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1. 计算$-2x^2 + 3x^2$的结果为 （
A.$-5x^2$
B.$5x^2$
C.$-x^2$
D.$x^2$
D
）A.$-5x^2$
B.$5x^2$
C.$-x^2$
D.$x^2$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查整式加减中的合并同类项运算，解题思路如下：第一步先判断两个项是否为同类项，观察发现$-2x^2$和$3x^2$所含字母都是x，且x的指数都是2，符合同类项的定义，可以合并；第二步根据合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，计算系数的和即可得到结果。
【解析】
解：首先判断$-2x^2$与$3x^2$是同类项，根据合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
可得：
$-2x^2 + 3x^2 = (-2+3)x^2 = 1· x^2 = x^2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查合并同类项的运算规则，熟练掌握同类项的判定以及合并法则是解题的关键，计算时注意不要弄错系数的符号。
【难度系数】
0.9
这道题考查整式加减中的合并同类项运算，解题思路如下：第一步先判断两个项是否为同类项，观察发现$-2x^2$和$3x^2$所含字母都是x，且x的指数都是2，符合同类项的定义，可以合并；第二步根据合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，计算系数的和即可得到结果。
【解析】
解：首先判断$-2x^2$与$3x^2$是同类项，根据合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
可得：
$-2x^2 + 3x^2 = (-2+3)x^2 = 1· x^2 = x^2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查合并同类项的运算规则，熟练掌握同类项的判定以及合并法则是解题的关键，计算时注意不要弄错系数的符号。
【难度系数】
0.9
2. 若多项式$x^2 - 2kx - x + 7$化简后不含$x$的一次项，则$k$的值为 （
A.0
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
D
）A.0
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确“多项式化简后不含x的一次项”的含义：即合并同类项后，x的一次项的系数为0。解题时第一步先将多项式中的同类项合并，提取出x一次项的系数表达式，再令该系数等于0，解关于k的一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
首先对多项式$x^2 - 2kx - x + 7$合并同类项：
将含$x$的一次项合并，可得：
$x^2 + (-2k - 1)x + 7$
因为化简后不含$x$的一次项，所以$x$的一次项系数为0，即：
$-2k - 1 = 0$
解这个方程：
移项得：$-2k = 1$
两边同时除以$-2$得：$k = -\frac{1}{2}$
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减部分的基础常考题，核心考查不含某项类问题的解法，解题关键是理解不含某一项即该项的系数为0，掌握该规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确“多项式化简后不含x的一次项”的含义：即合并同类项后，x的一次项的系数为0。解题时第一步先将多项式中的同类项合并，提取出x一次项的系数表达式，再令该系数等于0，解关于k的一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
首先对多项式$x^2 - 2kx - x + 7$合并同类项：
将含$x$的一次项合并，可得：
$x^2 + (-2k - 1)x + 7$
因为化简后不含$x$的一次项，所以$x$的一次项系数为0，即：
$-2k - 1 = 0$
解这个方程：
移项得：$-2k = 1$
两边同时除以$-2$得：$k = -\frac{1}{2}$
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减部分的基础常考题，核心考查不含某项类问题的解法，解题关键是理解不含某一项即该项的系数为0，掌握该规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 若将$(x-y)$看成一个因式,则合并$(x-y)^2 - 3(x-y) - 4(x-y)^2 + 5(x-y)$的结果是
（
A.$2(x-y)^2 - 3(x-y)$
B.$2(x-y) - 3(x-y)^2$
C.$(x-y) - 3(x-y)^2$
D.$2(x-y)^2 - (x-y)$
（
B
）A.$2(x-y)^2 - 3(x-y)$
B.$2(x-y) - 3(x-y)^2$
C.$(x-y) - 3(x-y)^2$
D.$2(x-y)^2 - (x-y)$
答案
B
解析
【分析】
本题可采用整体思想解题，步骤如下：首先，按照题目要求将$(x-y)$看作一个整体，等同于我们学过的单个字母；其次，识别同类项：所含整体因式相同、且整体因式的次数也相同的项为同类项，本题中含$(x-y)^2$的项是一类，含$(x-y)$的项是另一类；最后，根据合并同类项法则，同类项的系数相加，整体因式及其次数保持不变，计算得到结果后对应选项即可。
