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4. 如图,九(1)班数学活动小组的同学们在综合实践课上测量学校一栋教学楼的高度MN. 他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4 m的直杆CD,测得DN = 18 m,让同学调整自己的位置,使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线,此时测量人与直杆的距离BD = 3.2 m,眼睛高度AB = 1.6 m. 请你根据以上测量的数据求出这栋教学楼的高度MN.
答案
4. 17.5 m
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际问题，首先观察到AB、CD、MN均垂直于地面BN，可通过过点A作MN的垂线构造相似三角形：因为CD平行于MN，可得△ACE与△AMH相似，再结合矩形的性质得到对应边的长度，利用相似三角形对应边成比例求出MH的长度，最后加上底部HN（与AB长度相等）即可得到MN的高度。
【解析】
过点A作AH⊥MN，垂足为H，交CD于点E。
∵ AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，
∴ 四边形ABDE、四边形ABNH均为矩形，
∴ AE=BD=3.2m，EH=DN=18m，AB=DE=HN=1.6m，
∴ AH=AE+EH=3.2+18=21.2m，CE=CD-DE=4-1.6=2.4m。
∵ CD//MN，
∴ △ACE∽△AMH，
∴ $\frac{CE}{MH}=\frac{AE}{AH}$，
代入数据得：$\frac{2.4}{MH}=\frac{3.2}{21.2}$，
解得：$MH=\frac{2.4×21.2}{3.2}=15.9$ m，
∴ MN=MH+HN=15.9+1.6=17.5 m。
【答案】
17.5 m
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的常见题型，解题的核心是将实际场景转化为几何模型，构造相似三角形，结合矩形性质找到对应边的长度，列比例式求解即可，需要注意区分各条线段的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形测量高度的实际问题，首先观察到AB、CD、MN均垂直于地面BN，可通过过点A作MN的垂线构造相似三角形：因为CD平行于MN，可得△ACE与△AMH相似，再结合矩形的性质得到对应边的长度，利用相似三角形对应边成比例求出MH的长度，最后加上底部HN（与AB长度相等）即可得到MN的高度。
【解析】
过点A作AH⊥MN，垂足为H，交CD于点E。
∵ AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，
∴ 四边形ABDE、四边形ABNH均为矩形，
∴ AE=BD=3.2m，EH=DN=18m，AB=DE=HN=1.6m，
∴ AH=AE+EH=3.2+18=21.2m，CE=CD-DE=4-1.6=2.4m。
∵ CD//MN，
∴ △ACE∽△AMH，
∴ $\frac{CE}{MH}=\frac{AE}{AH}$，
代入数据得：$\frac{2.4}{MH}=\frac{3.2}{21.2}$，
解得：$MH=\frac{2.4×21.2}{3.2}=15.9$ m，
∴ MN=MH+HN=15.9+1.6=17.5 m。
【答案】
17.5 m
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的常见题型，解题的核心是将实际场景转化为几何模型，构造相似三角形，结合矩形性质找到对应边的长度，列比例式求解即可，需要注意区分各条线段的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE = 1.8 m，窗户下沿到地面的距离BC = 1 m，EC =1.2 m，那么窗户的高AB为(
A.1.5 m
B.1.6 m
C.1.85 m
D.2.16 m
A
)A.1.5 m
B.1.6 m
C.1.85 m
D.2.16 m
答案
5. A
解析
【分析】
本题属于平行投影的实际应用问题，解题思路如下：首先根据阳光是平行光线，可得AD//BE，进而可推出△CBE与△CAD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长列出比例式，先求出AC的长度，最后用AC减去BC即可得到窗户的高AB。
【解析】
解：
∵阳光是平行光线，
∴AD//BE，
∴∠BEC=∠ADC，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△CBE∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BC}{AC}=\frac{EC}{DC}$
由已知得：$DC=DE+EC=1.8+1.2=3\mathrm{m}$，$BC=1\mathrm{m}$，$EC=1.2\mathrm{m}$，代入上式：
$\frac{1}{AC}=\frac{1.2}{3}$
解得$AC=2.5\mathrm{m}$，
∴$AB=AC-BC=2.5-1=1.5\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
平行投影的特征、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是通过平行光线构造相似三角形，再利用相似三角形的性质建立比例关系求解，是几何知识结合实际生活的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题属于平行投影的实际应用问题，解题思路如下：首先根据阳光是平行光线，可得AD//BE，进而可推出△CBE与△CAD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长列出比例式，先求出AC的长度，最后用AC减去BC即可得到窗户的高AB。
【解析】
解：
∵阳光是平行光线，
∴AD//BE，
∴∠BEC=∠ADC，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△CBE∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BC}{AC}=\frac{EC}{DC}$
由已知得：$DC=DE+EC=1.8+1.2=3\mathrm{m}$，$BC=1\mathrm{m}$，$EC=1.2\mathrm{m}$，代入上式：
$\frac{1}{AC}=\frac{1.2}{3}$
解得$AC=2.5\mathrm{m}$，
∴$AB=AC-BC=2.5-1=1.5\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
平行投影的特征、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是通过平行光线构造相似三角形，再利用相似三角形的性质建立比例关系求解，是几何知识结合实际生活的典型题型。
【难度系数】
0.7
6. 阳光明媚的一天,实践课上,亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山的高度AB. 如图,亮亮在地面上的点F处眼睛贴地观察,看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上. 此时他起身在点F处站直,发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处,测得FG = 2 m,亮亮的身高EF为1.6 m. 假山的底部B处因有花园围栏,无法到达,但经询问和进行部分测量后得知,BF = 9 m,点D,B,F,G在一条直线上,CD ⊥ DG,AB ⊥ DG,EF ⊥ DG. 已知教学楼的高度CD为16 m,请求出假山的高度AB.
