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1. 某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”。比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1,2,3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法正确的是（）
A.小星抽到数字1的可能性最小
B.小星抽到数字2的可能性最大
C.小星抽到数字3的可能性最大
D.小星抽到每个数字的可能性相同
A.小星抽到数字1的可能性最小
B.小星抽到数字2的可能性最大
C.小星抽到数字3的可能性最大
D.小星抽到每个数字的可能性相同
答案
D
解析
【分析】
本题考查可能性大小的判断，解题思路如下：首先明确试验条件：3张纸条完全相同、搅匀后抽取，因此每个数字被抽到的机会均等，属于等可能试验；其次计算抽到每个数字的概率，总共有3种等可能的结果，每个数字对应1种结果，因此抽到每个数字的概率都是$\frac{1}{3}$；最后对比四个选项，选出正确结论即可。
【解析】
解：由题意可知，3张纸条完全相同，搅匀后任意抽取，该试验为等可能试验，总共有3种等可能的结果：抽到数字1、抽到数字2、抽到数字3。
因此抽到每个数字的概率均为$\frac{1}{3}$，即小星抽到每个数字的可能性相同。
逐一判断选项：A、B、C描述的可能性大小不同，均错误；D描述正确。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率；可能性大小判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查对等可能事件的理解，解题核心是明确当所有结果发生的可能性相同时，每个结果的概率仅与自身数量和总数量有关，难度较低，容易得分。
【难度系数】
0.9
本题考查可能性大小的判断，解题思路如下：首先明确试验条件：3张纸条完全相同、搅匀后抽取，因此每个数字被抽到的机会均等，属于等可能试验；其次计算抽到每个数字的概率，总共有3种等可能的结果，每个数字对应1种结果，因此抽到每个数字的概率都是$\frac{1}{3}$；最后对比四个选项，选出正确结论即可。
【解析】
解：由题意可知，3张纸条完全相同，搅匀后任意抽取，该试验为等可能试验，总共有3种等可能的结果：抽到数字1、抽到数字2、抽到数字3。
因此抽到每个数字的概率均为$\frac{1}{3}$，即小星抽到每个数字的可能性相同。
逐一判断选项：A、B、C描述的可能性大小不同，均错误；D描述正确。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率；可能性大小判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查对等可能事件的理解，解题核心是明确当所有结果发生的可能性相同时，每个结果的概率仅与自身数量和总数量有关，难度较低，容易得分。
【难度系数】
0.9
2.（2025·湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧。现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（）
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
D
解析
【分析】
本题是基础的概率计算题，解题思路如下：首先判断该事件属于等可能事件，每类社团被抽中的可能性相同；接着明确等可能事件的概率计算公式为“目标事件的结果数÷所有等可能的总结果数”；再分别统计总情况数和抽中戏剧的情况数，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知共有5类不同的社团活动，随机抽取一类时，每类社团被抽中的可能性相等，即总共有5种等可能的结果。
其中抽中戏剧类社团的结果仅有1种，根据等可能事件的概率公式：
$P(\mathrm{抽中戏剧})=\frac{\mathrm{抽中戏剧的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{5}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率，概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，主要考查对概率定义的理解和简单应用，只要准确统计总情况数和目标事件的情况数就能正确作答，是典型的基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题是基础的概率计算题，解题思路如下：首先判断该事件属于等可能事件，每类社团被抽中的可能性相同；接着明确等可能事件的概率计算公式为“目标事件的结果数÷所有等可能的总结果数”；再分别统计总情况数和抽中戏剧的情况数，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知共有5类不同的社团活动，随机抽取一类时，每类社团被抽中的可能性相等，即总共有5种等可能的结果。
