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2. 如图,已知左、右并排的两棵大树的高分别为$AB=8\ \mathrm{m}$和$CD=12\ \mathrm{m}$,两棵树底部的距离$BD=5\ \mathrm{m}$.一个身高$1.6\ \mathrm{m}$的人,沿着正对这两棵树的一条水平直路$l$从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端点$C$了?
答案
2. 解：设人的眼睛位置为点F，过点F作水平直线分别交AB于点H，交CD于点G，可得$AH=AB-1.6=6.4\ \mathrm{m}$，$CG=CD-1.6=10.4\ \mathrm{m}$，$HG=BD=5\ \mathrm{m}$，设$FH=x\ \mathrm{m}$。
∵$AH// CG$，
∴△AFH∽△CFG，可得$\frac{AH}{CG}=\frac{FH}{FG}$，即$\frac{6.4}{10.4}=\frac{x}{x+5}$，解得$x=8\ \mathrm{m}$。
即当他与左边较低的树的距离小于8 m时，就看不到右边较高的树的顶端点C了。
∵$AH// CG$，
∴△AFH∽△CFG，可得$\frac{AH}{CG}=\frac{FH}{FG}$，即$\frac{6.4}{10.4}=\frac{x}{x+5}$，解得$x=8\ \mathrm{m}$。
即当他与左边较低的树的距离小于8 m时，就看不到右边较高的树的顶端点C了。
解析
【分析】
解题首先要明确“看不到点C”的临界状态：人的视线F、A、C三点共线，此时人到左树的距离就是刚好能看到C的临界距离，小于这个距离就看不到C。由于人行走的路线是水平直线，身高固定，因此过F作水平线交AB、CD于H、G，可得AH、CG均垂直于FG，即AH//CG，由此可得到△AFH和△CFG相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程即可求解临界距离。
【解析】
设人的眼睛位置为点F，过点F作水平直线分别交AB于点H，交CD于点G。
由题意得：$AH=AB - 1.6=8-1.6=6.4\ \mathrm{m}$，$CG=CD - 1.6=12-1.6=10.4\ \mathrm{m}$，$HG=BD=5\ \mathrm{m}$。
设$FH=x\ \mathrm{m}$，则$FG=FH+HG=(x+5)\ \mathrm{m}$。
∵$AH⊥ FG$，$CG⊥ FG$，
∴$AH// CG$，
∴$△ AFH ∽ △ CFG$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{AH}{CG}=\frac{FH}{FG}$，
代入数值得：$\frac{6.4}{10.4}=\frac{x}{x+5}$，
交叉相乘得：$6.4(x+5)=10.4x$，
解得$x=8$。
【答案】
当他与左边较低的树的距离小于$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$时，就看不到右边较高的树的顶端点C了。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际遮挡问题的典型习题，解题的核心是找到“刚好看到”的临界状态，将实际问题转化为相似三角形的几何模型，再利用相似的性质列方程计算，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确“看不到点C”的临界状态：人的视线F、A、C三点共线，此时人到左树的距离就是刚好能看到C的临界距离，小于这个距离就看不到C。由于人行走的路线是水平直线，身高固定，因此过F作水平线交AB、CD于H、G，可得AH、CG均垂直于FG，即AH//CG，由此可得到△AFH和△CFG相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程即可求解临界距离。
【解析】
设人的眼睛位置为点F，过点F作水平直线分别交AB于点H，交CD于点G。
由题意得：$AH=AB - 1.6=8-1.6=6.4\ \mathrm{m}$，$CG=CD - 1.6=12-1.6=10.4\ \mathrm{m}$，$HG=BD=5\ \mathrm{m}$。
设$FH=x\ \mathrm{m}$，则$FG=FH+HG=(x+5)\ \mathrm{m}$。
∵$AH⊥ FG$，$CG⊥ FG$，
∴$AH// CG$，
∴$△ AFH ∽ △ CFG$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{AH}{CG}=\frac{FH}{FG}$，
代入数值得：$\frac{6.4}{10.4}=\frac{x}{x+5}$，
交叉相乘得：$6.4(x+5)=10.4x$，
解得$x=8$。
【答案】
当他与左边较低的树的距离小于$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$时，就看不到右边较高的树的顶端点C了。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际遮挡问题的典型习题，解题的核心是找到“刚好看到”的临界状态，将实际问题转化为相似三角形的几何模型，再利用相似的性质列方程计算，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
1. 如图，身高为1.6 m的小丽在阳光下的影长为2 m，在同一时刻，一棵大树的影长为8 m，则这棵树的高度为
6.4
m. 答案
