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7. 下列说法中正确的个数有()
①垂直于弦的直径平分这条弦；②垂直平分弦的直线必过圆心；③平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦；④弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①垂直于弦的直径平分这条弦；②垂直平分弦的直线必过圆心；③平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦；④弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的应用，解题思路为：先回忆垂径定理及相关推论的内容，再逐一验证4个说法是否符合定理要求，判断时需注意特殊情况（如弦为直径时）是否仍然成立，最终统计正确说法的个数即可。
【解析】
我们对4个说法逐一分析：
① 垂直于弦的直径平分这条弦：该内容是垂径定理的基础结论，说法正确；
② 垂直平分弦的直线必过圆心：因为圆心到弦两个端点的距离均为半径，长度相等，因此圆心必然在弦的垂直平分线上，即垂直平分弦的直线一定经过圆心，说法正确；
③ 平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦：根据圆的轴对称性，平分弧的直径与弧所对弦的位置关系满足垂径定理要求，必然平分对应的弦，说法正确；
④ 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧：弦的垂直平分线必经过圆心，即该直线是过圆心且垂直于弦的直线，根据垂径定理，它一定平分弦所对的优弧和劣弧，说法正确。
综上，4个说法均正确，正确个数为4个。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，垂直平分线性质，圆的对称性
【点评】
本题侧重考查对基础定理的理解和辨析，需要准确掌握垂径定理及其延伸推论的适用条件，判断时不要混淆不同推论的限制前提，避免因概念记忆模糊出错。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的应用，解题思路为：先回忆垂径定理及相关推论的内容，再逐一验证4个说法是否符合定理要求，判断时需注意特殊情况（如弦为直径时）是否仍然成立，最终统计正确说法的个数即可。
【解析】
我们对4个说法逐一分析：
① 垂直于弦的直径平分这条弦：该内容是垂径定理的基础结论，说法正确；
② 垂直平分弦的直线必过圆心：因为圆心到弦两个端点的距离均为半径，长度相等，因此圆心必然在弦的垂直平分线上，即垂直平分弦的直线一定经过圆心，说法正确；
③ 平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦：根据圆的轴对称性，平分弧的直径与弧所对弦的位置关系满足垂径定理要求，必然平分对应的弦，说法正确；
④ 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧：弦的垂直平分线必经过圆心，即该直线是过圆心且垂直于弦的直线，根据垂径定理，它一定平分弦所对的优弧和劣弧，说法正确。
综上，4个说法均正确，正确个数为4个。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，垂直平分线性质，圆的对称性
【点评】
本题侧重考查对基础定理的理解和辨析，需要准确掌握垂径定理及其延伸推论的适用条件，判断时不要混淆不同推论的限制前提，避免因概念记忆模糊出错。
【难度系数】
0.7
8.如图，$\odot O$的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB(包括端点A，B)上移动，则OM的取值范围是()
A.$3≤ OM≤5$
B.$3≤ OM＜5$
C.$4≤ OM≤5$
D.$4≤ OM＜5$
A.$3≤ OM≤5$
B.$3≤ OM＜5$
C.$4≤ OM≤5$
D.$4≤ OM＜5$
答案
A
解析
【分析】
要确定OM的取值范围，需先明确OM的最值情况：根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当OM垂直于弦AB时，OM的长度最小；当点M与弦AB的端点A或B重合时，OM等于圆的半径，此时长度最大。接下来结合垂径定理和勾股定理求出OM的最小值，即可得到完整的取值范围。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
已知$\odot O$的半径$OA=5$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
因为点M在线段AB上移动：
当M与C重合时，OM取得最小值3；
当M与A（或B）重合时，OM取得最大值，等于半径5。
因此OM的取值范围是$3≤OM≤5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，解题核心是明确圆心到弦的最短距离为垂线段长度，最长距离为圆的半径，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.75
要确定OM的取值范围，需先明确OM的最值情况：根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当OM垂直于弦AB时，OM的长度最小；当点M与弦AB的端点A或B重合时，OM等于圆的半径，此时长度最大。接下来结合垂径定理和勾股定理求出OM的最小值，即可得到完整的取值范围。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
已知$\odot O$的半径$OA=5$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
因为点M在线段AB上移动：
当M与C重合时，OM取得最小值3；
当M与A（或B）重合时，OM取得最大值，等于半径5。
因此OM的取值范围是$3≤OM≤5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，解题核心是明确圆心到弦的最短距离为垂线段长度，最长距离为圆的半径，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.75
9.如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,$AB⊥CD$,垂足为E.若$CD=8,OD=5$,求BE的长. 
