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如何解方程：$ax^2+bx+c=0(a≠0)$？
答案
解析
【分析】
我们可以利用已经学过的配方法推导一元二次方程的通用求解公式：首先将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程左边转化为完全平方式，右边合并为常数项，再根据平方根的意义讨论右边常数的符号，进而得到方程的解的情况及求根公式。
【解析】
已知$a≠0$，对方程$ax^2+bx+c=0$按以下步骤推导：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，
左边化为完全平方式：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=(x+\frac{b}{2a})^2$，
右边合并常数项：$-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，
此时方程变为：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 开方讨论：
当$b^2-4ac＞0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$，根据平方根的意义，得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，移项得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，此时方程有两个不相等的实数根；
当$b^2-4ac=0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$，开方得$x+\frac{b}{2a}=0$，即$x=-\frac{b}{2a}$，此时方程有两个相等的实数根；
当$b^2-4ac＜0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，负数没有实数平方根，此时方程没有实数根。
综上，当$b^2-4ac≥0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根可由公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$直接求得，该公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解方程的方法叫做公式法。
【答案】
当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程的实数根为$\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$（$\Delta＞0$时两个不相等的实数根，$\Delta=0$时两个相等的实数根）；当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程公式法的核心推导过程，掌握配方法的操作步骤是推导求根公式的基础，解题时要注意判别式的取值对根的存在性及根的数量的影响，熟练记忆求根公式可以快速求解任意一元二次方程。
【难度系数】
0.7
我们可以利用已经学过的配方法推导一元二次方程的通用求解公式：首先将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程左边转化为完全平方式，右边合并为常数项，再根据平方根的意义讨论右边常数的符号，进而得到方程的解的情况及求根公式。
【解析】
已知$a≠0$，对方程$ax^2+bx+c=0$按以下步骤推导：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，
左边化为完全平方式：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=(x+\frac{b}{2a})^2$，
右边合并常数项：$-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，
此时方程变为：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 开方讨论：
当$b^2-4ac＞0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$，根据平方根的意义，得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，移项得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，此时方程有两个不相等的实数根；
当$b^2-4ac=0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$，开方得$x+\frac{b}{2a}=0$，即$x=-\frac{b}{2a}$，此时方程有两个相等的实数根；
当$b^2-4ac＜0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$，负数没有实数平方根，此时方程没有实数根。
综上，当$b^2-4ac≥0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根可由公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$直接求得，该公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解方程的方法叫做公式法。
【答案】
当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程的实数根为$\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$（$\Delta＞0$时两个不相等的实数根，$\Delta=0$时两个相等的实数根）；当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程公式法的核心推导过程，掌握配方法的操作步骤是推导求根公式的基础，解题时要注意判别式的取值对根的存在性及根的数量的影响，熟练记忆求根公式可以快速求解任意一元二次方程。
【难度系数】
0.7
例 解下列方程：
（1）$2x^2 - x - 1 = 0$；
（2）$x^2 + 1.5 = -3x$。
（1）$2x^2 - x - 1 = 0$；
（2）$x^2 + 1.5 = -3x$。
答案
(1) $\because a=2,b=-1,c=-1,b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=9＞0,\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}.\therefore x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$
(2) 移项,得$x^2+3x+1.5=0.\because a=1,b=3,c=1.5,b^2-4ac=3^2-4×1×1.5=3＞0,\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}.\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$
(2) 移项,得$x^2+3x+1.5=0.\because a=1,b=3,c=1.5,b^2-4ac=3^2-4×1×1.5=3＞0,\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}.\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
