24. (12分)在$□ ABCD$中，$AB=6$，$AD=4$，$∠ A=60°$，$E,F$分别为边$CD,AB$上异于端点的动点，且$DE=BF$，连结$EF$，将四边形$CEFB$沿着$EF$折叠得到四边形$HEFG$。
(1)如图1，边$HE,AB$交于点$Q$，若$AQ=BF$，求证：四边形$AQED$为平行四边形。
(2)如图2，当点$C$的对应点$H$落在点$A$处时，求折痕$EF$的长。
(3)当点$B$的对应点$G$落在$□ ABCD$的边上时，求点$B,G$之间的距离。

备用图

24.(1)因为DE=BF,AQ=BF,所以AQ=DE。在平行四边形ABCD中,DC//AB,所以四边形AQED为平行四边形。
(2)如图1,过点A作AM⊥CD,交CD延长线于点M,连结AC,交EF于点O,连结CF。由折叠可知AE=CE,EF垂直平分AC。因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD,AB=CD。因为DE=BF,所以CE=AF。所以四边形AECF是菱形。所以AO=OC,EO=OF。在Rt△AMD中,因为∠MAD=90°−∠DAB=30°,所以$MD=\frac{1}{2}AD=2$。由勾股定理,得$AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=2\sqrt{3}$。在Rt△AME中,由勾股定理,得$AM^2+ME^2=AE^2$,即$(2\sqrt{3})^2+(2+6-AE)^2=AE^2$,解得$AE=\frac{19}{4}$。在Rt△AMC中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{AM^2+MC^2}=2\sqrt{19}$,所以AO=CO=$\sqrt{19}$。在Rt△AEO中,由勾股定理,得$EO=\sqrt{AE^2-AO^2}=\frac{\sqrt{57}}{4}$,所以$EF=2EO=\frac{\sqrt{57}}{2}$。




(3)当点G落在AB边上时,如图2,连结DG,由折叠可知FG=BF,HE=CE,∠EFG=∠EFB=90°。因为DE=BF,所以FG=DE。在平行四边形ABCD中,AB//CD,所以四边形DEFG是平行四边形。所以∠DGA=∠EFG=90°。因为∠A=60°,所以∠ADG=30°。所以$AG=\frac{1}{2}AD=2$。所以BG=AB−AG=4。当点G落在AD边上时,如图3,连结BD交EF于点O,连结BG交EF于点N。因为AB//CD,所以∠ODE=∠OBF。因为DE=BF,∠DOE=∠BOF,所以△DOE≅△BOF。所以OD=OB。由折叠可知,EF⊥BG,GN=BN。所以ON//DG。所以AG⊥BG。在Rt△AGB中,∠GBA=90°−∠A=30°,所以$AG=\frac{1}{2}AB=3$。由勾股定理,得$BG=\sqrt{AB^2-AG^2}=3\sqrt{3}$。当点G落在DC边上时,如图4,连结BG交EF于点O,过点D作DM⊥AB于点M。由折叠可知,GO=BO。因为AB//CD,所以∠OGE=∠OBF。因为∠EOG=∠FOB,所以△EOG≅△FOB。所以EG=BF。因为DE=BF,所以点G与点D重合。在Rt△BGM中,BM=6−2=4,GM=2√3,由勾股定理,得$BG=\sqrt{BM^2+GM^2}=2\sqrt{7}$。综上所述,点B,G之间的距离为4或$3\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$。