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例1 如图，一架长为6 m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离AO的长为（）
A.$6\sin α$ m
B.$6\cos α$ m
C.$6\tan α$ m
D.$\frac{6}{\sin α}$ m
【思路导析】在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=6$ m，$∠ AOB=90°$，$∠ ABO=α$，通过解直角三角形即可解答。
【请你解答】
A.$6\sin α$ m
B.$6\cos α$ m
C.$6\tan α$ m
D.$\frac{6}{\sin α}$ m
【思路导析】在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=6$ m，$∠ AOB=90°$，$∠ ABO=α$，通过解直角三角形即可解答。
【请你解答】
答案
A
解析
【分析】
首先明确梯子、墙面、地面构成直角三角形$\mathrm{Rt}△ABO$，其中$∠ AOB=90°$，已知斜边$AB$的长度为6m，梯子与地面的夹角为$α$，要求的$AO$是$α$的对边。我们可以根据锐角正弦的定义，建立角$α$、对边$AO$、斜边$AB$的等量关系，代入已知数值即可求解$AO$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABO$中，$∠ AOB=90°$，$AB=6\ \mathrm{m}$，$∠ ABO=α$。
根据锐角正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AO}{AB}$，
变形可得$AO=AB·\sinα=6\sinα\ \mathrm{m}$，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角正弦的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题核心是准确识别直角三角形中角对应的对边、邻边与斜边，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先明确梯子、墙面、地面构成直角三角形$\mathrm{Rt}△ABO$，其中$∠ AOB=90°$，已知斜边$AB$的长度为6m，梯子与地面的夹角为$α$，要求的$AO$是$α$的对边。我们可以根据锐角正弦的定义，建立角$α$、对边$AO$、斜边$AB$的等量关系，代入已知数值即可求解$AO$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABO$中，$∠ AOB=90°$，$AB=6\ \mathrm{m}$，$∠ ABO=α$。
根据锐角正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AO}{AB}$，
变形可得$AO=AB·\sinα=6\sinα\ \mathrm{m}$，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角正弦的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题核心是准确识别直角三角形中角对应的对边、邻边与斜边，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例2 如图，当太阳光线与地面成$60°$角时，测得空中热气球在地面上的影长是10 m，则热气球的直径为()
A.20 m
B.$10\sqrt{3}$ m
C.$5\sqrt{3}$ m
D.10 m
【思路导析】根据题意构造直角三角形，再解直角三角形即可.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A.20 m
B.$10\sqrt{3}$ m
C.$5\sqrt{3}$ m
D.10 m
【思路导析】根据题意构造直角三角形，再解直角三角形即可.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
C
解析
【分析】
首先将热气球抽象为圆，太阳光线为平行的切线，两条平行光线的距离等于热气球的直径。地面影长10m是两条光线与地面交点的距离，我们可以构造含60°角的直角三角形，利用正弦函数的定义求解直径即可。
【解析】
解：将热气球抽象为圆，太阳光线为平行光线，且均与圆相切，因此两条平行光线的距离等于热气球的直径。
过左侧光线与地面的交点A作右侧光线的垂线，垂足为C，则AC为热气球的直径，且$∠ ACB=90°$。
由题意可知，影长$AB=10\ \mathrm{m}$，太阳光线与地面夹角$∠ ABC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}$，代入数值可得：
$AC=AB·\sin60°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
即热气球的直径为$5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用；切线的性质
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题的关键是把实际问题转化为几何问题，构造出符合条件的直角三角形，再结合三角函数的性质计算，需要具备一定的模型转化能力。
【难度系数】
0.6
首先将热气球抽象为圆，太阳光线为平行的切线，两条平行光线的距离等于热气球的直径。地面影长10m是两条光线与地面交点的距离，我们可以构造含60°角的直角三角形，利用正弦函数的定义求解直径即可。
【解析】
解：将热气球抽象为圆，太阳光线为平行光线，且均与圆相切，因此两条平行光线的距离等于热气球的直径。
过左侧光线与地面的交点A作右侧光线的垂线，垂足为C，则AC为热气球的直径，且$∠ ACB=90°$。
由题意可知，影长$AB=10\ \mathrm{m}$，太阳光线与地面夹角$∠ ABC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}$，代入数值可得：
$AC=AB·\sin60°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
即热气球的直径为$5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用；切线的性质
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题的关键是把实际问题转化为几何问题，构造出符合条件的直角三角形，再结合三角函数的性质计算，需要具备一定的模型转化能力。
【难度系数】
0.6
例3 某厂家新开发的一种电动汽车
如图所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与水平地面MN的夹角分别为$8°$和$30°$($A,B,C$在同一平面内)，大灯A到地面的距离为$0.5 \ \mathrm{m}$，求该车大灯照亮地面的宽度$BC$的长.(不考虑其他因素，结果保留一位小数，参考数据：$\sin 8° \approx \frac{7}{50}$，$\tan 8° \approx \frac{1}{7}$，$\sqrt{3} \approx 1.732$)
【探究点拨】构造直角三角形，利用正切函数求出相关线段的长度，即可求解.
