例1 (1)如图①，$∠ AOB$所对的弧为，所对的弦为；反之，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为，所对的弦为；

(2)如图②，弧、弦、圆心角三者的关系为：若$∠ AOB=∠ COD$，则$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；若$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，则$∠ AOB =$，$AB =$.
【思路导析】运用弧、弦、圆心角之间的关系来解答.
【请你解答】(1)；
(2).

解：(1) $\overset{\frown}{AB}$，$AB$，$∠ AOB$，$AB$
(2) $∠ COD$，$CD$

【分析】
解题可从圆心角、弧、弦的基本概念和三者的关系入手：
(1) 先明确圆心角的定义：顶点在圆心的角是圆心角，圆心角所对的弧是角的两边与圆的交点之间的劣弧（默认），所对的弦是两个交点的连线；反过来，一段弧所对的圆心角是顶点在圆心、两边分别过弧的两个端点的角，所对的弦是弧两端点的连线，据此对应填写即可。
(2) 回忆同圆或等圆中弧、弦、圆心角的关系：三个量中任意一组量相等，其余两组对应量也相等，根据已知的弧相等推导对应的圆心角和弦即可。
【解析】
(1) 观察图①，∠AOB的顶点是圆心O，两边与圆交于A、B两点，因此∠AOB所对的弧为$\overset{\frown}{AB}$，所对的弦为线段AB；反之，$\overset{\frown}{AB}$的两个端点为A、B，它所对的圆心角为顶点在O的∠AOB，所对的弦为连接A、B的线段AB。
(2) 根据同圆中弧、弦、圆心角的相等关系：若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量都相等。已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，则对应的圆心角$∠ AOB=∠ COD$，对应的弦$AB=CD$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AB}$，$AB$，$∠ AOB$，$AB$
(2) $∠ COD$，$CD$
【知识点】
圆心角的概念；弧、弦、圆心角的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对圆心角、弧、弦三者对应关系的掌握，牢记三者的对应规则和相等转化关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9

例2 如图,在$\odot O$中,$∠ AOB = ∠ AOC,∠ ABC=70°$,求$∠ BAC$.
【思路导析】运用圆心角相等,所对弦相等,可得$∠ ABC = ∠ ACB$.
【请你解答】

互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 利用弧、弦、圆心角之间的关系证明问题

解：
∵ 在$\odot O$中，$∠ AOB = ∠ AOC$，
∴ $AB = AC$（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴ $∠ ACB = ∠ ABC = 70°$，
在$△ ABC$中，
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 70° - 70° = 40°$。

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到同圆$\odot O$中$∠ AOB=∠ AOC$，结合同圆中圆心角与弦的对应性质，相等的圆心角所对的弦相等，可推出$AB=AC$，即$△ ABC$为等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知$∠ ABC=70°$，可得$∠ ACB$的度数；最后利用三角形内角和为$180°$，即可求出$∠ BAC$的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$∠ AOB = ∠ AOC$，
∴ $AB = AC$（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴ $∠ ACB = ∠ ABC = 70°$，
在$△ ABC$中，
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 70° - 70° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
1. 圆心角与弦的关系 2. 等腰三角形的性质 3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形知识结合的常规题，解题核心是通过相等的圆心角推导得到等腰三角形，再结合三角形内角和计算角度，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

例3 如图,已知$AB=CD$,试说明$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
【探究点拨】$AB=CD⇒\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}⇒\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
【规范解答】在$\odot O$中,
$\because AB=CD$,
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}$,
$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}$,
又$\because\overset{\frown}{AC}$是公共弧,
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.

证明：
在$\odot O$中，
$\because AB=CD$，
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}$，
$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}$，
又$\because\overset{\frown}{AC}$是公共弧，
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。

【分析】
要证明$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，可结合已知条件逐步推导：首先，在同一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，已知$AB=CD$，可先推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；其次观察两段弧的组成：$\overset{\frown}{AB}$是$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$的和，$\overset{\frown}{CD}$是$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{AC}$的和，两段等弧都包含公共弧$\overset{\frown}{AC}$；最后将两个等弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
在$\odot O$中，
$\because AB=CD$，
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}$，
$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}$，
又$\because\overset{\frown}{AC}$是公共弧，
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
【答案】
$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$
【知识点】
同圆中弦弧对等关系、弧的和差运算
【点评】
本题是圆的基础性质应用题型，核心考察同圆内弦与弧的等量转换能力，解题关键是熟练掌握相等的弦对应相等的弧的性质，结合弧的和差关系减去公共弧即可得到结论，属于基础类习题。
【难度系数】
0.9

1.如图,阴影部分扇形的圆心角为()

A.$15°$
B.$23°$
C.$30°$
D.$36°$

D

【分析】
要计算阴影部分扇形的圆心角，首先回忆扇形统计图的性质：整个圆代表总体，各部分占比之和为100%，整体对应的圆心角为周角360°。解题时第一步先求出阴影部分占总体的百分比，用整体1减去已知两个部分的占比即可；第二步用360°乘阴影部分的占比，就能得到对应圆心角的度数。
【解析】
首先计算阴影部分占总体的百分比：
$1 - 64\% - 26\% = 10\%$
因为扇形统计图整体对应的圆心角为$360°$，因此阴影部分的圆心角为：
$360° × 10\% = 36°$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.扇形统计图 2.圆心角计算 3.百分数运算
【点评】
本题属于扇形统计图的基础题型，解题关键是掌握扇形统计图的两个核心特征：各部分占比之和为1、整体对应圆心角为360°，计算难度低，掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8

2. 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，$∠ AOE=60°$，则$∠ COE=(\quad)$

A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$120°$

3. 如图，若$AD=BC$，试证明：点O到AD与BC的距离相等。

2. C

【分析】
解题时先结合直径对应的平角求出∠BOE的度数，再利用“同圆中等弧所对的圆心角相等”的性质，结合三等分点的条件，求出每段弧对应的圆心角度数，最后计算∠COE的度数即可。第一步，先明确AB是直径，所以∠AOB是平角为180°，用180°减去已知的∠AOE就能得到∠BOE的大小；第二步，C、D是弧BE的三等分点，说明弧BE被分成3段相等的弧，对应的3个圆心角也相等，由此可算出单个小圆心角的度数；第三步，∠COE包含2个小圆心角，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ AOB=180°$
∵$∠ AOE=60°$
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$
∵C，D是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得：
$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$
∴$∠ DOE=∠ BOE÷3=120°÷3=40°$
∴$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=40°+40°=80°$
【答案】
C
【知识点】
1. 平角的性质
2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握同圆中等弧对等圆心角的性质，结合平角的度数即可快速求解，主要考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8