【解析】
解：把$(x-y)$看作一个整体，对原式合并同类项：
$\begin{aligned}&(x-y)^2 - 3(x-y) - 4(x-y)^2 + 5(x-y)\\=&[(x-y)^2 - 4(x-y)^2] + [-3(x-y) + 5(x-y)]\\=&(1-4)(x-y)^2 + (-3+5)(x-y)\\=&-3(x-y)^2 + 2(x-y)\\=&2(x-y) - 3(x-y)^2\end{aligned}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；整体思想
【点评】
本题是整式加减的基础考法，重点考查整体思想的应用和合并同类项的基本规则，解题时注意合并系数时不要算错符号，牢记合并同类项仅系数参与运算、整体因式及其次数保持不变即可。
【难度系数】
0.8
本题可采用整体思想解题，步骤如下：首先，按照题目要求将$(x-y)$看作一个整体，等同于我们学过的单个字母；其次，识别同类项：所含整体因式相同、且整体因式的次数也相同的项为同类项，本题中含$(x-y)^2$的项是一类，含$(x-y)$的项是另一类；最后，根据合并同类项法则，同类项的系数相加，整体因式及其次数保持不变，计算得到结果后对应选项即可。
【解析】
解：把$(x-y)$看作一个整体，对原式合并同类项：
$\begin{aligned}&(x-y)^2 - 3(x-y) - 4(x-y)^2 + 5(x-y)\\=&[(x-y)^2 - 4(x-y)^2] + [-3(x-y) + 5(x-y)]\\=&(1-4)(x-y)^2 + (-3+5)(x-y)\\=&-3(x-y)^2 + 2(x-y)\\=&2(x-y) - 3(x-y)^2\end{aligned}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；整体思想
【点评】
本题是整式加减的基础考法，重点考查整体思想的应用和合并同类项的基本规则，解题时注意合并系数时不要算错符号，牢记合并同类项仅系数参与运算、整体因式及其次数保持不变即可。
【难度系数】
0.8
4. 有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，则可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4.依次继续下去，第2024次输出的结果是（
A.8
B.4
C.2
D.1
D
）A.8
B.4
C.2
D.1
答案
D
解析
【分析】
解决本题首先要按照数值转换器的运算规则，依次计算出前几次的输出结果，观察结果的变化特征，找到循环规律与循环周期，再通过计算判断第2024次输出结果对应的循环位置，即可得到答案。
【解析】
根据数值转换器的规则，依次计算输出结果：
第1次输出：x=5是奇数，$3×5+1=16$；
第2次输出：16是偶数，$\frac{1}{2}×16=8$；
第3次输出：8是偶数，$\frac{1}{2}×8=4$；
第4次输出：4是偶数，$\frac{1}{2}×4=2$；
第5次输出：2是偶数，$\frac{1}{2}×2=1$；
第6次输出：1是奇数，$3×1+1=4$；
第7次输出：4是偶数，$\frac{1}{2}×4=2$；
第8次输出：2是偶数，$\frac{1}{2}×2=1$；
……
观察可得：从第3次开始，输出结果按照4、2、1的顺序循环，循环周期为3。
先去掉前2次不参与循环的结果：$2024-2=2022$，
$2022÷3=674$，没有余数，说明第2024次的输出结果是循环节的最后一个数，即1。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；规律型：数字的变化类
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的关键是先根据运算规则计算出前几次的结果，准确找到循环周期，计算时注意区分不参与循环的前几次输出，避免出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要按照数值转换器的运算规则，依次计算出前几次的输出结果，观察结果的变化特征，找到循环规律与循环周期，再通过计算判断第2024次输出结果对应的循环位置，即可得到答案。
【解析】
根据数值转换器的规则，依次计算输出结果：
第1次输出：x=5是奇数，$3×5+1=16$；
第2次输出：16是偶数，$\frac{1}{2}×16=8$；
第3次输出：8是偶数，$\frac{1}{2}×8=4$；
第4次输出：4是偶数，$\frac{1}{2}×4=2$；
第5次输出：2是偶数，$\frac{1}{2}×2=1$；
第6次输出：1是奇数，$3×1+1=4$；
第7次输出：4是偶数，$\frac{1}{2}×4=2$；
第8次输出：2是偶数，$\frac{1}{2}×2=1$；
……
观察可得：从第3次开始，输出结果按照4、2、1的顺序循环，循环周期为3。
先去掉前2次不参与循环的结果：$2024-2=2022$，
$2022÷3=674$，没有余数，说明第2024次的输出结果是循环节的最后一个数，即1。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；规律型：数字的变化类
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的关键是先根据运算规则计算出前几次的结果，准确找到循环周期，计算时注意区分不参与循环的前几次输出，避免出错。
【难度系数】
0.7
5. 已知$a+b=2$，求多项式$\frac{1}{4}(a+b)^2 -9(a+b)-\frac{1}{2}(a+b)^2 +5(a+b)$的值.