1. 6.4
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际测量中的应用问题，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光线是平行的，竖直站立的人和竖直生长的树都与地面垂直，因此人和其影长、树和其影长分别构成的两个直角三角形相似；根据相似三角形对应边成比例的性质，可知同一时刻物体高度和影长的比值相等，结合已知的小丽身高、影长和大树的影长，列出比例式即可求解大树高度。
【解析】
同一时刻太阳光线互相平行，小丽与大树均垂直于地面，因此小丽身高、影长构成的直角三角形和大树高度、影长构成的直角三角形相似，相似三角形对应边成比例，即同一时刻物高与影长的比值相等。
设这棵树的高度为$x$ m，根据题意列比例式：
$\frac{1.6}{2}=\frac{x}{8}$
解得：$x=\frac{1.6×8}{2}=6.4$
【答案】
6.4
【知识点】
1.相似三角形的应用
2.平行投影的性质
【点评】
本题是相似三角形结合生活实际的基础应用题，解题关键是理解同一时刻物高和影长成正比的规律，通过建立比例式即可快速求解，侧重考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.85
本题是相似三角形在实际测量中的应用问题，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光线是平行的，竖直站立的人和竖直生长的树都与地面垂直，因此人和其影长、树和其影长分别构成的两个直角三角形相似；根据相似三角形对应边成比例的性质，可知同一时刻物体高度和影长的比值相等，结合已知的小丽身高、影长和大树的影长，列出比例式即可求解大树高度。
【解析】
同一时刻太阳光线互相平行，小丽与大树均垂直于地面，因此小丽身高、影长构成的直角三角形和大树高度、影长构成的直角三角形相似，相似三角形对应边成比例，即同一时刻物高与影长的比值相等。
设这棵树的高度为$x$ m，根据题意列比例式：
$\frac{1.6}{2}=\frac{x}{8}$
解得：$x=\frac{1.6×8}{2}=6.4$
【答案】
6.4
【知识点】
1.相似三角形的应用
2.平行投影的性质
【点评】
本题是相似三角形结合生活实际的基础应用题，解题关键是理解同一时刻物高和影长成正比的规律，通过建立比例式即可快速求解，侧重考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.85
2.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB = 40 cm,BD = 20 cm,AQ = 12 m,则树高PQ =
6 m
.答案
2. 6 m
解析
【分析】
解题时先根据已知的直角判断BD与PQ平行，结合公共角∠A可证△ABD与△AQP相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质列等式，代入已知数据计算即可得到树高，注意计算前要统一长度单位。
【解析】
解：
∵∠ABD=∠AQP=90°，
∴BD//PQ，
∴∠ADB=∠APQ，
又
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△AQP，
∴$\frac{AB}{AQ}=\frac{BD}{PQ}$。
统一单位：AB=40cm=0.4m，BD=20cm=0.2m，AQ=12m，
将数值代入比例式得：$\frac{0.4}{12}=\frac{0.2}{PQ}$，
解得$PQ=\frac{12×0.2}{0.4}=6$（m）。
【答案】
6 m
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似三角形应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，计算时注意单位统一，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先根据已知的直角判断BD与PQ平行，结合公共角∠A可证△ABD与△AQP相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质列等式，代入已知数据计算即可得到树高，注意计算前要统一长度单位。
【解析】
解：
∵∠ABD=∠AQP=90°，
∴BD//PQ，
∴∠ADB=∠APQ，
又
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△AQP，
∴$\frac{AB}{AQ}=\frac{BD}{PQ}$。
统一单位：AB=40cm=0.4m，BD=20cm=0.2m，AQ=12m，
将数值代入比例式得：$\frac{0.4}{12}=\frac{0.2}{PQ}$，
解得$PQ=\frac{12×0.2}{0.4}=6$（m）。
【答案】
6 m
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似三角形应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，计算时注意单位统一，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图,身高为1.7 m的小明AB站在河边的一岸,利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度,CD的倒影为C'D,点A,E,C'在一条视线上。
上.已知河BD的宽度为12 m,BE =3 m,求CD的长度.
