1.某商店分两次购进A,B型两种台灯进行销售,两次购进的数量及费用如下表所示,由于物价上涨,第二次购进A,B型两种台灯时,两种台灯每台进价分别上涨30%,20%。
| 次数 | μlticolumn{2}{c}{购进的台数} | 购进所需要的费用/元 |
| ---- | ------------------------------ | ------------------------------ | ------------------- |
| | A型 | B型 | |
| 第一次 | 10 | | 3 000 |
| 第二次 | 15 | 10 | 4 500 |
(1)求第一次购进A,B型两种台灯每台进价分别是多少元。
(2)A,B型两种台灯销售单价不变,第一次购进的台灯全部售出后,获得的利润为2 800元,第二次购进的台灯全部售出后,获得的利润为1 800元。
①求A,B型两种台灯每台售价分别是多少元。
②若按照第二次购进A,B型两种台灯的价格再购进一次,将再次购进的台灯全部售出后,要想使获得的利润为1 000元,求有哪几种购进方案。

(1)解:设第一次购进A型台灯每台进价是x元,B型台灯每台进价是y元。由题意,得
$\begin{cases} 10x+20y=3000, \\15(1+30\%)x+10(1+20\%)y=4500, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=200, \\y=50。 \end{cases}$
答:第一次购进A型台灯每台进价是200元,B型台灯每台进价是50元。
(2)①解:设A型台灯每台售价是m元,B型台灯每台售价是n元。
则$\begin{cases} 10(m-200)+20(n-50)=2800, \\15[m-200(1+30\%)]+10[n-50(1+20\%)]=1800, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=340, \\n=120。 \end{cases}$
答:A型台灯每台售价是340元,B型台灯每台售价是120元。
②第二次购进的A型台灯的价格是$200×(1+30\%)=260$(元),B型台灯的价格是$50×(1+20\%)=60$(元)。设购进A型台灯a台,B型台灯b台。由题意,得$(340-260)a+(120-60)b=1000$,整理,得$4a+3b=50$,所以$b=\frac{50-4a}{3}=16-a+\frac{2-a}{3}$。因为a,b为自然数,所以$\begin{cases} a=2, \\b=14, \end{cases}$或$\begin{cases} a=5, \\b=10, \end{cases}$或$\begin{cases} a=8, \\b=6, \end{cases}$或$\begin{cases} a=11, \\b=2, \end{cases}$所以有四种购进方案:方案一:购进A型台灯2台,B型台灯14台;方案二:购进A型台灯5台,B型台灯10台;方案三:购进A型台灯8台,B型台灯6台;方案四:购进A型台灯11台,B型台灯2台。

【分析】
本题分三小问，第(1)问需设第一次A、B型台灯的进价为未知数，结合两次购进的数量、费用（注意第二次进价是上涨后的）列二元一次方程组求解；第(2)①问设售价为未知数，根据两次销售的利润列二元一次方程组求解；第(2)②问先算出第二次的进价，再根据利润公式列方程，结合a、b为非负整数的条件找出所有符合的解，得到购进方案。
【解析】
(1)设第一次购进A型台灯每台进价为$x$元，B型台灯每台进价为$y$元。
根据第一次购进10台A型、20台B型，费用3000元，得：$10x + 20y = 3000$；
第二次A型进价上涨30%即$1.3x$，B型进价上涨20%即$1.2y$，购进15台A型、10台B型，费用4500元，得：$15×1.3x + 10×1.2y = 4500$；
联立方程组：
$\begin{cases}10x + 20y = 3000 \\19.5x + 12y = 4500 \end{cases}$
化简第一个方程得$x = 300 - 2y$，代入第二个方程解得$y=50$，则$x=200$。
(2)①设A型台灯每台售价为$m$元，B型台灯每台售价为$n$元。
第一次利润：$10(m-200) + 20(n-50) = 2800$；
第二次A型进价为$200×1.3=260$元，B型进价为$50×1.2=60$元，利润：$15(m-260) + 10(n-60) = 1800$；
联立方程组化简得：
$\begin{cases}m + 2n = 580 \\3m + 2n = 1260 \end{cases}$
解得$m=340$，$n=120$。
②第二次购进A型进价260元，B型进价60元，设购进A型$a$台，B型$b$台（$a,b$为非负整数）。
利润：$(340-260)a + (120-60)b = 1000$，整理得$4a + 3b = 50$，变形为$b=\frac{50-4a}{3}$。
结合$b≥0$且为整数，得符合条件的解：
$\begin{cases}a=2 \\b=14 \end{cases}$，$\begin{cases}a=5 \\b=10 \end{cases}$，$\begin{cases}a=8 \\b=6 \end{cases}$，$\begin{cases}a=11 \\b=2 \end{cases}$。
【答案】
(1)第一次购进A型台灯每台进价200元，B型台灯每台进价50元；
(2)①A型台灯每台售价340元，B型台灯每台售价120元；
②共有四种购进方案：方案一：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案二：购进A型台灯5台，B型台灯10台；方案三：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案四：购进A型台灯11台，B型台灯2台。
【知识点】
二元一次方程组应用，方案设计
【点评】
本题以台灯购进销售为背景，通过建立方程组解决进价、售价问题，再结合整数条件确定购进方案，考查了学生应用方程思想解决实际问题的能力，需注意进价上涨的条件和整数解的限制，整体逻辑清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6