其中抽中戏剧类社团的结果仅有1种，根据等可能事件的概率公式：
$P(\mathrm{抽中戏剧})=\frac{\mathrm{抽中戏剧的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{5}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率，概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，主要考查对概率定义的理解和简单应用，只要准确统计总情况数和目标事件的情况数就能正确作答，是典型的基础得分题。
【难度系数】
0.9
3. (2025·河北)抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1,2,3中的一个数字),若向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$,出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$,则该木块不可能是 ()
答案
A
解析
【分析】
解题时首先根据概率的计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，先算出正方体上标有1、2、3的面的数量。总共有6个面，用总面数乘对应概率即可得到每个数字的面数，推导可知数字3只有1个面。再逐个观察选项，若选项中出现2个及以上的3，就不符合条件，属于不可能的情况。
【解析】
解：
∵正方体共有6个面，向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$，出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$，
∴标数字1的面数为：$6×\frac{1}{2}=3$（个），
标数字2的面数为：$6×\frac{1}{3}=2$（个），
则标数字3的面数为：$6-3-2=1$（个）。
即该正方体仅存在1个标有数字3的面，不可能有2个面同时为3。
观察选项：
A中可见正面、右侧面均为数字3，说明至少有2个面标3，与推导结果矛盾，不可能是该木块；
B中可见3个面均为1，符合1有3个面的情况，可能存在；
C中可见1、3、2各1个面，无矛盾，可能存在；
D中可见2个面为2，符合2有2个面的情况，可能存在。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
概率公式应用，正方体的特征
【点评】
本题将概率计算与立体图形特征结合考查，解题关键是先通过概率求出各数字对应的面数，再结合正方体相邻面的特点判断即可，同时考查学生的计算能力和观察能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据概率的计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，先算出正方体上标有1、2、3的面的数量。总共有6个面，用总面数乘对应概率即可得到每个数字的面数，推导可知数字3只有1个面。再逐个观察选项，若选项中出现2个及以上的3，就不符合条件，属于不可能的情况。
【解析】
解：
∵正方体共有6个面，向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$，出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$，
∴标数字1的面数为：$6×\frac{1}{2}=3$（个），
标数字2的面数为：$6×\frac{1}{3}=2$（个），
则标数字3的面数为：$6-3-2=1$（个）。
即该正方体仅存在1个标有数字3的面，不可能有2个面同时为3。
观察选项：
A中可见正面、右侧面均为数字3，说明至少有2个面标3，与推导结果矛盾，不可能是该木块；
B中可见3个面均为1，符合1有3个面的情况，可能存在；
C中可见1、3、2各1个面，无矛盾，可能存在；
D中可见2个面为2，符合2有2个面的情况，可能存在。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
概率公式应用，正方体的特征
【点评】
本题将概率计算与立体图形特征结合考查，解题关键是先通过概率求出各数字对应的面数，再结合正方体相邻面的特点判断即可，同时考查学生的计算能力和观察能力。
【难度系数】
0.7
4. 某公司接了一批生产世界杯周边玩偶的订单。为保证按时完成任务,该公司加紧转产,开设多条生产线争分夺秒赶制玩偶,逐渐达到日均生产5 000个玩偶的产能,不仅效率高,而且玩偶送检合格率也不断提升。质监局对一批玩偶进行质量抽检的相关数据,统计如下:
| 抽检数量n/个 | 20 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1 000 | 2 000 | 5 000 | 10 000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 合格数量m/个 | 19 | 46 | 93 |
| 459 | 922 | 1 840 | 4 595 | 9 213 |
