合两个三角形的周长差，利用对角线互相平分的性质消去公共边和相等的对角线部分，得到邻边的差；最后联立邻边的和与差的关系式，就能求出AB、BC的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC，AO=CO（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
∵平行四边形ABCD的周长为60 cm
∴$2(AB+BC)=60$，化简得：$AB+BC=30\ \mathrm{cm}$ ---①
∵$△ AOB$的周长$=AB+AO+BO$，$△ BOC$的周长$=BC+CO+BO$
又
∵$AO=CO$，$BO$是两个三角形的公共边
∴$△ AOB$的周长$-$$△ BOC$的周长$=AB-BC=8\ \mathrm{cm}$ ---②
联立①②，两式相加得$2AB=38$，解得$AB=19\ \mathrm{cm}$
把$AB=19$代入①式，得$BC=30-19=11\ \mathrm{cm}$
【答案】
19；11
【知识点】
平行四边形的性质；周长计算；二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用考题，解题的关键是利用对角线互相平分的性质，将三角形的周长差转化为平行四边形邻边的差，再结合周长条件建立方程求解，考查学生对基础性质的掌握和转化能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆平行四边形的基本性质：一是对边相等，二是对角线互相平分。我们先根据平行四边形的周长推出一组邻边的和；再结合两个三角形的周长差，利用对角线互相平分的性质消去公共边和相等的对角线部分，得到邻边的差；最后联立邻边的和与差的关系式，就能求出AB、BC的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC，AO=CO（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
∵平行四边形ABCD的周长为60 cm
∴$2(AB+BC)=60$，化简得：$AB+BC=30\ \mathrm{cm}$ ---①
∵$△ AOB$的周长$=AB+AO+BO$，$△ BOC$的周长$=BC+CO+BO$
又
∵$AO=CO$，$BO$是两个三角形的公共边
∴$△ AOB$的周长$-$$△ BOC$的周长$=AB-BC=8\ \mathrm{cm}$ ---②
联立①②，两式相加得$2AB=38$，解得$AB=19\ \mathrm{cm}$
把$AB=19$代入①式，得$BC=30-19=11\ \mathrm{cm}$
【答案】
19；11
【知识点】
平行四边形的性质；周长计算；二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用考题，解题的关键是利用对角线互相平分的性质，将三角形的周长差转化为平行四边形邻边的差，再结合周长条件建立方程求解，考查学生对基础性质的掌握和转化能力。
【难度系数】
0.7
14. 在$□ ABCD$中，一角的平分线把一条边分成3 cm和4 cm两部分，则$□ ABCD$的周长为
20 cm或22 cm
答案
14.20 cm或22 cm
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义可推导得到等腰三角形，得出被角平分线截得的短边与平行四边形的邻边相等；由于题目未明确被分边的3cm和4cm对应哪一段，因此需要分类讨论两种情况，再代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
设平行四边形$ABCD$中，$∠ BAD$的平分线交$BC$边于点$E$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ DAE=∠ AEB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AE$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ AEB$，$\therefore AB=BE$（等角对等边）。
由题意得$BC$被$E$分为两段，总长度为$3+4=7\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
① 当$BE=3\ \mathrm{cm}$时，$AB=3\ \mathrm{cm}$，
平行四边形周长$=2×(AB+BC)=2×(3+7)=20\ \mathrm{cm}$；
② 当$BE=4\ \mathrm{cm}$时，$AB=4\ \mathrm{cm}$，
平行四边形周长$=2×(AB+BC)=2×(4+7)=22\ \mathrm{cm}$。
两种情况均符合几何图形要求，因此周长为20cm或22cm。
【答案】
20 cm或22 cm
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，只计算其中一种情况导致漏解。解题的关键是结合平行四边形和角平分线的性质推导出等腰三角形，再对分段情况分类讨论求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义可推导得到等腰三角形，得出被角平分线截得的短边与平行四边形的邻边相等；由于题目未明确被分边的3cm和4cm对应哪一段，因此需要分类讨论两种情况，再代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
设平行四边形$ABCD$中，$∠ BAD$的平分线交$BC$边于点$E$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ DAE=∠ AEB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AE$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ AEB$，$\therefore AB=BE$（等角对等边）。
由题意得$BC$被$E$分为两段，总长度为$3+4=7\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
