23.(10分)
探究将任意凸四边形经过“分割—重拼(不重叠、无缝隙)”得到正方形
素材1
取四边形ABCD各边的中点后，有两种方法可将其“分割-重拼”得到平行四边形。
方法一:如图1,沿对边中点连线分割,再按序号重拼得到平行四边形；
方法二:如图2,沿邻边中点连线分割,再按序号重拼得到平行四边形。


素材2
将平行四边形按图3折叠,并沿折痕分割,再重拼成矩形。

素材3
如图4,在矩形EFGH的EH边上取点M,连结FM,过点G作$GN⊥FM$于点N,沿FM,NG分割矩形EFGH,将$△ EFM$沿射线EH平移,$△ FNG$沿射线FN平移,重拼得到正方形NGPQ。

问题解决
任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形。
任务2 根据素材3的操作过程,若$EF=3,FG=4$,求线段EM的长。

23.任务1:选方法一,如图1,依次连结点E,F,G,H,连结AC。因为E,F分别为AB,CB的中点,所以$EF\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AC$。同理$HG\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AC$,所以$EF\underline{\underline{//}}HG$。所以四边形EFGH为平行四边形。所以HO=FO,EO=GO。由拼接,得$O_1O=O_2O_3=2HO$,$O_1O_2=OO_3=2GO$,所以四边形$O_1OO_3O_2$是平行四边形。
选方法二,如图2,连结AC。因为E,F分别为AB,CB的中点,所以$EF=\frac{1}{2}AC$。同理$HG=\frac{1}{2}AC$,所以EF=HG。同理可证EH=FG。由拼接,得$E_1F_1=HG$,$E_1H=F_1G$,所以四边形$E_1HGF_1$是平行四边形。


任务2:由题意,得剪拼前后面积保持不变,所以$S_{正方形GPQN}=S_{矩形EFGH}=12$。所以$NQ=NG=2\sqrt{3}$。由题意得$△MQP≅△FNG$,所以FN=MQ。所以FN+NM=MQ+NM,即$FM=NQ=2\sqrt{3}$。在Rt△EFM中,由勾股定理得$EM=\sqrt{FM^2-EF^2}=\sqrt{3}$。