答案
解：
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，CD=8，
∴ 根据垂径定理，$DE=\frac{1}{2}CD=4$。
在Rt△ODE中，OD=5，DE=4，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OD^2 - DE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
又∵ OB是⊙O的半径，OB=OD=5，
∴ BE=OB - OE=5 - 3=2。
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，CD=8，
∴ 根据垂径定理，$DE=\frac{1}{2}CD=4$。
在Rt△ODE中，OD=5，DE=4，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OD^2 - DE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
又∵ OB是⊙O的半径，OB=OD=5，
∴ BE=OB - OE=5 - 3=2。
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，首先想到运用垂径定理得到弦CD的一半长度；其次OD是圆的半径，在Rt△ODE中，已知斜边OD和直角边DE的长度，可通过勾股定理求出OE的长度；最后BE为半径OB与OE的差，OB与OD同为圆的半径长度相等，代入数值即可算出BE的长。
【解析】
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，CD=8，
∴ 根据垂径定理，$DE=\frac{1}{2}CD=4$。
在Rt△ODE中，OD=5，DE=4，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OD^2 - DE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
又
∵ OB是⊙O的半径，OB=OD=5，
∴ BE=OB - OE=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题型，核心考查垂径定理的应用，需熟练掌握半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形模型，结合勾股定理求解对应线段长度，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，首先想到运用垂径定理得到弦CD的一半长度；其次OD是圆的半径，在Rt△ODE中，已知斜边OD和直角边DE的长度，可通过勾股定理求出OE的长度；最后BE为半径OB与OE的差，OB与OD同为圆的半径长度相等，代入数值即可算出BE的长。
【解析】
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，CD=8，
∴ 根据垂径定理，$DE=\frac{1}{2}CD=4$。
在Rt△ODE中，OD=5，DE=4，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OD^2 - DE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
又
∵ OB是⊙O的半径，OB=OD=5，
∴ BE=OB - OE=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题型，核心考查垂径定理的应用，需熟练掌握半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形模型，结合勾股定理求解对应线段长度，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
10.如图,矩形ABCD与⊙O相交于M,N,F,E四点,若AM=2,DE=1,EF=8,求MN的长.
