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3. 解下列方程：
(1) $3x^2 + 5x + 1 = 0$；
(2) $2x^2 - 3x - 1 = 0$；
(3) $2y^2 - y - \frac{1}{2} = 0$；
(4) $(x - 2)(3x - 5) = 1$；
(5) $x(2x - 4) = 5 - 8x$；
(6) $x^2 + 4x + 8 = 4x + 11$。
(1) $3x^2 + 5x + 1 = 0$；
(2) $2x^2 - 3x - 1 = 0$；
(3) $2y^2 - y - \frac{1}{2} = 0$；
(4) $(x - 2)(3x - 5) = 1$；
(5) $x(2x - 4) = 5 - 8x$；
(6) $x^2 + 4x + 8 = 4x + 11$。
答案
3. (1) $x_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$ (2) $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$ (3) $y_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},y_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$ (4) $x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$ (5) $x_1=\frac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{14}}{2}$ (6) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
解析
【分析】
这组题目我们用公式法求解一元二次方程，解题思路统一：第一步，先将所有方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中第(4)(5)(6)题需要先去括号、移项合并同类项得到一般形式，再准确识别系数$a、b、c$；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$无实数根；第三步，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简后得到方程的根即可。
【解析】
(1) 方程$3x^2 + 5x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=3,b=5,c=1$
判别式$\Delta=5^2-4×3×1=25-12=13＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
即$x_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$
(2) 方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$为一般形式，其中$a=2,b=-3,c=-1$
判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$
即$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(3) 方程$2y^2 - y - \frac{1}{2} = 0$为一般形式，其中$a=2,b=-1,c=-\frac{1}{2}$
判别式$\Delta=(-1)^2-4×2×(-\frac{1}{2})=1+4=5＞0$
代入求根公式得：$y=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
即$y_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},y_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
(4) 先整理方程：去括号得$3x^2-5x-6x+10=1$，移项合并同类项得$3x^2-11x+9=0$，其中$a=3,b=-11,c=9$
判别式$\Delta=(-11)^2-4×3×9=121-108=13＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$
即$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$
(5) 先整理方程：去括号得$2x^2-4x=5-8x$，移项合并同类项得$2x^2+4x-5=0$，其中$a=2,b=4,c=-5$
判别式$\Delta=4^2-4×2×(-5)=16+40=56＞0$，$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{14}$
代入求根公式得：$x=\frac{-4\pm2\sqrt{14}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{14}}{2}$
即$x_1=\frac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{14}}{2}$
(6) 先整理方程：移项合并同类项得$x^2-3=0$，其中$a=1,b=0,c=-3$
判别式$\Delta=0^2-4×1×(-3)=12＞0$，$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3}$
代入求根公式得：$x=\frac{0\pm2\sqrt{3}}{2×1}=\pm\sqrt{3}$
即$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(3) $y_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},y_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
(4) $x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$
(5) $x_1=\frac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{14}}{2}$
(6) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程公式法的基础训练题，核心是熟练掌握公式法的固定解题步骤，解题时需注意准确识别系数的符号，计算判别式和化简根时要细心，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
这组题目我们用公式法求解一元二次方程，解题思路统一：第一步，先将所有方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中第(4)(5)(6)题需要先去括号、移项合并同类项得到一般形式，再准确识别系数$a、b、c$；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$无实数根；第三步，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简后得到方程的根即可。
【解析】
(1) 方程$3x^2 + 5x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=3,b=5,c=1$
判别式$\Delta=5^2-4×3×1=25-12=13＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
即$x_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$
(2) 方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$为一般形式，其中$a=2,b=-3,c=-1$
判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$
即$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(3) 方程$2y^2 - y - \frac{1}{2} = 0$为一般形式，其中$a=2,b=-1,c=-\frac{1}{2}$
判别式$\Delta=(-1)^2-4×2×(-\frac{1}{2})=1+4=5＞0$
代入求根公式得：$y=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
即$y_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},y_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
(4) 先整理方程：去括号得$3x^2-5x-6x+10=1$，移项合并同类项得$3x^2-11x+9=0$，其中$a=3,b=-11,c=9$
