20.(7分)已知BC是$\odot O$的直径，点D是BC延长线上一点，$AB=AD$，AE是$\odot O$的弦，$∠ AEC=30°$.
(1)求证:直线AD是$\odot O$的切线.
(2)若$AE⊥ BC$，垂足为点M，$\odot O$的半径为8，求AE的长.

20. (1)证明:如图,连接$OA$. $∵∠AEC=30°$,$∴∠B=∠AEC=30°$. $∵AB=AD$,$∴∠D=∠B=30°$. $∴∠AOC=2∠AEC=60°$,$∴∠OAD=180°-∠AOC-∠D=180°-60°-30°=90°$,$∴AD⊥OA$. $∵OA$是$\odot O$的半径,$∴$直线$AD$是$\odot O$的切线. (2)解:由垂径定理可得$AM=EM$. $∵∠AEC=30°$,$∴∠AOM=2∠AEC=60°$,$∴∠OAM=180°-90°-60°=30°$,$∴OM=\frac{1}{2}OA=4$.根据勾股定理,得$AM=\sqrt{AO^2-OM^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,$∴AE=2AM=8\sqrt{3}$.

21.(9分)“踢枪”是京剧表演中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景.甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，假设花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分(以下“花枪”均指花枪的中点).如图，甲站在地面的O点处，从距离地面$\frac{1}{2}$m高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是$\frac{1}{2}$m，花枪飞行到与O点水平距离3 m的C处达到最高，高度为3 m.
(1)设花枪离地面的高度为y m，到O点的水平距离为x m.请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数解析式.
(2)花枪下落过程中，乙在与O点水平距离d m处接花枪，能接到的高度最大为$\frac{21}{10}$m，最小为$\frac{1}{2}$m，求d的取值范围.

21. 解:(1)以点O为坐标原点,以地面为x轴,建立如图所示的坐标系,则$A(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$C(3,3)$. $∵$点C为最高点,$∴$抛物线的顶点坐标为$(3,3)$,$∴$设抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+3$,$∴\frac{1}{2}=a(\frac{1}{2}-3)^2+3$,$∴a=-\frac{2}{5}$,$∴y=-\frac{2}{5}(x-3)^2+3=-\frac{2}{5}x^2+\frac{12}{5}x-\frac{3}{5}$,即$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{2}{5}x^2+\frac{12}{5}x-\frac{3}{5}$. (2)花枪在下落过程中,$x≥3$.当$y=\frac{21}{10}$时,$\frac{21}{10}=-\frac{2}{5}x^2+\frac{12}{5}x-\frac{3}{5}$,解得$x=\frac{9}{2}$或$x=\frac{3}{2}$(不合题意,舍去);当$y=\frac{1}{2}$时,$\frac{1}{2}=-\frac{2}{5}x^2+\frac{12}{5}x-\frac{3}{5}$,解得$x=\frac{11}{2}$或$x=\frac{1}{2}$(不合题意,舍去).因此,$d$的取值范围为$\frac{9}{2}≤d≤\frac{11}{2}$.

22.(9分)如图,直线$y=-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B,C和点A(-1,0).
(1)求B,C两点的坐标.
(2)求该二次函数的解析式.
(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

22. 解:(1)对于直线$y=-\frac{1}{2}x+2$,当$x=0$时,$y=2$;当$y=0$时,$x=4$,$∴B(4,0)$,$C(0,2)$. (2)设二次函数的解析式为$y=a(x-m)(x-n)(a≠0)$. $∵$二次函数图象经过$A(-1,0)$,$B(4,0)$,$∴y=a(x-4)(x+1)$,把点$C(0,2)$代入,得$a(0-4)(0+1)=2$,解得$a=-\frac{1}{2}$,$∴y=-\frac{1}{2}(x-4)(x+1)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+2$. (3)$∵$二次函数图象经过$A(-1,0)$,$B(4,0)$,$∴$对称轴为直线$x=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}$,$∴D(\frac{3}{2},0)$. $∵C(0,2)$,$∴CD=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$. ① 如图①,当$CD=PD$时,$PD=\frac{5}{2}$,$∴P_1(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$,$P_2(\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$;②如图②,当$CD=CP$时,作$CH⊥DP_3$,$∴DH=P_3H$. $∵C(0,2)$,$∴DH=2$,$∴P_3H=2$,$∴P_3D=4$,$∴P_3(\frac{3}{2},4)$. 综上所述,存在$P_1(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$,$P_2(\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$,$P_3(\frac{3}{2},4)$,使$△PCD$是以$CD$为腰的等腰三角形.