7.(2024·乌鲁木齐期中)如图，$AB=AD$，$BE=DE$，$BC=DC$，则图中全等三角形有（）

A.2对
B.3对
C.4对
D.5对

7. B

【分析】
解题时我们结合“三边对应相等的两个三角形全等（SSS）”的判定定理，结合题目给出的边相等的已知条件，再挖掘图形中的公共边这一隐含条件，按顺序枚举所有可能的全等三角形即可，注意不要漏数也不要多数。首先观察包含已知相等边的三角形：包含AB、AD的三角形有△ABC、△ADC和△ABE、△ADE；包含BC、DC的三角形有△ABC、△ADC和△BCE、△DCE；再结合公共边AE、CE、AC，即可逐一验证全等。
【解析】
我们逐对判定全等三角形：
1. 判定$△ ABE ≌ △ ADE$：
已知$AB=AD$，$BE=DE$，又$AE$是两个三角形的公共边，即$AE=AE$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABE ≌ △ ADE$。
2. 判定$△ BCE ≌ △ DCE$：
已知$BE=DE$，$BC=DC$，又$CE$是两个三角形的公共边，即$CE=CE$，根据SSS全等判定定理，可得$△ BCE ≌ △ DCE$。
3. 判定$△ ABC ≌ △ ADC$：
已知$AB=AD$，$BC=DC$，又$AC$是两个三角形的公共边，即$AC=AC$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ ADC$。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
B
【知识点】
SSS判定全等三角形；全等三角形计数；公共边的应用
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题的关键是熟练掌握SSS判定定理，同时要注意挖掘图形中的公共边这一隐含条件，按顺序枚举三角形可有效避免漏数、多数全等三角形。
【难度系数】
0.7

8.【易错题】如图，△ABC是三边都不相等的三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（）

A.2个
B.4个
C.6个
D.8个

8. B

【分析】
要解决这道题，首先回忆全等三角形的SSS判定规则：三边对应相等的两个三角形全等。已知DE=BC，因此我们只需要找到第三个顶点，使得所作三角形的另外两边分别等于AB和AC即可。解题时要分两种情况分类讨论：一是第三个顶点在直线DE的上方，二是第三个顶点在直线DE的下方；每种情况下还要考虑对应点的互换：即D对应B、E对应C，和D对应C、E对应B两种情况，避免漏解。
【解析】
根据SSS判定三角形全等的规则，已知DE=BC，所作三角形只需另外两边分别等于AB、AC即可：
1. 当第三个顶点在直线DE上方时：
① 以D为圆心、AB长为半径画弧，以E为圆心、AC长为半径画弧，两弧交于1个点，连接该点与D、E，得到1个与△ABC全等的三角形；
② 以D为圆心、AC长为半径画弧，以E为圆心、AB长为半径画弧，两弧交于1个点，连接该点与D、E，得到第2个与△ABC全等的三角形；
2. 当第三个顶点在直线DE下方时，按照上述两种画法，又可得到2个与△ABC全等的三角形。
由于△ABC三边都不相等，上述4个三角形位置均不重合，因此最多可画出4个符合要求的三角形。
【答案】
B
【知识点】
SSS判定三角形全等；尺规作图
【点评】
本题是易错题，解题时容易遗漏直线DE另一侧的三角形，或者遗漏对应顶点互换的情况，需要养成分类讨论的习惯，依次考虑不同位置和不同对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6

9. 如图，AD和BC相交于点O.且AD=BC，连接AC，AB，BD.已知AC=BD，$∠ ABC=20°$，则$∠ AOB$的度数为（）

A.$135°$
B.$140°$
C.$145°$
D.$160°$

9. B

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，观察已知边的关系和图形特征，发现△ABC和△BAD有公共边AB，结合已知的AC=BD、AD=BC，可通过“SSS”判定两个三角形全等；第二步，利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAD=∠ABC；第三步，在△AOB中利用三角形内角和定理即可求出∠AOB的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ BAD$中：
$\begin{cases}AC=BD（已知）\\BC=AD（已知）\\AB=BA（公共边相等）\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BAD$（SSS）
$\therefore ∠ BAD=∠ ABC=20°$（全等三角形的对应角相等）
在$△ AOB$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AOB=180°-∠ ABC-∠ BAD=180°-20°-20°=140°$
【答案】
B
【知识点】
SSS证三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是通过公共边构造全等三角形，将已知角转化为待求角所在三角形的内角，再结合内角和定理计算角度，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$BE=CD$，$∠ 2=110°$，$∠ BAE=60°$，则下列结论错误的是（）