答案
解：
过点O作OG⊥CD于点G，
∵ 四边形ABCD是矩形，AB//CD，
∴ OG⊥AB，设垂足为H。
由垂径定理，得 $EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $DG=DE+EG=1+4=5$。
∵ 四边形ADGH是矩形，
∴ $AH=DG=5$。
∵ $AM=2$，
∴ $MH=AH-AM=5-2=3$。
又∵ $OH⊥MN$，由垂径定理得 $MH=HN$，
∴ $MN=2MH=6$。
答：MN的长为6。
过点O作OG⊥CD于点G，
∵ 四边形ABCD是矩形，AB//CD，
∴ OG⊥AB，设垂足为H。
由垂径定理，得 $EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $DG=DE+EG=1+4=5$。
∵ 四边形ADGH是矩形，
∴ $AH=DG=5$。
∵ $AM=2$，
∴ $MH=AH-AM=5-2=3$。
又∵ $OH⊥MN$，由垂径定理得 $MH=HN$，
∴ $MN=2MH=6$。
答：MN的长为6。
解析
【分析】
要求弦MN的长度，结合圆的相关性质，首先想到运用垂径定理求解，需要先构造出垂直于MN的线段。已知矩形ABCD中AB//CD，因此过圆心O作垂直于CD的直线，该直线也会垂直于AB，这样就可以同时对弦EF、弦MN应用垂径定理，再结合矩形对边相等的性质逐步转化线段长度，即可求出MN的长。
【解析】
过点O作OG⊥CD于点G，
∵ 四边形ABCD是矩形，AB//CD，
∴ OG⊥AB，设垂足为H。
由垂径定理，得 $EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $DG=DE+EG=1+4=5$。
∵ 四边形ADGH是矩形，
∴ $AH=DG=5$。
∵ $AM=2$，
∴ $MH=AH-AM=5-2=3$。
又
∵ $OH⊥MN$，由垂径定理得 $MH=HN$，
∴ $MN=2MH=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 垂径定理 2. 矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的基础综合题，解题的关键是合理作出垂直于弦的辅助线，结合垂径定理和矩形的性质转化线段长度，能较好地考查学生对基础定理的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
要求弦MN的长度，结合圆的相关性质，首先想到运用垂径定理求解，需要先构造出垂直于MN的线段。已知矩形ABCD中AB//CD，因此过圆心O作垂直于CD的直线，该直线也会垂直于AB，这样就可以同时对弦EF、弦MN应用垂径定理，再结合矩形对边相等的性质逐步转化线段长度，即可求出MN的长。
【解析】
过点O作OG⊥CD于点G，
∵ 四边形ABCD是矩形，AB//CD，
∴ OG⊥AB，设垂足为H。
由垂径定理，得 $EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $DG=DE+EG=1+4=5$。
∵ 四边形ADGH是矩形，
∴ $AH=DG=5$。
∵ $AM=2$，
∴ $MH=AH-AM=5-2=3$。
又
∵ $OH⊥MN$，由垂径定理得 $MH=HN$，
∴ $MN=2MH=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 垂径定理 2. 矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的基础综合题，解题的关键是合理作出垂直于弦的辅助线，结合垂径定理和矩形的性质转化线段长度，能较好地考查学生对基础定理的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
11.如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB的宽度为8 m，拱高CD（$\overset{\frown}{AB}$的中点到水面的距离）为2 m，可知CD所在的直线经过$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心。
(1)求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径；
(2)若水面下降1 m，求此时水面的宽度（结果保留根号）。
(1)求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径；
(2)若水面下降1 m，求此时水面的宽度（结果保留根号）。
答案
解：
(1) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径为$r$，连接$OA$。
由题意可知$CD ⊥ AB$，且$CD$经过圆心$O$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{m}$，
$OC = OD - CD = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AC^2 + OC^2$，
即$r^2 = 4^2 + (r-2)^2$，
展开得$r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4$，
解得$r=5$。
$\therefore \overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 设水面下降$1\ \mathrm{m}$后对应的弦为$EF$，$EF ⊥ DC$于点$G$。
由题意得$CG=1\ \mathrm{m}$，
$\because OC = OD - CD = 5 - 2 = 3\ \mathrm{m}$，
$\therefore OG = OC - CG = 3 - 1 = 2\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，$OE=r=5\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$EG = \sqrt{OE^2 - OG^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}\ \mathrm{m}$，
由垂径定理得$EF = 2EG = 2\sqrt{21}\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 此时水面的宽度为$2\sqrt{21}\ \mathrm{m}$。
(1) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径为$r$，连接$OA$。
由题意可知$CD ⊥ AB$，且$CD$经过圆心$O$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{m}$，
$OC = OD - CD = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AC^2 + OC^2$，
