2. 解下列方程：
(1) $x^2 - 36 = 0$;
(2) $(x + 1)^2 - 25 = 0$.

(1) $x_1=6,x_2=-6$
(2) $x_1=-6,x_2=4$

【分析】
这两道一元二次方程均符合“两个代数式的平方差等于0”的结构特征，解题时可先利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$将方程左侧因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根，用因式分解法解该类方程步骤更简便。
【解析】
(1) 对$x^2 - 36 = 0$求解：
将方程左侧用平方差公式因式分解，得：
$(x-6)(x+6)=0$
可得$x-6=0$或$x+6=0$
分别解得：$x_1=6$，$x_2=-6$
(2) 对$(x + 1)^2 - 25 = 0$求解：
将方程左侧用平方差公式因式分解，得：
$(x+1-5)(x+1+5)=0$
整理得：$(x-4)(x+6)=0$
可得$x-4=0$或$x+6=0$
分别解得：$x_1=4$，$x_2=-6$
【答案】
(1) $x_1=6,x_2=-6$
(2) $x_1=-6,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力和因式分解法解方程的应用能力，熟练掌握因式分解的常用公式是快速求解该类方程的核心。
【难度系数】
0.9

3. 解下列方程：
(1) $(3x - 4)^2 = 2x(3x - 4)$；
(2) $(3x + 2)^2 - 4x^2 = 0$；
(3) $(t + 1)(2t + 4) = 4$；
(4) $3(x + 4)^2 = x^2 - 16$。

(1) $x_1=\frac{4}{3},x_2=4$
(2) $x_1=-2,x_2=-\frac{2}{5}$
(3) $t_1=0, t_2=-3$
(4) $x_1=-4,x_2=-8$

【分析】
这几道一元二次方程均适合用因式分解法求解，核心思路是将方程变形为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若ab=0则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。解题时注意：(1)(4)题不可直接约去两边含未知数的公因式，避免漏根；(2)题可直接用平方差公式分解；(3)题先整理为一般形式再分解因式即可。
【解析】
(1) 移项得：$(3x-4)^2 - 2x(3x-4) = 0$
提取公因式$(3x-4)$得：$(3x-4)(3x-4-2x) = 0$
化简得：$(3x-4)(x-4) = 0$
即$3x-4=0$或$x-4=0$，解得对应根。
(2) 利用平方差公式分解得：$[(3x+2)+2x][(3x+2)-2x] = 0$
化简得：$(5x+2)(x+2) = 0$
即$5x+2=0$或$x+2=0$，解得对应根。
(3) 展开并整理方程：$2t^2+6t+4=4$，化简得$2t^2+6t=0$
提取公因式$2t$得：$2t(t+3)=0$
即$2t=0$或$t+3=0$，解得对应根。
(4) 先将右边因式分解：$x^2-16=(x+4)(x-4)$，移项得：
$3(x+4)^2 - (x+4)(x-4) = 0$
提取公因式$(x+4)$得：$(x+4)[3(x+4)-(x-4)] = 0$
化简得：$(x+4)(2x+16) = 0$
即$x+4=0$或$2x+16=0$，解得对应根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{4}{3},x_2=4$
(2) $x_1=-2,x_2=-\frac{2}{5}$
(3) $t_1=0, t_2=-3$
(4) $x_1=-4,x_2=-8$
【知识点】
因式分解法解方程，平方差公式，提公因式法
【点评】
这组题目重点考察因式分解法解一元二次方程的灵活运用，熟练掌握提公因式、公式法分解因式是解题关键，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.7

4. 已知$y_1=x^2-9$，$y_2=3-x$，当$x$为何值时$y_1=y_2$？

$x_1=3,x_2=-4$

【分析】
要解决“x取何值时$y_1=y_2$”的问题，首先根据两个函数值相等的条件，将两个函数表达式联立得到方程，再把方程整理为一元二次方程的一般形式，结合本节所学的因式分解法求解方程，得到的根就是所求的x的值。
【解析】
解：由题意得$y_1=y_2$，即：
$x^2 - 9 = 3 - x$
移项，将所有项移到方程左边，整理得：
$x^2 + x - 12 = 0$
对左边的二次三项式用十字相乘法因式分解：
$(x + 4)(x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x + 4 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解这两个一元一次方程，得：
$x_1=-4$，$x_2=3$
【答案】
$x_1=3,x_2=-4$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
3. 等量关系列方程
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是将函数值相等的条件转化为方程求解，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤能快速得到结果，是对一元二次方程解法的基础考查。
【难度系数】
0.8

5. 用因式分解法解下列方程：
(1) $x^2 - 3x + 2 = 0$；
(2) $x^2 - 2x - 3 = 0$。

(1) $x_1=1,x_2=2$
(2) $x_1=-1,x_2=3$

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将二次方程降次为两个一次方程求解。针对本题中二次项系数为1的二次三项式，可采用十字相乘法分解：对于$x^2+bx+c$，找到两个数$m$、$n$，满足$m× n=c$，$m+n=b$，即可分解为$(x+m)(x+n)$。本题(1)中需找乘积为2、和为-3的两个数；(2)中需找乘积为-3、和为-2的两个数，分解后分别令两个因式为0求解即可。
【解析】
(1) 对$x^2 - 3x + 2 = 0$用十字相乘法因式分解：
常数项2可分解为$(-1)×(-2)$，且$-1+(-2)=-3$，符合一次项系数，因此方程可变形为：
$(x-1)(x-2)=0$
根据乘积为0的性质，得：
$x-1=0$ 或 $x-2=0$
分别解得$x_1=1$，$x_2=2$。
(2) 对$x^2 - 2x - 3 = 0$用十字相乘法因式分解：
常数项-3可分解为$1×(-3)$，且$1+(-3)=-2$，符合一次项系数，因此方程可变形为：
$(x+1)(x-3)=0$
根据乘积为0的性质，得：
$x+1=0$ 或 $x-3=0$
分别解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=2$
(2) $x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
因式分解法解方程，十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解法降次思路的理解和十字相乘法的运用，熟练掌握二次三项式的因式分解是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

6. 用因式分解法解方程：$x^2 + 2ax - 3a^2 = 0$（$a$为常数）.

$x_1=-3a,x_2=a$

【分析】
要使用因式分解法解一元二次方程，首先需将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积。观察方程左边$x^2+2ax-3a^2$，可采用十字相乘法分解：需找到两个代数式，乘积为常数项$-3a^2$，相加的和为一次项系数$2a$，易知这两个代数式为$3a$和$-a$，分解后令每个因式等于0，分别求解一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
对原方程左边的二次三项式进行十字相乘法因式分解：
$x^2 + 2ax - 3a^2 = (x + 3a)(x - a)$
因此原方程可化为：
$(x + 3a)(x - a) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x + 3a = 0$ 或 $x - a = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x + 3a = 0$时，$x_1 = -3a$；
当$x - a = 0$时，$x_2 = a$。
【答案】
$x_1=-3a,x_2=a$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查用因式分解法解含参数的一元二次方程，解题的关键是熟练掌握十字相乘法分解二次三项式，解题时将参数当作已知常数处理即可。
【难度系数】
0.8