答案
6. 解:
∵ CD ⊥ DG,EF ⊥ DG,
∴ EF // CD.
∴ △GEF ∽ △GCD.
∴ EF/CD = GF/GD,即1.6/16 = 2/(DB + 9 + 2),解得 BD = 9.
∵ CD ⊥ DG,AB ⊥ DG,
∴ AB // CD.
∴ △FAB ∽ △FCD.
∴ AB/CD = FB/FD,即AB/16 = 9/(9 + 9),解得AB = 8. 答:假山的高度AB为8 m.
∵ CD ⊥ DG,EF ⊥ DG,
∴ EF // CD.
∴ △GEF ∽ △GCD.
∴ EF/CD = GF/GD,即1.6/16 = 2/(DB + 9 + 2),解得 BD = 9.
∵ CD ⊥ DG,AB ⊥ DG,
∴ AB // CD.
∴ △FAB ∽ △FCD.
∴ AB/CD = FB/FD,即AB/16 = 9/(9 + 9),解得AB = 8. 答:假山的高度AB为8 m.
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的垂直条件，可推出多组平行线，进而构造相似三角形求解。第一步先利用EF和CD都垂直于DG，证明△GEF∽△GCD，结合已知的EF、CD、FG长度，通过相似三角形对应边成比例求出BD的长度；第二步再利用AB和CD都垂直于DG，证明△FAB∽△FCD，将求出的BD和已知BF代入对应边比例式，即可算出假山高度AB。
【解析】
解：
∵ CD⊥DG，EF⊥DG，
∴ ∠D=∠EFG=90°，
∴ EF//CD，
∴ △GEF∽△GCD，
∴ $\frac{EF}{CD}=\frac{GF}{GD}$，
已知EF=1.6 m，CD=16 m，FG=2 m，GD=BD+BF+FG=BD+9+2，代入得：
$\frac{1.6}{16}=\frac{2}{BD+9+2}$，解得BD=9 m。
∵ CD⊥DG，AB⊥DG，
∴ ∠ABF=∠D=90°，
∴ AB//CD，
∴ △FAB∽△FCD，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{FB}{FD}$，
其中FD=BD+BF=9+9=18 m，FB=9 m，CD=16 m，代入得：
$\frac{AB}{16}=\frac{9}{18}$，解得AB=8 m。
【答案】
假山的高度AB为8 m。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是通过垂直关系得到平行线，进而构造相似三角形，将实际长度转化为相似三角形的对应边，通过列比例方程求解，能很好地锻炼将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目给出的垂直条件，可推出多组平行线，进而构造相似三角形求解。第一步先利用EF和CD都垂直于DG，证明△GEF∽△GCD，结合已知的EF、CD、FG长度，通过相似三角形对应边成比例求出BD的长度；第二步再利用AB和CD都垂直于DG，证明△FAB∽△FCD，将求出的BD和已知BF代入对应边比例式，即可算出假山高度AB。
【解析】
解：
∵ CD⊥DG，EF⊥DG，
∴ ∠D=∠EFG=90°，
∴ EF//CD，
∴ △GEF∽△GCD，
∴ $\frac{EF}{CD}=\frac{GF}{GD}$，
已知EF=1.6 m，CD=16 m，FG=2 m，GD=BD+BF+FG=BD+9+2，代入得：
$\frac{1.6}{16}=\frac{2}{BD+9+2}$，解得BD=9 m。
∵ CD⊥DG，AB⊥DG，
∴ ∠ABF=∠D=90°，
∴ AB//CD，
∴ △FAB∽△FCD，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{FB}{FD}$，
其中FD=BD+BF=9+9=18 m，FB=9 m，CD=16 m，代入得：
$\frac{AB}{16}=\frac{9}{18}$，解得AB=8 m。
【答案】
假山的高度AB为8 m。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是通过垂直关系得到平行线，进而构造相似三角形，将实际长度转化为相似三角形的对应边，通过列比例方程求解，能很好地锻炼将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