① 当$BE=3\ \mathrm{cm}$时，$AB=3\ \mathrm{cm}$，
平行四边形周长$=2×(AB+BC)=2×(3+7)=20\ \mathrm{cm}$；
② 当$BE=4\ \mathrm{cm}$时，$AB=4\ \mathrm{cm}$，
平行四边形周长$=2×(AB+BC)=2×(4+7)=22\ \mathrm{cm}$。
两种情况均符合几何图形要求，因此周长为20cm或22cm。
【答案】
20 cm或22 cm
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，只计算其中一种情况导致漏解。解题的关键是结合平行四边形和角平分线的性质推导出等腰三角形，再对分段情况分类讨论求解。
【难度系数】
0.6
15. 数学文化 《几何》 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短。在菱形ABCD中，$AB=2$，$∠ DAB = 120°$。如图，建立平面直角坐标系$xOy$，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是
$(2,\sqrt{3})$
。答案
15.$(2,\sqrt{3})$
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的基本性质：四条边相等、对边平行。首先结合已知的∠DAB=120°，求出其邻补角∠DAO的度数，在Rt△DOA中利用直角三角形的性质计算OA、OD的长度，得到点D的坐标；再利用菱形对边平行且相等的性质，结合CD和AB平行的关系，即可推出点C的坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，
∴AD=CD=AB=2，CD//AB。
∵∠DAB=120°，
∴∠DAO=180°-120°=60°，
在Rt△DOA中，∠ADO=90°-60°=30°，
∴OA=½AD=½×2=1，
由勾股定理得OD=√(AD²-OA²)=√(2²-1²)=√3，
∴点D坐标为(0,√3)，
∵CD//AB，AB在x轴上，
∴CD平行于x轴，点C的纵坐标与D相同，为√3，
又
∵CD=2，
∴点C的横坐标为0+2=2，即点C坐标为(2,√3)。
【答案】
$(2,\sqrt{3})$
【知识点】
菱形的性质，含30°角的直角三角形性质，平面直角坐标系点坐标特征
【点评】
本题是坐标几何和特殊四边形性质的基础综合题，解题关键是先通过直角三角形的边角关系求出相关线段长度，再结合菱形对边平行且相等的性质推导目标点的坐标，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆菱形的基本性质：四条边相等、对边平行。首先结合已知的∠DAB=120°，求出其邻补角∠DAO的度数，在Rt△DOA中利用直角三角形的性质计算OA、OD的长度，得到点D的坐标；再利用菱形对边平行且相等的性质，结合CD和AB平行的关系，即可推出点C的坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，
∴AD=CD=AB=2，CD//AB。
∵∠DAB=120°，
∴∠DAO=180°-120°=60°，
在Rt△DOA中，∠ADO=90°-60°=30°，
∴OA=½AD=½×2=1，
由勾股定理得OD=√(AD²-OA²)=√(2²-1²)=√3，
∴点D坐标为(0,√3)，
∵CD//AB，AB在x轴上，
∴CD平行于x轴，点C的纵坐标与D相同，为√3，
又
∵CD=2，
∴点C的横坐标为0+2=2，即点C坐标为(2,√3)。
【答案】
$(2,\sqrt{3})$
【知识点】
菱形的性质，含30°角的直角三角形性质，平面直角坐标系点坐标特征
【点评】
本题是坐标几何和特殊四边形性质的基础综合题，解题关键是先通过直角三角形的边角关系求出相关线段长度，再结合菱形对边平行且相等的性质推导目标点的坐标，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
16.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,
MN//AB交AD于点M,交BC于点N,在
MN上任取两点P,Q,那么图中阴影部分
的面积是
MN//AB交AD于点M,交BC于点N,在
MN上任取两点P,Q,那么图中阴影部分
的面积是
5
.答案
16.5
解析
【分析】
计算阴影部分面积时，若分别计算每块阴影的面积会非常繁琐，因此可以采用“整体减空白”的转化思路。首先先求出矩形ABCD的总面积，再计算两块空白三角形的面积之和，最后用总面积减去空白面积即可得到阴影面积。解题时会发现空白面积之和是定值，与MN的位置、P和Q在MN上的位置无关。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=5，
∴矩形ABCD的面积为：
$ S_{矩形ABCD}=AB × BC = 2 × 5 = 10 $。
设MN到AB的水平距离为a，则MN到CD的水平距离为$ 5-a $。
空白部分为$ △ ABP $和$ △ DQC $：
1. 对$ △ ABP $，底$ AB=2 $，高为点P到AB的水平距离a，
∴ $ S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × AB × a = \frac{1}{2} × 2 × a = a $。
2. 对$ △ DQC $，底$ CD=AB=2 $，高为点Q到CD的水平距离$ 5-a $，
∴ $ S_{△ DQC}=\frac{1}{2} × CD × (5-a) = \frac{1}{2} × 2 × (5-a) = 5-a $。
因此空白部分总面积为：
$ S_{空白}=S_{△ ABP}+S_{△ DQC}=a + (5-a)=5 $。
则阴影部分面积为：
$ S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{空白}=10-5=5 $。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；三角形面积计算；转化法求面积
