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3.(2025·金华市兰溪市期末)根据以下信息,探索完成任务。
如何设计租车方案?
素材
素材一
13度的甜,14度的鲜,兰溪杨梅以其独特的魅力,吸引着无数食客。杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售,若用3辆A型车和2辆B型车载满杨梅一次可运走17吨,用2辆A型车和3辆B型车载满杨梅一次可运走18吨
素材二
杨梅种植户现有杨梅35吨,计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满杨梅
素材三
A型车每辆需租金300元/次,B型车每辆需租金320元/次
问题解决
任务一
分析数量关系
1辆A型车和1辆B型车都载满杨梅,一次可分别运杨梅多少吨?
任务二
确定可行方案
请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案
任务三
选取最优方案
请你选出最省钱的租车方案,并求出最少的租车费
如何设计租车方案?
素材
素材一
13度的甜,14度的鲜,兰溪杨梅以其独特的魅力,吸引着无数食客。杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售,若用3辆A型车和2辆B型车载满杨梅一次可运走17吨,用2辆A型车和3辆B型车载满杨梅一次可运走18吨
素材二
杨梅种植户现有杨梅35吨,计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满杨梅
素材三
A型车每辆需租金300元/次,B型车每辆需租金320元/次
问题解决
任务一
分析数量关系
1辆A型车和1辆B型车都载满杨梅,一次可分别运杨梅多少吨?
任务二
确定可行方案
请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案
任务三
选取最优方案
请你选出最省钱的租车方案,并求出最少的租车费
答案
任务一 解:设1辆A型车载满杨梅一次可运x吨,1辆B型车载满杨梅一次可运y吨。由题意,得$\begin{cases} 3x+2y=17, \\2x+3y=18, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=3, \\y=4。 \end{cases}$答:1辆A型车载满杨梅一次可运3吨,1辆B型车载满杨梅一次可运4吨。
任务二 解:由题意,得$3a+4b=35$,则$a=\frac{35-4b}{3}$。因为a,b都是正整数,所以$\begin{cases} a=1, \\b=8, \end{cases}$或$\begin{cases} a=5, \\b=5, \end{cases}$或$\begin{cases} a=9, \\b=2。 \end{cases}$答:共有三种租车方案:方案一:租用A型车1辆,B型车8辆;方案二:租用A型车5辆,B型车5辆;方案三:租用A型车9辆,B型车2辆。
任务三 解:方案一的费用为$1×300+8×320=2860$(元);方案二的费用为$5×300+5×320=3100$(元);方案三的费用为$9×300+2×320=3340$(元)。因为$3340＞3100＞2860$,所以选择方案一,最少的租车费为2860元。答:租用A型车1辆,B型车8辆最省钱,最少的租车费为2860元。
任务二 解:由题意,得$3a+4b=35$,则$a=\frac{35-4b}{3}$。因为a,b都是正整数,所以$\begin{cases} a=1, \\b=8, \end{cases}$或$\begin{cases} a=5, \\b=5, \end{cases}$或$\begin{cases} a=9, \\b=2。 \end{cases}$答:共有三种租车方案:方案一:租用A型车1辆,B型车8辆;方案二:租用A型车5辆,B型车5辆;方案三:租用A型车9辆,B型车2辆。
任务三 解:方案一的费用为$1×300+8×320=2860$(元);方案二的费用为$5×300+5×320=3100$(元);方案三的费用为$9×300+2×320=3340$(元)。因为$3340＞3100＞2860$,所以选择方案一,最少的租车费为2860元。答:租用A型车1辆,B型车8辆最省钱,最少的租车费为2860元。
解析
【分析】
首先，任务一需通过设未知数，根据素材一中两种运货情况的数量关系建立二元一次方程组，求解得到1辆A型车和1辆B型车的载重量；任务二根据总运量结合两种车型的载重量列出二元一次方程，再结合a、b为正整数的条件，找出所有符合的租车方案；任务三分别计算各可行方案的租车费用，通过比较费用大小选出最省钱的方案。
【解析】