答案
原式$=-\frac{1}{4}(a+b)^2-4(a+b)$,当$a+b=2$时,原式$=-9$.
解析
【分析】
观察多项式可知，所有项都含有因式$(a+b)$，因此可以将$(a+b)$看作一个整体，先通过合并同类项对多项式进行化简，再代入已知的$a+b=2$计算结果，无需单独求出$a$、$b$的取值，计算更简便。
【解析】
解：首先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&\frac{1}{4}(a+b)^2 -9(a+b)-\frac{1}{2}(a+b)^2 +5(a+b)\\=&(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})(a+b)^2 + (-9+5)(a+b)\\=&-\frac{1}{4}(a+b)^2 -4(a+b)\end{aligned}$
将$a+b=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\frac{1}{4}×2^2 -4×2\\&=-\frac{1}{4}×4 -8\\&=-1 -8\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
$-9$
【知识点】
合并同类项，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的加减化简求值，运用整体思想将相同的代数式看作一个整体合并同类项，能大幅简化计算过程，是整式求值类题目常用的解题技巧。
【难度系数】
0.85
观察多项式可知，所有项都含有因式$(a+b)$，因此可以将$(a+b)$看作一个整体，先通过合并同类项对多项式进行化简，再代入已知的$a+b=2$计算结果，无需单独求出$a$、$b$的取值，计算更简便。
【解析】
解：首先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&\frac{1}{4}(a+b)^2 -9(a+b)-\frac{1}{2}(a+b)^2 +5(a+b)\\=&(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})(a+b)^2 + (-9+5)(a+b)\\=&-\frac{1}{4}(a+b)^2 -4(a+b)\end{aligned}$
将$a+b=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\frac{1}{4}×2^2 -4×2\\&=-\frac{1}{4}×4 -8\\&=-1 -8\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
$-9$
【知识点】
合并同类项，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的加减化简求值，运用整体思想将相同的代数式看作一个整体合并同类项，能大幅简化计算过程，是整式求值类题目常用的解题技巧。
【难度系数】
0.85
6. (1) 如果 $5a^x y^2$ 和 $-\frac{2}{3}a^3 y^b$ 可合并，求代数式 $-\frac{1}{3}x^3 + 2b^2 - x - \frac{1}{2}b - 4$ 的值；
(2) 如果 $(x+1)^2 + |y-2| = 0$，求代数式 $5xy - \frac{3}{2}x^3 y^2 - 4yx + \frac{1}{2}y^2 x^3 - \frac{1}{2}xy + 3x^3 y^2 - y^2 x^3$ 的值。
(2) 如果 $(x+1)^2 + |y-2| = 0$，求代数式 $5xy - \frac{3}{2}x^3 y^2 - 4yx + \frac{1}{2}y^2 x^3 - \frac{1}{2}xy + 3x^3 y^2 - y^2 x^3$ 的值。
答案
(1) 由题意,得$x=3,b=2$,原式$=-9$.
(2) 由题意,得$x=-1,y=2$,原式$=x^3 y^2 +\frac{1}{2}xy=-5$.