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，解题的关键是跳出分别计算各阴影块面积的思维定式，灵活运用整体减空白的转化思想，结合矩形和三角形的面积公式即可快速求解，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.65
计算阴影部分面积时，若分别计算每块阴影的面积会非常繁琐，因此可以采用“整体减空白”的转化思路。首先先求出矩形ABCD的总面积，再计算两块空白三角形的面积之和，最后用总面积减去空白面积即可得到阴影面积。解题时会发现空白面积之和是定值，与MN的位置、P和Q在MN上的位置无关。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=5，
∴矩形ABCD的面积为：
$ S_{矩形ABCD}=AB × BC = 2 × 5 = 10 $。
设MN到AB的水平距离为a，则MN到CD的水平距离为$ 5-a $。
空白部分为$ △ ABP $和$ △ DQC $：
1. 对$ △ ABP $，底$ AB=2 $，高为点P到AB的水平距离a，
∴ $ S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × AB × a = \frac{1}{2} × 2 × a = a $。
2. 对$ △ DQC $，底$ CD=AB=2 $，高为点Q到CD的水平距离$ 5-a $，
∴ $ S_{△ DQC}=\frac{1}{2} × CD × (5-a) = \frac{1}{2} × 2 × (5-a) = 5-a $。
因此空白部分总面积为：
$ S_{空白}=S_{△ ABP}+S_{△ DQC}=a + (5-a)=5 $。
则阴影部分面积为：
$ S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{空白}=10-5=5 $。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；三角形面积计算；转化法求面积
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，解题的关键是跳出分别计算各阴影块面积的思维定式，灵活运用整体减空白的转化思想，结合矩形和三角形的面积公式即可快速求解，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.65
17.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点，则PM+
PN的最小值是
PN的最小值是
5
.答案
17.5
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：①菱形是轴对称图形，对角线AC所在直线是它的对称轴，因此可以找到点M关于AC的对称点，将PM转化为对称点到P的距离；②根据两点之间线段最短，当对称点、P、N三点共线时，两条线段的和最小，最小值就是对称点到N的线段长度；③结合菱形的性质和勾股定理计算该线段的长度即可。
【解析】
解：作点M关于对角线AC的对称点M'。
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AC所在直线是菱形的对称轴，
又
∵M是AB的中点，
∴M'是AD的中点，此时PM=PM'。
∴PM+PN=PM'+PN，根据两点之间线段最短，当M'、P、N三点共线时，PM'+PN取得最小值，最小值为线段M'N的长度。
∵菱形的两条对角线长为6和8，且菱形对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半长分别为3和4，
由勾股定理可得菱形的边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，即AB=5。
∵M'是AD中点，N是BC中点，AD//BC且AD=BC，
∴AM'//BN且AM'=BN，
∴四边形AM'NB是平行四边形，
∴M'N=AB=5，即PM+PN的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
最短路径问题，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形中的经典最值问题，核心是利用轴对称将动态的线段和转化为静态的两点间距离，解题时要熟练掌握菱形的对称性和基本性质，结合勾股定理计算边长即可求解。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：①菱形是轴对称图形，对角线AC所在直线是它的对称轴，因此可以找到点M关于AC的对称点，将PM转化为对称点到P的距离；②根据两点之间线段最短，当对称点、P、N三点共线时，两条线段的和最小，最小值就是对称点到N的线段长度；③结合菱形的性质和勾股定理计算该线段的长度即可。
【解析】
解：作点M关于对角线AC的对称点M'。
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AC所在直线是菱形的对称轴，
又
∵M是AB的中点，
∴M'是AD的中点，此时PM=PM'。
∴PM+PN=PM'+PN，根据两点之间线段最短，当M'、P、N三点共线时，PM'+PN取得最小值，最小值为线段M'N的长度。
∵菱形的两条对角线长为6和8，且菱形对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半长分别为3和4，
由勾股定理可得菱形的边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，即AB=5。
∵M'是AD中点，N是BC中点，AD//BC且AD=BC，
∴AM'//BN且AM'=BN，
∴四边形AM'NB是平行四边形，
∴M'N=AB=5，即PM+PN的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
最短路径问题，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形中的经典最值问题，核心是利用轴对称将动态的线段和转化为静态的两点间距离，解题时要熟练掌握菱形的对称性和基本性质，结合勾股定理计算边长即可求解。