任务一：设1辆A型车载满杨梅一次可运$x$吨，1辆B型车载满杨梅一次可运$y$吨。根据素材一的条件，列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 17 \\2x + 3y = 18\end{cases}$
用消元法求解：第一个方程乘2得$6x + 4y = 34$，第二个方程乘3得$6x + 9y = 54$，两式相减得$5y = 20$，解得$y = 4$；将$y = 4$代入$3x + 2y = 17$，得$3x + 8 = 17$，解得$x = 3$。
任务二：根据总运量35吨，得方程$3a + 4b = 35$，变形为$a = \frac{35 - 4b}{3}$。因为$a$、$b$为正整数，所以$35 - 4b$需是3的正整数倍，且$a≥0$、$b≥0$。
当$b = 2$时，$a = 9$；当$b = 5$时，$a = 5$；当$b = 8$时，$a = 1$。其余$b$值不符合要求，故有三种方案：①A型1辆、B型8辆；②A型5辆、B型5辆；③A型9辆、B型2辆。
任务三：计算各方案费用：
方案一：$1×300 + 8×320 = 2860$元；
方案二：$5×300 + 5×320 = 3100$元；
方案三：$9×300 + 2×320 = 3340$元；
比较得$2860＜3100＜3340$，故选择方案一，最少租车费2860元。
【答案】
任务一：1辆A型车载满杨梅一次可运3吨，1辆B型车载满杨梅一次可运4吨；
任务二：共有三种租车方案：方案一：租用A型车1辆，B型车8辆；方案二：租用A型车5辆，B型车5辆；方案三：租用A型车9辆，B型车2辆；
任务三：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少的租车费为2860元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的整数解；方案优化
【点评】
本题以实际运输问题为背景，分层次考查方程的应用能力，逻辑清晰，既要求掌握方程组解法，又需结合正整数条件确定可行方案，最后通过费用比较选最优，贴近生活，能有效检验学生的应用能力。
【难度系数】
0.6
首先，任务一需通过设未知数，根据素材一中两种运货情况的数量关系建立二元一次方程组，求解得到1辆A型车和1辆B型车的载重量；任务二根据总运量结合两种车型的载重量列出二元一次方程，再结合a、b为正整数的条件，找出所有符合的租车方案；任务三分别计算各可行方案的租车费用，通过比较费用大小选出最省钱的方案。
【解析】
任务一：设1辆A型车载满杨梅一次可运$x$吨，1辆B型车载满杨梅一次可运$y$吨。根据素材一的条件，列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 17 \\2x + 3y = 18\end{cases}$
用消元法求解：第一个方程乘2得$6x + 4y = 34$，第二个方程乘3得$6x + 9y = 54$，两式相减得$5y = 20$，解得$y = 4$；将$y = 4$代入$3x + 2y = 17$，得$3x + 8 = 17$，解得$x = 3$。
任务二：根据总运量35吨，得方程$3a + 4b = 35$，变形为$a = \frac{35 - 4b}{3}$。因为$a$、$b$为正整数，所以$35 - 4b$需是3的正整数倍，且$a≥0$、$b≥0$。
当$b = 2$时，$a = 9$；当$b = 5$时，$a = 5$；当$b = 8$时，$a = 1$。其余$b$值不符合要求，故有三种方案：①A型1辆、B型8辆；②A型5辆、B型5辆；③A型9辆、B型2辆。
任务三：计算各方案费用：
方案一：$1×300 + 8×320 = 2860$元；
方案二：$5×300 + 5×320 = 3100$元；
方案三：$9×300 + 2×320 = 3340$元；
比较得$2860＜3100＜3340$，故选择方案一，最少租车费2860元。
【答案】
任务一：1辆A型车载满杨梅一次可运3吨，1辆B型车载满杨梅一次可运4吨；
任务二：共有三种租车方案：方案一：租用A型车1辆，B型车8辆；方案二：租用A型车5辆，B型车5辆；方案三：租用A型车9辆，B型车2辆；
任务三：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少的租车费为2860元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的整数解；方案优化
【点评】
本题以实际运输问题为背景，分层次考查方程的应用能力，逻辑清晰，既要求掌握方程组解法，又需结合正整数条件确定可行方案，最后通过费用比较选最优，贴近生活，能有效检验学生的应用能力。
【难度系数】
0.6