即$r^2 = 4^2 + (r-2)^2$，
展开得$r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4$，
解得$r=5$。
$\therefore \overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 设水面下降$1\ \mathrm{m}$后对应的弦为$EF$，$EF ⊥ DC$于点$G$。
由题意得$CG=1\ \mathrm{m}$，
$\because OC = OD - CD = 5 - 2 = 3\ \mathrm{m}$，
$\therefore OG = OC - CG = 3 - 1 = 2\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，$OE=r=5\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$EG = \sqrt{OE^2 - OG^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}\ \mathrm{m}$，
由垂径定理得$EF = 2EG = 2\sqrt{21}\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 此时水面的宽度为$2\sqrt{21}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是圆的实际应用问题，解题核心是运用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解：
(1) 求圆弧半径时，根据已知CD过圆心且垂直AB，由垂径定理可得AB被CD平分，得到半弦长$AC=4\ \mathrm{m}$；设半径为$r$，则弦心距$OC=r-2$，连接半径$OA$后$△OAC$为直角三角形，利用勾股定理列方程即可求出半径。
(2) 水面下降1m后得到新的水面弦$EF$，先计算新的弦心距$OG$，再在$\mathrm{Rt}△OEG$中用勾股定理算出半弦长$EG$，最后根据垂径定理，水面宽度为2倍的$EG$。
【解析】
(1) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径为$r$，连接$OA$。
由题意可知$CD ⊥ AB$，且$CD$经过圆心$O$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{m}$，
$OC = OD - CD = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AC^2 + OC^2$，
即$r^2 = 4^2 + (r-2)^2$，
展开得$r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4$，
解得$r=5$。
(2) 设水面下降$1\ \mathrm{m}$后对应的弦为$EF$，$EF ⊥ DC$于点$G$。
由题意得$CG=1\ \mathrm{m}$，
$\because OC = OD - CD = 5 - 2 = 3\ \mathrm{m}$，
$\therefore OG = OC - CG = 3 - 1 = 2\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，$OE=r=5\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$EG = \sqrt{OE^2 - OG^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}\ \mathrm{m}$，
由垂径定理得$EF = 2EG = 2\sqrt{21}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为$5\ \mathrm{m}$；
(2) 此时水面的宽度为$2\sqrt{21}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的实际应用
【点评】
本题以石桥拱为背景考查圆的相关计算，解题关键是将实际问题转化为数学模型，利用垂径定理把弦长、半径、弦心距整合到直角三角形中，结合方程思想求解，是圆章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.65
本题是圆的实际应用问题，解题核心是运用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解：
(1) 求圆弧半径时，根据已知CD过圆心且垂直AB，由垂径定理可得AB被CD平分，得到半弦长$AC=4\ \mathrm{m}$；设半径为$r$，则弦心距$OC=r-2$，连接半径$OA$后$△OAC$为直角三角形，利用勾股定理列方程即可求出半径。
(2) 水面下降1m后得到新的水面弦$EF$，先计算新的弦心距$OG$，再在$\mathrm{Rt}△OEG$中用勾股定理算出半弦长$EG$，最后根据垂径定理，水面宽度为2倍的$EG$。
【解析】
(1) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径为$r$，连接$OA$。
由题意可知$CD ⊥ AB$，且$CD$经过圆心$O$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{m}$，
$OC = OD - CD = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AC^2 + OC^2$，
即$r^2 = 4^2 + (r-2)^2$，
展开得$r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4$，
解得$r=5$。
(2) 设水面下降$1\ \mathrm{m}$后对应的弦为$EF$，$EF ⊥ DC$于点$G$。
由题意得$CG=1\ \mathrm{m}$，
$\because OC = OD - CD = 5 - 2 = 3\ \mathrm{m}$，
$\therefore OG = OC - CG = 3 - 1 = 2\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，$OE=r=5\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$EG = \sqrt{OE^2 - OG^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}\ \mathrm{m}$，
由垂径定理得$EF = 2EG = 2\sqrt{21}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为$5\ \mathrm{m}$；
(2) 此时水面的宽度为$2\sqrt{21}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的实际应用
【点评】
