2.(2025·绍兴市越城区期末)某城市正在实施垃圾分类制度,居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类。某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类,决定设立积分奖励机制。规则如下表:

积分可以兑换部分商品,具体如下表:

已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分;2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分。
(1)求$a,b$的值。
(2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾,100公斤易腐垃圾,1公斤有害垃圾,将这一季度获得的所有积分都兑换成物品,有哪些兑换方案?

(1)解:由题意,得$\begin{cases} 2a+1.5b=130, \\2.5a+2b=165, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=50, \\b=20。 \end{cases}$答:a的值为50,b的值为20。
(2)解:由题意,得小明家一季度获得的积分为$46×50+100×20+1×100=4400$。设兑换垃圾袋x卷,5元话费券y张,水果店打折券m张,小区临时停车券n张。由题意,得$800x+1500y+2000m+1000n=4400$,整理,得$8x+15y+20m+10n=44$。因为15,20,10均为5的倍数,所以$15y+20m+10n$的和的个位数字只能是0或5,所以8x乘积的个位数字只能是4或9。因为$8x≤44$,且x为自然数,所以$x=3$,所以原式化为$3y+4m+2n=4$。又因为y,m,n均为自然数,所以$\begin{cases} y=0, \\m=1, \\n=0, \end{cases}$或$\begin{cases} y=0, \\m=0, \\n=2。 \end{cases}$所以共有两种兑换方案:方案一:兑换垃圾袋3卷,水果店打折券1张;方案二:兑换垃圾袋3卷,小区临时停车券2张。

【分析】
第(1)问：根据题目中给出的两种垃圾组合对应的积分，设可回收垃圾每公斤积分为$a$，易腐垃圾每公斤积分为$b$，可列出二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$的值。第(2)问：先计算小明家一季度获得的总积分，再设兑换各商品的数量为未知数，根据总积分等于兑换商品所需积分列出方程，结合未知数为自然数的条件，通过分析数的倍数、个位特征等，确定所有符合条件的兑换方案。
【解析】
(1) 设可回收垃圾每公斤积分为$a$，易腐垃圾每公斤积分为$b$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2a + 1.5b = 130 \\2.5a + 2b = 165\end{cases}$
将第一个方程两边乘4得$8a + 6b = 520$，第二个方程两边乘4得$10a + 8b = 660$；用后者减前者得$2a + 2b = 140$，化简为$a + b = 70$，即$b = 70 - a$。将其代入第一个原方程：$2a + 1.5(70 - a) = 130$，解得$a = 50$，则$b = 70 - 50 = 20$。
(2) 计算小明家一季度总积分：$46×50 + 100×20 + 1×100 = 4400$。设兑换垃圾袋$x$卷、5元话费券$y$张、水果店打折券$m$张、小区临时停车券$n$张，根据兑换积分列方程：$800x + 1500y + 2000m + 1000n = 4400$，两边除以100得$8x + 15y + 20m + 10n = 44$。
因为$15y、20m、10n$均为5的倍数，它们的和的个位数字只能是0或5，所以$8x$的个位数字只能是4或9；又$8x ≤ 44$且$x$为自然数，仅$x = 3$符合条件。将$x = 3$代入方程得$24 + 15y + 20m + 10n = 44$，化简为$3y + 4m + 2n = 4$。
因$y、m、n$为自然数，当$y = 0$时，$4m + 2n = 4$，解为$\begin{cases} m=1 \\ n=0 \end{cases}$或$\begin{cases} m=0 \\ n=2 \end{cases}$；当$y ≥ 1$时无自然数解，故仅两种兑换方案。
【答案】
(1) $a = 50$，$b = 20$；
(2) 方案一：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张；方案二：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券2张。
【知识点】
二元一次方程组的应用、不定方程的自然数解讨论、实际问题建模
【点评】
本题结合垃圾分类积分兑换的实际情境，考查二元一次方程组与不定方程的应用，需准确建立数学模型，结合数的性质分析解的情况，综合性较强，能有效考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.5