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7. 已知多项式$ A=3x^2 - x + 1 $，多项式$ B=2x^2 - kx^2 + x - 2 $。
（1）当$ x=-1 $时，求多项式A的值；
（2）小华认为无论k取何值，多项式$ A+B $的值都无法确定。小明认为k可以找到适当的数，使多项式$ A+B $的值是常数。你认为谁的说法正确？请说明理由。
（1）当$ x=-1 $时，求多项式A的值；
（2）小华认为无论k取何值，多项式$ A+B $的值都无法确定。小明认为k可以找到适当的数，使多项式$ A+B $的值是常数。你认为谁的说法正确？请说明理由。
答案
(1) 多项式$A=3×(-1)^2 -(-1)+1=3×1+1+1=5$.
(2) 小明的说法正确.理由如下:多项式$A+B=3x^2 -x +1 +2x^2 -kx^2 +x -2=(5-k)x^2 -1$,当$5-k=0$,即$k=5$时,$A+B=-1$,所以当$k=5$时,使多项式$A+B$的值是常数.
(2) 小明的说法正确.理由如下:多项式$A+B=3x^2 -x +1 +2x^2 -kx^2 +x -2=(5-k)x^2 -1$,当$5-k=0$,即$k=5$时,$A+B=-1$,所以当$k=5$时,使多项式$A+B$的值是常数.
解析
【分析】
（1）求指定x值下多项式A的值，只需将x=-1直接代入A的表达式，按照有理数运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可。
（2）判断两人说法是否正确，首先要先计算A+B的结果，通过合并同类项化简整式，观察化简后含x的项的系数：若能找到k使得所有含x的项的系数为0，则A+B为常数，小明说法正确，否则小华说法正确。
【解析】
（1）把x=-1代入$A=3x^2 - x + 1$中：
$\begin{aligned}A&=3×(-1)^2 -(-1)+1\\&=3×1 +1 +1\\&=5\end{aligned}$
（2）小明的说法正确，理由如下：
先计算A+B的和：
$\begin{aligned}A+B&=(3x^2 - x + 1)+(2x^2 - kx^2 + x - 2)\\&=3x^2 -x +1 +2x^2 -kx^2 +x -2\end{aligned}$
合并同类项：
x²项合并得：$3x^2+2x^2 -kx^2=(5-k)x^2$
x项合并得：$-x+x=0$
常数项合并得：$1-2=-1$
因此$A+B=(5-k)x^2 -1$
当$5-k=0$即$k=5$时，$A+B=-1$，是固定常数，所以小明的说法正确。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) 小明的说法正确，当$k=5$时，多项式$A+B$的值为常数$-1$。
【知识点】
代数式求值、整式的加减、合并同类项
【点评】
本题考查整式加减的应用和代数式求值能力，解题关键是熟练掌握合并同类项的法则，明确整式的值为常数的条件是所有含字母的项的系数均为0。
【难度系数】
0.8
（1）求指定x值下多项式A的值，只需将x=-1直接代入A的表达式，按照有理数运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可。
（2）判断两人说法是否正确，首先要先计算A+B的结果，通过合并同类项化简整式，观察化简后含x的项的系数：若能找到k使得所有含x的项的系数为0，则A+B为常数，小明说法正确，否则小华说法正确。
【解析】
（1）把x=-1代入$A=3x^2 - x + 1$中：
$\begin{aligned}A&=3×(-1)^2 -(-1)+1\\&=3×1 +1 +1\\&=5\end{aligned}$
（2）小明的说法正确，理由如下：
先计算A+B的和：
$\begin{aligned}A+B&=(3x^2 - x + 1)+(2x^2 - kx^2 + x - 2)\\&=3x^2 -x +1 +2x^2 -kx^2 +x -2\end{aligned}$
合并同类项：
x²项合并得：$3x^2+2x^2 -kx^2=(5-k)x^2$
x项合并得：$-x+x=0$
常数项合并得：$1-2=-1$
因此$A+B=(5-k)x^2 -1$
当$5-k=0$即$k=5$时，$A+B=-1$，是固定常数，所以小明的说法正确。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) 小明的说法正确，当$k=5$时，多项式$A+B$的值为常数$-1$。
【知识点】
代数式求值、整式的加减、合并同类项
【点评】
本题考查整式加减的应用和代数式求值能力，解题关键是熟练掌握合并同类项的法则，明确整式的值为常数的条件是所有含字母的项的系数均为0。
【难度系数】
0.8
8. 如图，用三种大小不同的5个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，其中EF=7 cm，最小的正方形的边长为x cm.