本题以石桥拱为背景考查圆的相关计算，解题关键是将实际问题转化为数学模型，利用垂径定理把弦长、半径、弦心距整合到直角三角形中，结合方程思想求解，是圆章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.65
12.如图,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC=6时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(1)当BC=6时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
答案
解：
(1) 连接OC，
∵ OD⊥BC，由垂径定理得D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 3$，
∵ 扇形半径为5，∴ $OB = 5$，
在$Rt△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，
$OD = \sqrt{OB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
(2) 存在长度保持不变的边，该边为DE。
连接AB，
∵ $∠ AOB=90°$，$OA=OB=5$，
∴ 在$Rt△ AOB$中，$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$。
∵ $OE⊥ AC$，由垂径定理得E是AC的中点，
又∵ D是BC的中点，
∴ DE是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即DE的长度保持不变，为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
(1) 连接OC，
∵ OD⊥BC，由垂径定理得D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 3$，
∵ 扇形半径为5，∴ $OB = 5$，
在$Rt△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，
$OD = \sqrt{OB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
(2) 存在长度保持不变的边，该边为DE。
连接AB，
∵ $∠ AOB=90°$，$OA=OB=5$，
∴ 在$Rt△ AOB$中，$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$。
∵ $OE⊥ AC$，由垂径定理得E是AC的中点，
又∵ D是BC的中点，
∴ DE是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即DE的长度保持不变，为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，已知OD⊥BC，可利用垂径定理得到D为BC的中点，先求出BD的长度，再结合扇形半径OB=5，在Rt△ODB中运用勾股定理即可计算OD的长。
(2) 分析第二问时，由OE⊥AC同理可利用垂径定理得到E为AC的中点，D、E分别是BC、AC的中点，可联想到三角形中位线定理，连接AB后DE是△ABC的中位线，而AB是定长的弦，因此DE长度不变，先计算AB的长度，再根据中位线性质即可求出DE的定值。
【解析】
(1) 连接OC，
∵ OD⊥BC，由垂径定理得D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 3$，
∵ 扇形半径为5，
∴ $OB = 5$，
在$Rt△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，
$OD = \sqrt{OB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
(2) 存在长度保持不变的边，该边为DE。
连接AB，
∵ $∠ AOB=90°$，$OA=OB=5$，
∴ 在$Rt△ AOB$中，$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$。
∵ $OE⊥ AC$，由垂径定理得E是AC的中点，
又
∵ D是BC的中点，
∴ DE是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即DE的长度保持不变，为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $OD=4$；
(2) 存在长度不变的边，为$DE$，长度为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质与三角形相关定理的应用，解题的关键是灵活运用垂径定理得到线段中点，再结合中位线性质判断动态图形中的定值，需要熟练掌握各定理的应用条件，学会构造合适的辅助线解决问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，已知OD⊥BC，可利用垂径定理得到D为BC的中点，先求出BD的长度，再结合扇形半径OB=5，在Rt△ODB中运用勾股定理即可计算OD的长。
(2) 分析第二问时，由OE⊥AC同理可利用垂径定理得到E为AC的中点，D、E分别是BC、AC的中点，可联想到三角形中位线定理，连接AB后DE是△ABC的中位线，而AB是定长的弦，因此DE长度不变，先计算AB的长度，再根据中位线性质即可求出DE的定值。
【解析】
(1) 连接OC，
∵ OD⊥BC，由垂径定理得D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 3$，
∵ 扇形半径为5，
∴ $OB = 5$，
在$Rt△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，
$OD = \sqrt{OB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
(2) 存在长度保持不变的边，该边为DE。
连接AB，
∵ $∠ AOB=90°$，$OA=OB=5$，
∴ 在$Rt△ AOB$中，$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$。
∵ $OE⊥ AC$，由垂径定理得E是AC的中点，
又
∵ D是BC的中点，
∴ DE是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即DE的长度保持不变，为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $OD=4$；
(2) 存在长度不变的边，为$DE$，长度为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质与三角形相关定理的应用，解题的关键是灵活运用垂径定理得到线段中点，再结合中位线性质判断动态图形中的定值，需要熟练掌握各定理的应用条件，学会构造合适的辅助线解决问题。
【难度系数】
0.7