判别式$\Delta=(-11)^2-4×3×9=121-108=13＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$
即$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$
(5) 先整理方程：去括号得$2x^2-4x=5-8x$，移项合并同类项得$2x^2+4x-5=0$，其中$a=2,b=4,c=-5$
判别式$\Delta=4^2-4×2×(-5)=16+40=56＞0$，$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{14}$
代入求根公式得：$x=\frac{-4\pm2\sqrt{14}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{14}}{2}$
即$x_1=\frac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{14}}{2}$
(6) 先整理方程：移项合并同类项得$x^2-3=0$，其中$a=1,b=0,c=-3$
判别式$\Delta=0^2-4×1×(-3)=12＞0$，$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3}$
代入求根公式得：$x=\frac{0\pm2\sqrt{3}}{2×1}=\pm\sqrt{3}$
即$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(3) $y_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},y_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
(4) $x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$
(5) $x_1=\frac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{14}}{2}$
(6) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程公式法的基础训练题，核心是熟练掌握公式法的固定解题步骤，解题时需注意准确识别系数的符号，计算判别式和化简根时要细心，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 阅读解方程$x^4 -4x^2 -5=0$的方法：
用类似的方法解方程$x+1 -4\sqrt{x+1}=5$。
用类似的方法解方程$x+1 -4\sqrt{x+1}=5$。
答案
4. $x=24$
解析
【分析】观察方程结构，发现$x+1$是$\sqrt{x+1}$的平方，因此可采用换元法简化方程：先设$\sqrt{x+1}=y$（$y≥0$），将原方程转化为关于$y$的一元二次方程，求解$y$后再回代求$x$，注意需根据二次根式的非负性舍去不符合要求的$y$值，最后检验所得$x$是否为原方程的解。
【解析】
解：设$\sqrt{x+1}=y$，其中$y≥0$，则$x+1=y^2$，
原方程可变形为：$y^2 -4y =5$，
整理得$y^2 -4y -5 =0$，
因式分解得$(y-5)(y+1)=0$，
解得$y_1=5$，$y_2=-1$。
∵ $y=\sqrt{x+1}≥0$，
∴ $y=-1$不符合题意，舍去。
当$y=5$时，$\sqrt{x+1}=5$，
两边平方得$x+1=25$，解得$x=24$。
检验：将$x=24$代入原方程，左边$=24+1 -4\sqrt{24+1}=25-20=5=$右边，故$x=24$是原方程的解。
【答案】
$x=24$
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程的解法；二次根式的非负性
【点评】
本题考查换元法解无理方程，核心思路是通过换元将陌生的无理方程转化为已学的一元二次方程求解，解题时要注意换元后新变量的取值范围，舍去不合要求的解，最后建议代入原方程检验避免出现增根。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：设$\sqrt{x+1}=y$，其中$y≥0$，则$x+1=y^2$，
原方程可变形为：$y^2 -4y =5$，
整理得$y^2 -4y -5 =0$，
因式分解得$(y-5)(y+1)=0$，
解得$y_1=5$，$y_2=-1$。
∵ $y=\sqrt{x+1}≥0$，
∴ $y=-1$不符合题意，舍去。
当$y=5$时，$\sqrt{x+1}=5$，
两边平方得$x+1=25$，解得$x=24$。
检验：将$x=24$代入原方程，左边$=24+1 -4\sqrt{24+1}=25-20=5=$右边，故$x=24$是原方程的解。
【答案】
$x=24$
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程的解法；二次根式的非负性
【点评】
本题考查换元法解无理方程，核心思路是通过换元将陌生的无理方程转化为已学的一元二次方程求解，解题时要注意换元后新变量的取值范围，舍去不合要求的解，最后建议代入原方程检验避免出现增根。
【难度系数】
0.7
5. 用公式法解关于$x$的方程$x^2 -2ax -a^2=0(a＞0).$
答案
5. $x_1=(1-\sqrt{2})a,x_2=(1+\sqrt{2})a$
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的核心步骤为：先将方程整理为一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项（注意本题中参数为a，确定系数时需与参数区分，避免混淆）；再计算判别式Δ，判断方程根的情况；最后代入求根公式化简计算，结合题目给出的a＞0的条件化简根式，即可得到方程的解。
【解析】
解：方程已为一元二次方程的一般形式，为避免与参数a混淆，记二次项系数A=1，一次项系数B=-2a，常数项C=-a²。
第一步，计算判别式：
$\Delta=B^2-4AC=(-2a)^2 - 4×1×(-a^2)=4a^2 + 4a^2=8a^2$
$\because a＞0$，$\therefore \Delta=8a^2＞0$，方程有两个不相等的实数根。
第二步，代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$：
$x=\frac{-(-2a)\pm\sqrt{8a^2}}{2×1}=\frac{2a\pm2\sqrt{2}a}{2}=a\pm\sqrt{2}a$
第三步，整理结果：
$x_1=a-\sqrt{2}a=(1-\sqrt{2})a$，$x_2=a+\sqrt{2}a=(1+\sqrt{2})a$
【答案】
$x_1=(1-\sqrt{2})a,x_2=(1+\sqrt{2})a$
【知识点】
公式法解一元二次方程、根的判别式、二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础应用，解题时要注意区分方程系数和题目给出的参数，避免出现符号混淆的错误，计算判别式和代入求根公式时需细心，注意参数的取值范围可辅助根式的化简。
【难度系数】
0.7
使用公式法解一元二次方程的核心步骤为：先将方程整理为一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项（注意本题中参数为a，确定系数时需与参数区分，避免混淆）；再计算判别式Δ，判断方程根的情况；最后代入求根公式化简计算，结合题目给出的a＞0的条件化简根式，即可得到方程的解。
【解析】
解：方程已为一元二次方程的一般形式，为避免与参数a混淆，记二次项系数A=1，一次项系数B=-2a，常数项C=-a²。
第一步，计算判别式：
$\Delta=B^2-4AC=(-2a)^2 - 4×1×(-a^2)=4a^2 + 4a^2=8a^2$
$\because a＞0$，$\therefore \Delta=8a^2＞0$，方程有两个不相等的实数根。
第二步，代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$：
$x=\frac{-(-2a)\pm\sqrt{8a^2}}{2×1}=\frac{2a\pm2\sqrt{2}a}{2}=a\pm\sqrt{2}a$
第三步，整理结果：
$x_1=a-\sqrt{2}a=(1-\sqrt{2})a$，$x_2=a+\sqrt{2}a=(1+\sqrt{2})a$
【答案】
$x_1=(1-\sqrt{2})a,x_2=(1+\sqrt{2})a$
【知识点】
公式法解一元二次方程、根的判别式、二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础应用，解题时要注意区分方程系数和题目给出的参数，避免出现符号混淆的错误，计算判别式和代入求根公式时需细心，注意参数的取值范围可辅助根式的化简。
【难度系数】
0.7