上.已知河BD的宽度为12 m,BE =3 m,求CD的长度.答案
3. 解：由题意可知$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
∴$AB// C'D$，可得△ABE∽△C'DE，根据倒影性质可知$CD=C'D$，因此$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$，代入数值$\frac{1.7}{CD}=\frac{3}{12-3}$，解得$CD=5.1\ \mathrm{m}$，即树CD的长度为5.1 m。
∴$AB// C'D$，可得△ABE∽△C'DE，根据倒影性质可知$CD=C'D$，因此$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$，代入数值$\frac{1.7}{CD}=\frac{3}{12-3}$，解得$CD=5.1\ \mathrm{m}$，即树CD的长度为5.1 m。
解析
【分析】
解题时首先结合题目条件和倒影的性质推导边的位置关系：AB和C'D均垂直于BD，因此AB平行于C'D；结合对顶角相等可证明△ABE与△C'DE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合倒影中CD=C'D的特点，代入已知的边长数值即可求出CD的长度。
【解析】
解：由题意可知$AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，
根据倒影的轴对称性质可得：$CD=C'D$，且$C'D ⊥ BD$，
$\therefore AB // C'D$，
$\therefore ∠ A = ∠ C'$，又$\because ∠ AEB = ∠ C'ED$，
$\therefore △ ABE ∽ △ C'DE$，
$\therefore \frac{AB}{C'D} = \frac{BE}{DE}$，
其中$DE = BD - BE = 12 - 3 = 9\ \mathrm{m}$，将$C'D=CD$、$AB=1.7\ \mathrm{m}$、$BE=3\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{1.7}{CD} = \frac{3}{9}$，
解得$CD = 5.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{5.1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际高度测量问题的典型习题，核心是通过几何性质识别相似三角形模型，找准对应边的比例关系，能有效考查学生将实际问题转化为几何问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合题目条件和倒影的性质推导边的位置关系：AB和C'D均垂直于BD，因此AB平行于C'D；结合对顶角相等可证明△ABE与△C'DE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合倒影中CD=C'D的特点，代入已知的边长数值即可求出CD的长度。
【解析】
解：由题意可知$AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，
根据倒影的轴对称性质可得：$CD=C'D$，且$C'D ⊥ BD$，
$\therefore AB // C'D$，
$\therefore ∠ A = ∠ C'$，又$\because ∠ AEB = ∠ C'ED$，
$\therefore △ ABE ∽ △ C'DE$，
$\therefore \frac{AB}{C'D} = \frac{BE}{DE}$，
其中$DE = BD - BE = 12 - 3 = 9\ \mathrm{m}$，将$C'D=CD$、$AB=1.7\ \mathrm{m}$、$BE=3\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{1.7}{CD} = \frac{3}{9}$，
解得$CD = 5.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{5.1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际高度测量问题的典型习题，核心是通过几何性质识别相似三角形模型，找准对应边的比例关系，能有效考查学生将实际问题转化为几何问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
1.如图,为了测量水塘边A,B两点之间的距离,在可以看到A,B的点E处,取AE,BE延长线上的C,D两点,使得CD // AB.若测得CD = 5 m,AD = 15 m,ED = 3 m,则A,B两点间的距离为
20 m
.答案
1. 20 m
解析
【分析】
要计算不可直接测量的A、B两点距离，已知CD平行AB，可先证明△ABE与△DCE相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质求解AB的长度。首先根据平行线的性质得到两组相等的内错角，结合对顶角相等即可证明两个三角形相似；再先求出AE的长度，最后代入相似比例式计算AB即可。
【解析】
解：
∵ CD // AB
∴ ∠A = ∠D，∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠AEB = ∠DEC（对顶角相等）
∴ △ABE ∽ △DCE（两角分别相等的两个三角形相似）
由题意得，AE = AD - ED = 15m - 3m = 12m
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE}$
代入CD=5m，AE=12m，DE=3m，得：
$\frac{AB}{5} = \frac{12}{3}$
解得：$AB = 4 × 5 = 20\ \mathrm{m}$
【答案】
20 m
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是结合平行线的性质证明三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例建立等式求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
要计算不可直接测量的A、B两点距离，已知CD平行AB，可先证明△ABE与△DCE相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质求解AB的长度。首先根据平行线的性质得到两组相等的内错角，结合对顶角相等即可证明两个三角形相似；再先求出AE的长度，最后代入相似比例式计算AB即可。