【规范解答】如图，作$AD ⊥ MN$，垂足为$D$，则有$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$.
由题可知，$∠ ACD = 30°$，$AD = 0.5 \ \mathrm{m}$，$∠ ABC = 8°$，
$\therefore \tan∠ ACD = \tan 30° = \frac{AD}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore \frac{0.5}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$CD = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \mathrm{m}$，
$\therefore \tan∠ ABC = \tan 8° = \frac{AD}{BD} \approx \frac{1}{7}$，
$\therefore \frac{0.5}{BD} \approx \frac{1}{7}$，$BD \approx \frac{7}{2} \ \mathrm{m}$，
$\therefore BC = BD - CD \approx \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 \ \mathrm{m}$.
如图所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与水平地面MN的夹角分别为$8°$和$30°$($A,B,C$在同一平面内)，大灯A到地面的距离为$0.5 \ \mathrm{m}$，求该车大灯照亮地面的宽度$BC$的长.(不考虑其他因素，结果保留一位小数，参考数据：$\sin 8° \approx \frac{7}{50}$，$\tan 8° \approx \frac{1}{7}$，$\sqrt{3} \approx 1.732$)
【探究点拨】构造直角三角形，利用正切函数求出相关线段的长度，即可求解.
【规范解答】如图，作$AD ⊥ MN$，垂足为$D$，则有$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$.
由题可知，$∠ ACD = 30°$，$AD = 0.5 \ \mathrm{m}$，$∠ ABC = 8°$，
$\therefore \tan∠ ACD = \tan 30° = \frac{AD}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore \frac{0.5}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$CD = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \mathrm{m}$，
$\therefore \tan∠ ABC = \tan 8° = \frac{AD}{BD} \approx \frac{1}{7}$，
$\therefore \frac{0.5}{BD} \approx \frac{1}{7}$，$BD \approx \frac{7}{2} \ \mathrm{m}$，
$\therefore BC = BD - CD \approx \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 \ \mathrm{m}$.
答案
解：
作$AD ⊥ MN$，垂足为D，得到$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$。
由题可知，$∠ ACD = 30°$，$AD = 0.5\ \mathrm{m}$，$∠ ABC = 8°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\tan∠ ACD = \tan30° = \frac{AD}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{0.5}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$CD = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\tan∠ ABC = \tan8° = \frac{AD}{BD} \approx \frac{1}{7}$，
即$\frac{0.5}{BD} \approx \frac{1}{7}$，解得$BD \approx \frac{7}{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC = BD - CD \approx \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{7 - 1.732}{2} \approx 2.6\ \mathrm{m}$。
答：该车大灯照亮地面的宽度BC的长约为2.6 m。
作$AD ⊥ MN$，垂足为D，得到$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$。
由题可知，$∠ ACD = 30°$，$AD = 0.5\ \mathrm{m}$，$∠ ABC = 8°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\tan∠ ACD = \tan30° = \frac{AD}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{0.5}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$CD = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\tan∠ ABC = \tan8° = \frac{AD}{BD} \approx \frac{1}{7}$，
即$\frac{0.5}{BD} \approx \frac{1}{7}$，解得$BD \approx \frac{7}{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC = BD - CD \approx \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{7 - 1.732}{2} \approx 2.6\ \mathrm{m}$。
答：该车大灯照亮地面的宽度BC的长约为2.6 m。
解析
【分析】
要求大灯照亮地面的宽度BC，需先构造直角三角形求解相关线段长度：首先过点A作AD垂直地面MN，可得两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，已知AD的高度、光线与地面的两个夹角，可利用正切函数的定义分别求出BD、CD的长度，最后用BD减去CD即可得到BC的长度。
【解析】
作$AD ⊥ MN$，垂足为D，得到$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$。