(1) $FG=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$DG=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；(用含$x$的整式分别表示)
(2) 用含$x$的整式表示长方形$ABCD$的周长，当$x=3\ \mathrm{cm}$时，求长方形$ABCD$的周长.
(1) $FG=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$DG=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；(用含$x$的整式分别表示)
(2) 用含$x$的整式表示长方形$ABCD$的周长，当$x=3\ \mathrm{cm}$时，求长方形$ABCD$的周长.
答案
(1) $(x+7)$、$(3x-7)$
(2) 长方形$ABCD$的周长为$(16x+14)$ cm. 当$x=3$ cm时,长方形$ABCD$的周长为$16×3+14=62$(cm).
(2) 长方形$ABCD$的周长为$(16x+14)$ cm. 当$x=3$ cm时,长方形$ABCD$的周长为$16×3+14=62$(cm).
解析
【分析】
解决本题首先要梳理图形中各正方形的边长关系：已知最小正方形边长为x cm，左下角3个均为最小正方形，相邻较大正方形边长为3x cm。(1)求FG时，观察图形可知FG的长度为最小正方形边长与EF的长度和；求DG时，DG的长度为3个最小正方形的边长和减去EF的长度。(2)求长方形ABCD的周长，需先分别用含x的式子表示出长方形的长和宽，再代入长方形周长公式化简，最后将x=3代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1)
∵最小的正方形的边长为x cm，EF=7 cm，
观察图形可得：FG = 最小正方形边长 + EF = $(x + 7)$ cm；
又
∵左下角3个最小正方形的总边长为3x cm，
∴DG = 3个最小正方形的总边长 - EF = $(3x - 7)$ cm。
(2) 先求长方形ABCD的长和宽：
宽为垂直方向的边长：$AD = 3x + x = 4x$ cm，
长为水平方向的边长：$AB = 3x + (x + 7) = (4x + 7)$ cm，
根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，
可得周长=$2×(4x + 7 + 4x) = 2×(8x + 7) = (16x + 14)$ cm。
当$x=3\ \mathrm{cm}$时，代入得：
周长=$16×3 + 14 = 48 + 14 = 62$（cm）。
【答案】
(1) $(x+7)$，$(3x-7)$
(2) 长方形ABCD的周长为$(16x+14)\ \mathrm{cm}$，当$x=3\ \mathrm{cm}$时，周长为$62\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合拼接图形考查整式的实际应用，解题的核心是准确找到图形中各线段的数量关系，正确列出对应代数式，是整式章节的典型应用题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要梳理图形中各正方形的边长关系：已知最小正方形边长为x cm，左下角3个均为最小正方形，相邻较大正方形边长为3x cm。(1)求FG时，观察图形可知FG的长度为最小正方形边长与EF的长度和；求DG时，DG的长度为3个最小正方形的边长和减去EF的长度。(2)求长方形ABCD的周长，需先分别用含x的式子表示出长方形的长和宽，再代入长方形周长公式化简，最后将x=3代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1)
∵最小的正方形的边长为x cm，EF=7 cm，
观察图形可得：FG = 最小正方形边长 + EF = $(x + 7)$ cm；
又
∵左下角3个最小正方形的总边长为3x cm，
∴DG = 3个最小正方形的总边长 - EF = $(3x - 7)$ cm。
(2) 先求长方形ABCD的长和宽：
宽为垂直方向的边长：$AD = 3x + x = 4x$ cm，
长为水平方向的边长：$AB = 3x + (x + 7) = (4x + 7)$ cm，
根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，
可得周长=$2×(4x + 7 + 4x) = 2×(8x + 7) = (16x + 14)$ cm。
当$x=3\ \mathrm{cm}$时，代入得：
周长=$16×3 + 14 = 48 + 14 = 62$（cm）。
【答案】
(1) $(x+7)$，$(3x-7)$
(2) 长方形ABCD的周长为$(16x+14)\ \mathrm{cm}$，当$x=3\ \mathrm{cm}$时，周长为$62\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合拼接图形考查整式的实际应用，解题的核心是准确找到图形中各线段的数量关系，正确列出对应代数式，是整式章节的典型应用题。
【难度系数】
0.7