【难度系数】
0.7
18.如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形$A_1B_1C_1D_1$，顺次连接正方形$A_1B_1C_1D_1$四边的中点得到第二个正方形$A_2B_2C_2D_2$，…，以此类推，则第六个正方形$A_6B_6C_6D_6$的周长是
$\dfrac{1}{2}$
。答案
18.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要得到第六个正方形的周长，我们从已知的原正方形出发梳理思路：首先利用勾股定理计算第一个中点正方形的边长、周长，找到新正方形周长和前一个正方形周长的比例关系，归纳出第n个正方形周长的通用表达式，最后代入n=6计算即可。
第一步：先计算原正方形ABCD的周长，边长为1，周长=4×1=4；
第二步：连接四边中点得到的新正方形，相邻两个中点到原正方形顶点的长度都是原边长的一半，用勾股定理可算出新正方形的边长，进而得到新周长和原周长的比值；
第三步：总结规律，每得到一个新正方形，周长都是前一个的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此第n个正方形周长是原周长乘$(\frac{\sqrt{2}}{2})^n$，代入n=6求值即可。
【解析】
解：已知正方形ABCD的边长为1，因此它的周长为$4×1=4$。
顺次连接正方形ABCD四边中点得到第一个正方形$A_1B_1C_1D_1$：
原正方形相邻边的中点到公共顶点的长度均为$\frac{1}{2}$，由勾股定理可得第一个正方形的边长为$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此第一个正方形的周长为$4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，即周长为原正方形周长的$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
同理可推，每一个新得到的正方形周长都是前一个正方形周长的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此第n个正方形的周长表达式为：$4×(\frac{\sqrt{2}}{2})^n$。
当n=6时，第六个正方形的周长为：
$4×(\frac{\sqrt{2}}{2})^6=4×\frac{(\sqrt{2})^6}{2^6}=4×\frac{8}{64}=4×\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，规律探究
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题的关键是结合勾股定理找到相邻两个正方形周长的比例关系，再归纳出通用规律代入求解，能很好地考察逻辑推理能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.6
要得到第六个正方形的周长，我们从已知的原正方形出发梳理思路：首先利用勾股定理计算第一个中点正方形的边长、周长，找到新正方形周长和前一个正方形周长的比例关系，归纳出第n个正方形周长的通用表达式，最后代入n=6计算即可。
第一步：先计算原正方形ABCD的周长，边长为1，周长=4×1=4；
第二步：连接四边中点得到的新正方形，相邻两个中点到原正方形顶点的长度都是原边长的一半，用勾股定理可算出新正方形的边长，进而得到新周长和原周长的比值；
第三步：总结规律，每得到一个新正方形，周长都是前一个的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此第n个正方形周长是原周长乘$(\frac{\sqrt{2}}{2})^n$，代入n=6求值即可。
【解析】
解：已知正方形ABCD的边长为1，因此它的周长为$4×1=4$。
顺次连接正方形ABCD四边中点得到第一个正方形$A_1B_1C_1D_1$：
原正方形相邻边的中点到公共顶点的长度均为$\frac{1}{2}$，由勾股定理可得第一个正方形的边长为$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此第一个正方形的周长为$4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，即周长为原正方形周长的$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
同理可推，每一个新得到的正方形周长都是前一个正方形周长的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此第n个正方形的周长表达式为：$4×(\frac{\sqrt{2}}{2})^n$。
当n=6时，第六个正方形的周长为：
$4×(\frac{\sqrt{2}}{2})^6=4×\frac{(\sqrt{2})^6}{2^6}=4×\frac{8}{64}=4×\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，规律探究
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题的关键是结合勾股定理找到相邻两个正方形周长的比例关系，再归纳出通用规律代入求解，能很好地考察逻辑推理能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
19.如图，利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
已知：
求证：
证明：
19.如图，利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
已知：
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO是斜边AB上的中线
；求证：
$CO=\dfrac{1}{2}AB$
；证明：
答案
19.已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO是斜边AB上的中线.