由题可知，$∠ ACD = 30°$，$AD = 0.5\ \mathrm{m}$，$∠ ABC = 8°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\tan∠ ACD = \tan30° = \frac{AD}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{0.5}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$CD = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\tan∠ ABC = \tan8° = \frac{AD}{BD} \approx \frac{1}{7}$，
即$\frac{0.5}{BD} \approx \frac{1}{7}$，解得$BD \approx \frac{7}{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC = BD - CD \approx \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{7 - 1.732}{2} \approx 2.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
该车大灯照亮地面的宽度BC的长约为2.6 m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 正切函数的定义
【点评】
本题是三角函数实际应用的基础题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际场景转化为几何解三角形问题，结合已知三角函数值即可求解，侧重考察学生的建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要求大灯照亮地面的宽度BC，需先构造直角三角形求解相关线段长度：首先过点A作AD垂直地面MN，可得两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，已知AD的高度、光线与地面的两个夹角，可利用正切函数的定义分别求出BD、CD的长度，最后用BD减去CD即可得到BC的长度。
【解析】
作$AD ⊥ MN$，垂足为D，得到$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$。
由题可知，$∠ ACD = 30°$，$AD = 0.5\ \mathrm{m}$，$∠ ABC = 8°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\tan∠ ACD = \tan30° = \frac{AD}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{0.5}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$CD = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\tan∠ ABC = \tan8° = \frac{AD}{BD} \approx \frac{1}{7}$，
即$\frac{0.5}{BD} \approx \frac{1}{7}$，解得$BD \approx \frac{7}{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC = BD - CD \approx \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{7 - 1.732}{2} \approx 2.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
该车大灯照亮地面的宽度BC的长约为2.6 m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 正切函数的定义
【点评】
本题是三角函数实际应用的基础题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际场景转化为几何解三角形问题，结合已知三角函数值即可求解，侧重考察学生的建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
1.如图,长春市组织的滑雪活动中,中学生小旺沿着倾斜角为α的斜坡练习滑雪,从点A滑行到点B.若AB=300 m,则小旺下降的高度为()
A.$300\sinα$ m
B.$300\cosα$ m
C.$300\tanα$ m
D.$\frac{300}{\tanα}$ m
A.$300\sinα$ m
B.$300\cosα$ m
C.$300\tanα$ m
D.$\frac{300}{\tanα}$ m
答案
A
解析
【分析】首先将实际滑雪场景转化为直角三角形数学模型：过点A向水平底边作垂线，得到直角三角形，其中斜坡AB为斜边，长度300m，倾斜角α是斜坡与水平面的夹角，所求的下降高度是α角的对边。接下来回忆锐角三角函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值，因此可以通过正弦的定义求出对边长度，也就是下降高度。
【解析】过点A作水平地面的垂线，垂足记为C，则△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=α，斜边AB=300m，小旺下降的高度为AC的长度。
根据锐角三角函数中正弦的定义：$\sinα = \frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，
变形可得$AC = AB · \sinα = 300\sinα \ \mathrm{m}$，因此答案选A。
【答案】A
【知识点】正弦的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】本题结合生活实际考察锐角三角函数的基础应用，解题的关键是将实际问题抽象为直角三角形模型，准确找到锐角对应的对边、斜边，结合三角函数定义求解即可。
【难度系数】0.85
【解析】过点A作水平地面的垂线，垂足记为C，则△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=α，斜边AB=300m，小旺下降的高度为AC的长度。
根据锐角三角函数中正弦的定义：$\sinα = \frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，
变形可得$AC = AB · \sinα = 300\sinα \ \mathrm{m}$，因此答案选A。
【答案】A
【知识点】正弦的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】本题结合生活实际考察锐角三角函数的基础应用，解题的关键是将实际问题抽象为直角三角形模型，准确找到锐角对应的对边、斜边，结合三角函数定义求解即可。
【难度系数】0.85