| 合格率$\frac{m}{n}$ | 0.950 | 0.920 | 0.930 | 0.925 | 0.918 | 0.922 | 0.920 | 0.919 | 0.921 |
下列四个推断合理的是 ()
A.当抽检玩偶的数量是10 000个时,玩偶合格的数量是9 213个,所以这批玩偶中“玩偶合格”的概率是0.921
B.由于抽检玩偶的数量分别是50个和2 000个时,玩偶合格率均是0.920,所以可以估计这批玩偶中“玩偶合格”的概率是0.920
C.随着抽检数量的增加,“玩偶合格”的频率总在0.920附近摆动,显示出一定的稳定性,所以可以估计这批玩偶中“玩偶合格”的概率是0.920
D.当抽检玩偶的数量达到20 000个时,“玩偶合格”的概率一定是0.921
| 抽检数量n/个 | 20 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1 000 | 2 000 | 5 000 | 10 000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 合格数量m/个 | 19 | 46 | 93 |
| 459 | 922 | 1 840 | 4 595 | 9 213 || 合格率$\frac{m}{n}$ | 0.950 | 0.920 | 0.930 | 0.925 | 0.918 | 0.922 | 0.920 | 0.919 | 0.921 |
下列四个推断合理的是 ()
A.当抽检玩偶的数量是10 000个时,玩偶合格的数量是9 213个,所以这批玩偶中“玩偶合格”的概率是0.921
B.由于抽检玩偶的数量分别是50个和2 000个时,玩偶合格率均是0.920,所以可以估计这批玩偶中“玩偶合格”的概率是0.920
C.随着抽检数量的增加,“玩偶合格”的频率总在0.920附近摆动,显示出一定的稳定性,所以可以估计这批玩偶中“玩偶合格”的概率是0.920
D.当抽检玩偶的数量达到20 000个时,“玩偶合格”的概率一定是0.921
答案
C
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：首先明确核心原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。解题时需要逐个判断选项是否符合这个原理：①不能用单次或少量几次试验的频率直接作为概率；②频率是随机波动的，概率是固定的，不能说某一次试验的频率一定等于概率；③只有当试验次数逐渐增大，频率呈现出稳定在某一数值附近的特征时，才能用这个稳定值估计概率。
【解析】
根据频率估计概率的原理逐一分析选项：
A. 单次抽检10000个的合格率为0.921，这只是一次试验的频率，不能直接等同于这批玩偶的合格概率，该推断不合理；
B. 仅依据抽检50个和2000个时两次合格率为0.920就估计概率，没有参考大量试验下频率的稳定趋势，样本量支撑不足，该推断不合理；
C. 观察表格数据，随着抽检数量不断增加，合格率始终在0.920附近摆动，呈现出明显的稳定性，符合用频率估计概率的条件，因此可以估计这批玩偶合格的概率是0.920，该推断合理；
D. 概率是固定的客观数值，频率会随试验次数发生波动，不能判定抽检20000个时合格率一定是0.921，该推断不合理。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，频率的稳定性，频率与概率的区别
【点评】
本题核心是考查对频率和概率关系的理解，需要注意只有试验次数足够多、频率呈现稳定性时，才能用频率的稳定值估计概率，不能将少量试验的频率、单次试验的频率直接等同于概率。
【难度系数】
0.7
本题考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：首先明确核心原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。解题时需要逐个判断选项是否符合这个原理：①不能用单次或少量几次试验的频率直接作为概率；②频率是随机波动的，概率是固定的，不能说某一次试验的频率一定等于概率；③只有当试验次数逐渐增大，频率呈现出稳定在某一数值附近的特征时，才能用这个稳定值估计概率。
【解析】
根据频率估计概率的原理逐一分析选项：
A. 单次抽检10000个的合格率为0.921，这只是一次试验的频率，不能直接等同于这批玩偶的合格概率，该推断不合理；
B. 仅依据抽检50个和2000个时两次合格率为0.920就估计概率，没有参考大量试验下频率的稳定趋势，样本量支撑不足，该推断不合理；
C. 观察表格数据，随着抽检数量不断增加，合格率始终在0.920附近摆动，呈现出明显的稳定性，符合用频率估计概率的条件，因此可以估计这批玩偶合格的概率是0.920，该推断合理；
D. 概率是固定的客观数值，频率会随试验次数发生波动，不能判定抽检20000个时合格率一定是0.921，该推断不合理。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，频率的稳定性，频率与概率的区别
【点评】
本题核心是考查对频率和概率关系的理解，需要注意只有试验次数足够多、频率呈现稳定性时，才能用频率的稳定值估计概率，不能将少量试验的频率、单次试验的频率直接等同于概率。
【难度系数】
0.7