求证:$CO=\dfrac{1}{2}AB$.
证明:如图,延长CO至点E,使CO=OE,连接AE,BE.
∵CO=OE,O为AB的中点，
∴OA=OB，
∴四边形ACBE为平行四边形.
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形AEBC是矩形，
∴CE=AB.
∵$CO=\dfrac{1}{2}CE$，
∴$CO=\dfrac{1}{2}AB$.
解析
【分析】
要证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，需结合题目要求的矩形性质推导，可通过构造辅助线将直角三角形转化为矩形：首先明确已知为直角三角形及斜边上的中线，求证中线长为斜边的一半。思路为：采用倍长中线法，延长中线至等长位置，先利用对角线互相平分证明所得四边形是平行四边形，再结合直角条件证明该平行四边形为矩形，最后利用矩形对角线相等的性质即可完成推导。
【解析】
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO是斜边AB上的中线。
求证：$CO=\dfrac{1}{2}AB$。
证明：延长CO至点E，使CO=OE，连接AE、BE。
∵CO=OE，O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴四边形ACBE的对角线互相平分，为平行四边形。
又
∵∠ACB=90°，
∴有一个内角为直角的平行四边形ACBE是矩形，
∴矩形的对角线相等，即CE=AB。
∵$CO=\dfrac{1}{2}CE$，
∴代入得$CO=\dfrac{1}{2}AB$。
【答案】
已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO是斜边AB上的中线.
求证:$CO=\dfrac{1}{2}AB$.
证明:如图,延长CO至点E,使CO=OE,连接AE,BE.
∵CO=OE,O为AB的中点，
∴OA=OB，
∴四边形ACBE为平行四边形.
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形AEBC是矩形，
∴CE=AB.
∵$CO=\dfrac{1}{2}CE$，
∴$CO=\dfrac{1}{2}AB$.
【知识点】
平行四边形判定，矩形的判定与性质，直角三角形性质
【点评】
本题是初中几何核心定理的证明，通过倍长中线构造特殊四边形的方法，将直角三角形的问题转化为矩形的性质应用，体现了转化的数学思想，有助于学生梳理三角形与特殊四边形的知识关联。
【难度系数】
0.7
要证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，需结合题目要求的矩形性质推导，可通过构造辅助线将直角三角形转化为矩形：首先明确已知为直角三角形及斜边上的中线，求证中线长为斜边的一半。思路为：采用倍长中线法，延长中线至等长位置，先利用对角线互相平分证明所得四边形是平行四边形，再结合直角条件证明该平行四边形为矩形，最后利用矩形对角线相等的性质即可完成推导。
【解析】
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO是斜边AB上的中线。
求证：$CO=\dfrac{1}{2}AB$。
证明：延长CO至点E，使CO=OE，连接AE、BE。
∵CO=OE，O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴四边形ACBE的对角线互相平分，为平行四边形。
又
∵∠ACB=90°，
∴有一个内角为直角的平行四边形ACBE是矩形，
∴矩形的对角线相等，即CE=AB。
∵$CO=\dfrac{1}{2}CE$，
∴代入得$CO=\dfrac{1}{2}AB$。
【答案】
已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO是斜边AB上的中线.
求证:$CO=\dfrac{1}{2}AB$.
证明:如图,延长CO至点E,使CO=OE,连接AE,BE.
∵CO=OE,O为AB的中点，
∴OA=OB，
∴四边形ACBE为平行四边形.
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形AEBC是矩形，
∴CE=AB.
∵$CO=\dfrac{1}{2}CE$，
∴$CO=\dfrac{1}{2}AB$.
【知识点】
平行四边形判定，矩形的判定与性质，直角三角形性质
【点评】
本题是初中几何核心定理的证明，通过倍长中线构造特殊四边形的方法，将直角三角形的问题转化为矩形的性质应用，体现了转化的数学思想，有助于学生梳理三角形与特殊四边形的知识关联。
【难度系数】
0.7