A.$∠ 1=70°$
B.$△ ABD ≌ △ ACE$
C.$∠ ACE=30°$
D.$△ ABE ≌ △ ACD$

10. C

【分析】
解题先从已知的边相等条件入手：①已知AB=AC，AD=AE，BE=CD，可直接用SSS判定△ABE≌△ACD，验证D选项；②由BE=CD，两边同时减去公共线段DE可得BD=CE，结合AB=AC、AD=AE，用SSS可判定△ABD≌△ACE，验证B选项；③根据AD=AE可知△ADE是等腰三角形，底角相等，结合∠2是110°，利用邻补角性质算出∠AED=70°，即可得∠1的度数，验证A选项；④最后利用三角形内角和算出∠B的度数，结合AB=AC得∠C=∠B，即可判断C选项是否正确。
【解析】
1. 验证全等相关选项
① 已知$AB=AC$，$AD=AE$，$BE=CD$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABE ≌ △ ACD$，故D选项结论正确，不符合题意。
② 因为$BE=CD$，所以$BE-DE=CD-DE$，即$BD=CE$，又$AB=AC$，$AD=AE$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABD ≌ △ ACE$，故B选项结论正确，不符合题意。
2. 计算$∠ 1$的度数
因为$AD=AE$，所以$∠ 1=∠ AED$，又$∠ 2+∠ AED=180°$，$∠ 2=110°$，因此$∠ AED=180°-110°=70°$，即$∠ 1=70°$，故A选项结论正确，不符合题意。
3. 计算$∠ ACE$的度数
在$△ ABE$中，$∠ BAE=60°$，$∠ AEB=∠ AED=70°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-60°-70°=50°$。
又$AB=AC$，等腰三角形底角相等，因此$∠ C=∠ B=50°$，即$∠ ACE=50°\ne30°$，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
SSS全等判定、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题围绕全等三角形判定和等腰三角形性质设计，解题的关键是从已知等边条件推导得到相等的线段，再结合角度性质逐步推导验证结论。
【难度系数】
0.7

11.(教材P45习题T15改编) 一材多题
如图，AD=CB，E，F是AC上的两个动点，且DE=BF.
(1)若点E，F运动至图1所示的位置，且AF=CE，求证：$△ ADE ≌ △ CBF$；
(2)若点E，F运动至图2所示的位置，仍有AF=CE，则$△ ADE ≌ △ CBF$还成立吗？为什么？
(3)AD与CB一定平行吗？请说明理由.

11.(1) 证明:
∵AF=CE,
∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF.在△ADE和△CBF中,$\begin{cases} AD=CB,\\ DE=BF,\\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SSS);(2)解:△ADE≌△CBF成立.理由如下:
∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.在△ADE和△CBF中,$\begin{cases} AD=CB,\\ DE=BF,\\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SSS).(3)AD与CB不一定平行,理由如下:在△ADE和△CBF中,仅有AD=CB,DE=BF,不能判定它们全等,即不能得出∠A=∠C,故AD与CB不一定平行.

【分析】
本题围绕三角形全等的SSS判定展开，解题思路清晰：
(1) 要证△ADE≌△CBF，已知两组对应边AD=CB、DE=BF，只需推导第三组对应边AE=CF即可；由已知AF=CE，观察线段组成，AF+EF=AE、CE+EF=CF，利用等式性质可推出AE=CF，满足SSS判定条件即可证明全等。
(2) 与(1)核心思路一致，仅动点位置发生变化，此时AE=AF-EF、CF=CE-EF，由AF=CE利用等式性质仍可推出AE=CF，依然满足SSS判定条件。
(3) 要判断AD与CB是否平行，需判断内错角∠A与∠C是否相等；而∠A=∠C需要△ADE≌△CBF才能推出，若没有AF=CE的条件，仅已知AD=CB、DE=BF两组边相等，无法判定三角形全等，也就无法得到∠A=∠C，因此AD与CB不一定平行。
【解析】
(1) 证明:
∵AF=CE,
∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF.
在△ADE和△CBF中,
$\begin{cases} AD=CB,\\ DE=BF,\\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SSS);
(2)解:△ADE≌△CBF成立.理由如下:
∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.
在△ADE和△CBF中,
$\begin{cases} AD=CB,\\ DE=BF,\\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(3)解:AD与CB不一定平行,理由如下:
在△ADE和△CBF中,仅有AD=CB,DE=BF,不能判定它们全等,即不能得出∠A=∠C,故AD与CB不一定平行.
【答案】
(1) △ADE≌△CBF，证明见解析；
(2) 成立，理由见解析；
(3) AD与CB不一定平行，理由见解析。
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是三角形全等判定的经典变式题，通过动点位置变化考察线段和差推导及SSS判定定理的应用，同时要求明确几何结论成立的前提条件，能有效锻炼逻辑推理能力和几何分析能力。
【难度系数】
0.7

12. 如图，AC，BD相交于点O，且AB=DC，AC=DB. 求证：OB=OC.

12. 证明:连接BC.在△ABC和△DCB中,$\begin{cases} AB=DC,\\ AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(SSS).
∴∠A=∠D.在△AOB和△DOC中,$\begin{cases} ∠AOB=∠DOC,\\ ∠A=∠D,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△AOB≌△DOC(AAS).
∴OB=OC.

【分析】
要证明OB=OC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导，即证明△AOB≌△DOC。已知AB=DC，且对顶角∠AOB=∠DOC，还缺少一组对应角相等的条件。结合已知AC=DB，可添加辅助线连接BC构造△ABC和△DCB，两个三角形有公共边BC=CB，结合已知的AB=DC、AC=DB，可通过SSS判定△ABC≌△DCB，进而得到∠A=∠D，补充了△AOB和△DOC全等的条件，再通过AAS判定△AOB≌△DOC，即可得到OB=OC。
【解析】
证明：连接BC.
在△ABC和△DCB中,
$\begin{cases} AB=DC,\\ AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(SSS).
∴∠A=∠D.
在△AOB和△DOC中,
$\begin{cases} ∠AOB=∠DOC,\\ ∠A=∠D,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△AOB≌△DOC(AAS).
∴OB=OC.
【答案】
证明:连接BC.在△ABC和△DCB中,$\begin{cases} AB=DC,\\ AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(SSS).
∴∠A=∠D.在△AOB和△DOC中,$\begin{cases} ∠AOB=∠DOC,\\ ∠A=∠D,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△AOB≌△DOC(AAS).
∴OB=OC.
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. AAS判定三角形全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题型，解题核心是通过添加辅助线构造全等三角形，利用两次全等实现角、边的等量转化，考查对全等判定定理、性质的掌握程度以及辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7