这两道是一元二次方程求解的基础题，采用公式法求解即可，解题思路如下：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第(2)小题需要先移项得到一般形式；②确定对应系数$a、b、c$的值，注意要保留系数本身的符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；④若存在实根，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最终得到方程的两个根。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - x - 1 = 0$已是一般形式：
$\because a=2,b=-1,c=-1$，
$b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=9＞0$，
$\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，
即$x_1=\frac{1+3}{4}=1$，$x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$。
(2) 先移项整理为一般形式：$x^2+3x+1.5=0$
$\because a=1,b=3,c=1.5$，
$b^2-4ac=3^2-4×1×1.5=3＞0$，
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程判别式、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法的解题步骤，解题时要注意必须先将方程化为一般形式再确定系数，计算判别式和求根时要格外注意系数的符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
这两道是一元二次方程求解的基础题，采用公式法求解即可，解题思路如下：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第(2)小题需要先移项得到一般形式；②确定对应系数$a、b、c$的值，注意要保留系数本身的符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；④若存在实根，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最终得到方程的两个根。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - x - 1 = 0$已是一般形式：
$\because a=2,b=-1,c=-1$，
$b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=9＞0$，
$\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，
即$x_1=\frac{1+3}{4}=1$，$x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$。
(2) 先移项整理为一般形式：$x^2+3x+1.5=0$
$\because a=1,b=3,c=1.5$，
$b^2-4ac=3^2-4×1×1.5=3＞0$，
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程判别式、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法的解题步骤，解题时要注意必须先将方程化为一般形式再确定系数，计算判别式和求根时要格外注意系数的符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
1. 解下列方程：
(1) $x^2 - 3x + 2 = 0$；
(2) $x^2 + x - 6 = 0$；
(3) $y^2 - 2y - 3 = 0$；
(4) $x^2 + 3x = 4$。
(1) $x^2 - 3x + 2 = 0$；
(2) $x^2 + x - 6 = 0$；
(3) $y^2 - 2y - 3 = 0$；
(4) $x^2 + 3x = 4$。
答案
1. (1) $x_1=2,x_2=1$ (2) $x_1=2,x_2=-3$ (3) $y_1=3,y_2=-1$ (4) $x_1=1,x_2=-4$
解析
【分析】
这四个均为二次项系数为1的一元二次方程，可采用公式法求解，解题思路如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程是否有实根；③若$\Delta ≥ 0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的根，也可使用十字相乘法因式分解快速求解。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x + 2 = 0$为一般形式，其中$a=1,b=-3,c=2$
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×2 = 1＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{3\pm1}{2}$
解得$x_1=2$，$x_2=1$
(2) 方程$x^2 + x - 6 = 0$为一般形式，其中$a=1,b=1,c=-6$
判别式$\Delta = 1^2 -4×1×(-6)=25＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}$
解得$x_1=2$，$x_2=-3$
(3) 方程$y^2 - 2y - 3 = 0$为一般形式，其中$a=1,b=-2,c=-3$
判别式$\Delta = (-2)^2 -4×1×(-3)=16＞0$
代入求根公式得：$y=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}$
解得$y_1=3$，$y_2=-1$
(4) 先移项整理为一般形式：$x^2 + 3x -4 = 0$，其中$a=1,b=3,c=-4$
判别式$\Delta = 3^2 -4×1×(-4)=25＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}$
解得$x_1=1$，$x_2=-4$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=1$ (2) $x_1=2,x_2=-3$ (3) $y_1=3,y_2=-1$ (4) $x_1=1,x_2=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程判别式
3. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础练习题，核心考查公式法解一元二次方程的步骤，熟练掌握一般式化简、判别式计算、求根公式代入的流程即可快速解题，也可结合因式分解法提升解题速度。
【难度系数】
0.9
这四个均为二次项系数为1的一元二次方程，可采用公式法求解，解题思路如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程是否有实根；③若$\Delta ≥ 0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的根，也可使用十字相乘法因式分解快速求解。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x + 2 = 0$为一般形式，其中$a=1,b=-3,c=2$
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×2 = 1＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{3\pm1}{2}$
解得$x_1=2$，$x_2=1$
(2) 方程$x^2 + x - 6 = 0$为一般形式，其中$a=1,b=1,c=-6$
判别式$\Delta = 1^2 -4×1×(-6)=25＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}$
解得$x_1=2$，$x_2=-3$
(3) 方程$y^2 - 2y - 3 = 0$为一般形式，其中$a=1,b=-2,c=-3$
判别式$\Delta = (-2)^2 -4×1×(-3)=16＞0$