(2) 由题意,得$x=-1,y=2$,原式$=x^3 y^2 +\frac{1}{2}xy=-5$.
解析
【分析】
(1) 两个单项式可合并说明二者是同类项，根据同类项“相同字母的指数对应相等”的性质，先求出x和b的值，再代入代数式计算即可。
(2) 平方和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此先求出x、y的值；再先合并代数式中的同类项简化式子，最后代入数值计算，比直接代入更简便，也能减少计算错误。
【解析】
(1) 解：$\because 5a^x y^2$和$-\frac{2}{3}a^3 y^b$可合并，$\therefore$二者是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：$x=3$，$b=2$
将$x=3$，$b=2$代入$-\frac{1}{3}x^3 + 2b^2 - x - \frac{1}{2}b - 4$：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{1}{3}×3^3 + 2×2^2 - 3 - \frac{1}{2}×2 - 4\\&=-\frac{1}{3}×27 + 2×4 - 3 -1 -4\\&=-9 + 8 - 3 -1 -4\\&=-9\end{aligned}$
(2) 解：$\because (x+1)^2≥0$，$|y-2|≥0$，且$(x+1)^2 + |y-2| = 0$
$\therefore \begin{cases}x+1=0\\y-2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$
先合并同类项化简代数式：
$\begin{aligned}&5xy - \frac{3}{2}x^3 y^2 - 4yx + \frac{1}{2}y^2 x^3 - \frac{1}{2}xy + 3x^3 y^2 - y^2 x^3\\=&(-\frac{3}{2}x^3y^2 + \frac{1}{2}x^3y^2 + 3x^3y^2 - x^3y^2) + (5xy - 4xy - \frac{1}{2}xy)\\=&x^3y^2 + \frac{1}{2}xy\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^3×2^2 + \frac{1}{2}×(-1)×2\\&=-1×4 -1\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$
(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
同类项的定义，非负数的性质，整式化简求值
【点评】
这两道题是整式加减章节的常规基础题型，解题的关键是先根据已知条件求出未知数的取值，合并同类项后再代入计算可简化运算，有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.8
(1) 两个单项式可合并说明二者是同类项，根据同类项“相同字母的指数对应相等”的性质，先求出x和b的值，再代入代数式计算即可。
(2) 平方和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此先求出x、y的值；再先合并代数式中的同类项简化式子，最后代入数值计算，比直接代入更简便，也能减少计算错误。
【解析】
(1) 解：$\because 5a^x y^2$和$-\frac{2}{3}a^3 y^b$可合并，$\therefore$二者是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：$x=3$，$b=2$
将$x=3$，$b=2$代入$-\frac{1}{3}x^3 + 2b^2 - x - \frac{1}{2}b - 4$：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{1}{3}×3^3 + 2×2^2 - 3 - \frac{1}{2}×2 - 4\\&=-\frac{1}{3}×27 + 2×4 - 3 -1 -4\\&=-9 + 8 - 3 -1 -4\\&=-9\end{aligned}$
(2) 解：$\because (x+1)^2≥0$，$|y-2|≥0$，且$(x+1)^2 + |y-2| = 0$
$\therefore \begin{cases}x+1=0\\y-2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$
先合并同类项化简代数式：
$\begin{aligned}&5xy - \frac{3}{2}x^3 y^2 - 4yx + \frac{1}{2}y^2 x^3 - \frac{1}{2}xy + 3x^3 y^2 - y^2 x^3\\=&(-\frac{3}{2}x^3y^2 + \frac{1}{2}x^3y^2 + 3x^3y^2 - x^3y^2) + (5xy - 4xy - \frac{1}{2}xy)\\=&x^3y^2 + \frac{1}{2}xy\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^3×2^2 + \frac{1}{2}×(-1)×2\\&=-1×4 -1\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$
(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
同类项的定义，非负数的性质，整式化简求值
【点评】
这两道题是整式加减章节的常规基础题型，解题的关键是先根据已知条件求出未知数的取值，合并同类项后再代入计算可简化运算，有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.8