【解析】
解：
∵ CD // AB
∴ ∠A = ∠D，∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠AEB = ∠DEC（对顶角相等）
∴ △ABE ∽ △DCE（两角分别相等的两个三角形相似）
由题意得，AE = AD - ED = 15m - 3m = 12m
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE}$
代入CD=5m，AE=12m，DE=3m，得：
$\frac{AB}{5} = \frac{12}{3}$
解得：$AB = 4 × 5 = 20\ \mathrm{m}$
【答案】
20 m
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是结合平行线的性质证明三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例建立等式求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在某一时刻测得1 m长的竹竿竖直放置时影长为1.2 m,在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上,有一部分落在楼房的墙上,测得落在地面上的影长BD =9.6 m,留在墙上的影长CD = 2 m,则旗杆的高度AB为
10
m.答案
2. 10
解析
【分析】
这是平行投影的实际应用问题，解题核心是利用同一时刻竖直物体的高度与影长成正比的规律。遇到影子部分落在竖直墙面的情况，我们可以通过作垂直辅助线，把旗杆高度拆成两部分：一部分和墙上的影长相等，另一部分的影长等于地面上的影长，再代入比例关系计算即可。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=9.6m，BE=CD=2m。
同一时刻，1m长的竖直竹竿影长为1.2m，因此竖直物体高度与影长的比值为$\frac{1}{1.2}$。
设AE的长度为$x$ m，AE对应的影长为CE=9.6m，可得：
$\frac{x}{9.6}=\frac{1}{1.2}$
解得$x=8$
则旗杆高度$AB=AE+BE=8+2=10$ m。
【答案】
10
【知识点】
平行投影性质，相似三角形应用
【点评】
本题是平行投影的经典题型，解题关键是通过作辅助线将落在墙上的影长转化为旗杆的部分高度，避开“影长全部在地面”的思维误区，结合比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是平行投影的实际应用问题，解题核心是利用同一时刻竖直物体的高度与影长成正比的规律。遇到影子部分落在竖直墙面的情况，我们可以通过作垂直辅助线，把旗杆高度拆成两部分：一部分和墙上的影长相等，另一部分的影长等于地面上的影长，再代入比例关系计算即可。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=9.6m，BE=CD=2m。
同一时刻，1m长的竖直竹竿影长为1.2m，因此竖直物体高度与影长的比值为$\frac{1}{1.2}$。
设AE的长度为$x$ m，AE对应的影长为CE=9.6m，可得：
$\frac{x}{9.6}=\frac{1}{1.2}$
解得$x=8$
则旗杆高度$AB=AE+BE=8+2=10$ m。
【答案】
10
【知识点】
平行投影性质，相似三角形应用
【点评】
本题是平行投影的经典题型，解题关键是通过作辅助线将落在墙上的影长转化为旗杆的部分高度，避开“影长全部在地面”的思维误区，结合比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水面C处,视线DC与井口的直径AB交于点E. 
如果测得AB=1.6 m,BD=1 m,BE=0.2 m,那么AC的长为
如果测得AB=1.6 m,BD=1 m,BE=0.2 m,那么AC的长为
7
m.答案
3. 7
解析
【分析】
首先根据题意可知BD、AC均垂直于AB，由此可判定BD与AC平行，进而得到△BED和△AEC相似。我们可以利用相似三角形对应边成比例的性质求解AC的长度：先求出AE的长度，再代入对应边长列比例式计算即可。
【解析】
解：
∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，BD//AC，
∴∠D=∠C，
∴△BED∽△AEC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}$。
由已知得：AE=AB-BE=1.6-0.2=1.4（m），BD=1m，BE=0.2m，
将数值代入比例式得：$\frac{1}{AC}=\frac{0.2}{1.4}$，
解得$AC=\frac{1×1.4}{0.2}=7$（m）。
【答案】
7
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题结合古代测量井深的实际场景，考查相似三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是准确找到相似三角形并对应边列出比例式，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
首先根据题意可知BD、AC均垂直于AB，由此可判定BD与AC平行，进而得到△BED和△AEC相似。我们可以利用相似三角形对应边成比例的性质求解AC的长度：先求出AE的长度，再代入对应边长列比例式计算即可。
【解析】
解：
∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，BD//AC，
∴∠D=∠C，
∴△BED∽△AEC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}$。
由已知得：AE=AB-BE=1.6-0.2=1.4（m），BD=1m，BE=0.2m，
将数值代入比例式得：$\frac{1}{AC}=\frac{0.2}{1.4}$，
解得$AC=\frac{1×1.4}{0.2}=7$（m）。
【答案】
7
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题结合古代测量井深的实际场景，考查相似三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是准确找到相似三角形并对应边列出比例式，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