代入求根公式得：$y=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}$
解得$y_1=3$，$y_2=-1$
(4) 先移项整理为一般形式：$x^2 + 3x -4 = 0$，其中$a=1,b=3,c=-4$
判别式$\Delta = 3^2 -4×1×(-4)=25＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}$
解得$x_1=1$，$x_2=-4$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=1$ (2) $x_1=2,x_2=-3$ (3) $y_1=3,y_2=-1$ (4) $x_1=1,x_2=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程判别式
3. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础练习题，核心考查公式法解一元二次方程的步骤，熟练掌握一般式化简、判别式计算、求根公式代入的流程即可快速解题，也可结合因式分解法提升解题速度。
【难度系数】
0.9
2. 解下列方程：
(1) $x^2 + 9x + 20 = 0$；
(2) $x^2 + 5x + 5 = 0$；
(3) $x^2 - 4x = 2$；
(4) $4x^2 - 6x = 0$。
(1) $x^2 + 9x + 20 = 0$；
(2) $x^2 + 5x + 5 = 0$；
(3) $x^2 - 4x = 2$；
(4) $4x^2 - 6x = 0$。
答案
2. (1) $x_1=-4,x_2=-5$ (2) $x_1=\frac{-5+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$ (3) $x_1=2+\sqrt{6},x_2=2-\sqrt{6}$ (4) $x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程可根据方程的特征灵活选择因式分解法、配方法、公式法等简便方法：①若方程左边易分解为两个一次因式乘积、右边为0，优先选因式分解法；②若方程不易因式分解，可选用公式法，步骤为：先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定a、b、c的值，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$即可求得根。各小题解法思路如下：
(1)左边二次三项式可直接十字相乘因式分解，用因式分解法求解；
(2)左边不易因式分解，用公式法求解；
(3)先移项化为一般式，再用公式法求解；
(4)左边有公因式可提取，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 9x + 20 = 0$因式分解，得：
$(x+4)(x+5)=0$
∴$x+4=0$ 或 $x+5=0$
解得$x_1=-4$，$x_2=-5$
(2) 对$x^2 + 5x + 5 = 0$，可知$a=1$，$b=5$，$c=5$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 5^2 - 4×1×5=25-20=5＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2×1}$
∴$x_1=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$
(3) 先将$x^2 - 4x = 2$移项化为一般式：$x^2 - 4x -2=0$
可知$a=1$，$b=-4$，$c=-2$
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 -4×1×(-2)=16+8=24＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{2}=2\pm\sqrt{6}$
∴$x_1=2+\sqrt{6}$，$x_2=2-\sqrt{6}$
(4) 对$4x^2 - 6x = 0$提取公因式，得：
$2x(2x-3)=0$
∴$2x=0$ 或 $2x-3=0$
解得$x_1=0$，$x_2=\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-4,x_2=-5$ (2) $x_1=\frac{-5+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$ (3) $x_1=2+\sqrt{6},x_2=2-\sqrt{6}$ (4) $x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法解方程；公式法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时要根据方程的结构特征灵活选择简便解法，使用公式法时需先将方程化为一般形式，准确计算判别式和求根结果，避免符号、计算类错误。
【难度系数】
0.85
解一元二次方程可根据方程的特征灵活选择因式分解法、配方法、公式法等简便方法：①若方程左边易分解为两个一次因式乘积、右边为0，优先选因式分解法；②若方程不易因式分解，可选用公式法，步骤为：先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定a、b、c的值，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$即可求得根。各小题解法思路如下：
(1)左边二次三项式可直接十字相乘因式分解，用因式分解法求解；
(2)左边不易因式分解，用公式法求解；
(3)先移项化为一般式，再用公式法求解；
(4)左边有公因式可提取，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 9x + 20 = 0$因式分解，得：
$(x+4)(x+5)=0$
∴$x+4=0$ 或 $x+5=0$
解得$x_1=-4$，$x_2=-5$
(2) 对$x^2 + 5x + 5 = 0$，可知$a=1$，$b=5$，$c=5$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 5^2 - 4×1×5=25-20=5＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2×1}$
∴$x_1=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$
(3) 先将$x^2 - 4x = 2$移项化为一般式：$x^2 - 4x -2=0$
可知$a=1$，$b=-4$，$c=-2$
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 -4×1×(-2)=16+8=24＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{2}=2\pm\sqrt{6}$
∴$x_1=2+\sqrt{6}$，$x_2=2-\sqrt{6}$
(4) 对$4x^2 - 6x = 0$提取公因式，得：
$2x(2x-3)=0$
∴$2x=0$ 或 $2x-3=0$
解得$x_1=0$，$x_2=\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-4,x_2=-5$ (2) $x_1=\frac{-5+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$ (3) $x_1=2+\sqrt{6},x_2=2-\sqrt{6}$ (4) $x_1=0,x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法解方程；公式法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时要根据方程的结构特征灵活选择简便解法，使用公式法时需先将方程化为一般形式，准确计算判别式和求根结果，避免符号、计算类错误。
【难度系数】
0.85
