1. Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,∠CAB=∠CBA=45°,D为BC的中点,连结AD,过点C作CE⊥AD于点E,CE的延长线交AB于点M,连结DM,
(1)求证:∠BDM=∠ADC;
(2)若AE=4,CE=2,求出CM的长.

1.(1)过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F,如图所示.
∵ BF ⊥ BC, CE ⊥ AD,
∴ ∠AEC= ∠CBF= ∠ACB= 90°,
∴ ∠CAD+∠ACE= ∠BCF+∠ACE= 90°,
∴ ∠CAD=∠BCF. 又
∵ AC = BC,
∴ △ACD ≌△CBF(ASA),
∴ ∠ADC = ∠F, CD = BF.
∵ D为BC的中点.
∴ CD = BD,
∴ BD = BF.
∵ ∠ACB = 90°,AC = BC,
∴ ∠ABC=45°.
∵ ∠CBF=90°,
∴ ∠FBM = 90°-45° = 45°,
∴ ∠DBM= ∠FBM.又
∵ BM = BM,
∴ △BDM≌△BFM(SAS),
∴ ∠BDM= ∠F,
∴ ∠BDM= ∠ADC.
(2)
∵ CE ⊥ AD, AE = 4, CE = 2,
∴ BC = AC = √(AE²+CE²) =√(4²+2²)=√20,由(1)得 BD = BF, CD = BD = 1/2 BC = √20/2,
△BDM ≌ △BFM,
∴ DM = FM, AD = √(AC²+CD²) =√((√20)²+(√20/2)²)=5,
∴ DE = AD - AE = 1.
∵ △ACD ≌△CBF,
∴ AD=CF=5,
∴ EF=CF-CE=5-2=3.设 DM = FM = x,则 EM=3-x,在Rt△DEM中,由勾股定理得 1²+(3-x)²=x²,解得 x=5/3,
∴ EM=3-5/3=4/3,
∴ CM=CE+EM=2+4/3=10/3.

2. （2026·哈尔滨期中）知识背景：
如图①，$△ ABC$是等边三角形，如果$BD=CE$，我们可以证出$△ ABD≌$，从而计算出$AD$与$BE$相交所成的锐角度数是.这个图形我们称之为“等边十字架”.
知识应用：
①如图②，过点$A$作$AP⊥ BE$于点$P$，在$BE$上取点$H$，连结$CH$，使$∠ ECH=∠ DBF$.证明$BH=2FP$.
②如图③，延长$CA$至点$M$，连结$MB$.在$AC$上截取$AP=EC$.延长$BC$至点$G$，点$P$恰好在$BG$的垂直平分线上.作射线$GE$分别交$AB$，$MB$于点$N$，$K$，若$K$为$MB$中点，$NK=1$，过点$E$作$ET⊥ BG$于点$T$，求$ET$的长.

2. 知识背景:△BCE 60° 解析:
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC.在△ABD 与
△BCE中,
$\begin{cases}AB=BC,\\∠ABD=∠BCE=60°,\\BD=CE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△BCE(SAS),
∴ ∠BAD=∠CBE.
∵ ∠ABC=∠ABE+∠CBE=60°,
∴ ∠ABE+∠BAD=60°.设AD,BE交于点G,
∵ ∠AGE是△ABG的外角,
∴ ∠AGE=∠ABG+∠BAG=60°,
∴ AD与BE相交所成的锐角度数是60°.故答案为△BCE;60°.
知识应用:
①由知识背景易得△ABD≌△BCE,
∴ ∠BAD = ∠CBE.
∵ ∠ECH=∠DBF,
∴ ∠ECH=∠BAD.
∵ ∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CBE=60°,∠ECH+∠BCH=60°,
∴ ∠ABF=∠BCH.在△ABF和△BCH中,
$\begin{cases}∠BAF=∠CBH,\\AB=BC,\\∠ABF=∠BCH,\end{cases}$
∴ △ABF≌△BCH(ASA),
∴ AF=BH.
∵ ∠AFP=∠BAF+∠ABF=60°,AP⊥BE,
∴ ∠FAP=30°,
∴ 在Rt△APF中,AF=2FP,
∴ BH=2FP.
②过点P作PH//BC交AB于点H,过点M作MW⊥GK的延长线于点W,连结PG,BP,如图.
∵ 点P恰好在BG的垂直平分线上,
∴ PB = PG,即 ∠PBG =∠PGB.
∵ PH//BC,
∴ ∠HPB = ∠PBG,∠PHB + ∠ABC = 180°,
∴ ∠HPB =∠PGB.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=60°,
∴ ∠PHB =∠PCG=120°.在△BPH 与△PGC 中,
$\begin{cases}∠HPB=∠PGB,\\∠PHB=∠PCG=120°,\\PB=GP,\end{cases}$
∴ △BPH≌△PGC(AAS),
∴ PH=CG.
∵ △ABC是等边三角形,PH//BC,易得△APH是等边三角形,
∴ AP=PH,
∴ PH=CG=AP=CE,
∴ ∠CGE=∠CEG=30°.
∵ ∠ABC=60°,
∴ ∠BNG=90°,即 GN⊥AB.
∵ MW ⊥ GK,即 ∠MWK=90°,
∴ ∠BNG =∠MWK=90°.
∵ 点K为MB中点,
∴ MK=BK.又
∵ ∠MKW =∠BKN. 在 △MWK 与 △BNK 中,
$\begin{cases}∠BNK=∠MWK=90°,\\∠MKW=∠BKN,\\MK=BK,\end{cases}$
∴ △MWK≌△BNK(AAS),
∴ MW=BN,WK=NK=1.
∵ ∠MEW=∠CEG=30°,
∴ ∠MEW=∠CGE,即 ∠MEW=∠BGN.
∵ MW = BN, ∠BNG = ∠MWK = 90°, 在 △MEW 与 △BGN中,
$\begin{cases}∠BNG=∠MWK=90°,\\∠MEW=∠BGN,\\MW=BN,\end{cases}$
∴ △MEW≌△BGN(AAS),
∴ EW=GN,
∴ GE=WN=2.在Rt△GET中,∠EGT=30°,
∴ ET=1/2 GE=1.