1. （2026·宜春期中）如图，等边$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点$D$，点$E,F$分别为$AB,BC$上的两个定点且$BE=CF=3$，$DE=2$，在$CD$上有一动点$M$使$ME+MF$最短，则$ME+MF$的最小值为 （）

A.4
B.5
C.6
D.7

1. D

2. 已知:如图,$△ ABC$中,$AB=AC=4$,$BC=4\sqrt{3}$,$∠ C=30°$,点$D$为$AC$边的中点,点$E$为$BC$边上一点,连结$AE$,$DE$,则$△ ADE$周长的最小值是.

2. $2\sqrt{3}+2$

3. 为了保护环境，新农村改造过程中需要修建污水处理厂，如图，A，B是位于直线小河MN同侧的两个村庄，A村距离小河MN的距离AC=6 km，B村距离小河MN的距离BD=1 km，经测量CD=24 km，现准备在小河边修建一个污水处理厂O.(不考虑河宽)
(1)设OC=a，请用含a的代数式表示OA+OB的长(保留根号)；
(2)为了节省材料，使得两村的排污管道最短，求最短的排污管长；
(3)根据(1)(2)的结果运用数形结合思想，求$\sqrt{a^2+36}+\sqrt{(15-a)^2+4}$的最小值.

3. (1)在$\mathrm{Rt}△AOC$和$\mathrm{Rt}△BOD$中,$OC=a$,$OD=24-a$,根据勾股定理得 $OA = \sqrt{AC^2+OC^2} = \sqrt{a^2+36}$, $OB = \sqrt{OD^2+BD^2} =\sqrt{(24-a)^2+1}$,$\therefore OA+OB= \sqrt{a^2+36}+ \sqrt{(24-a)^2+1}$.
(2)如图,作点$B$关于直线$MN$的对称点$B'$,连结$AB'$交$MN$于点$O$,作$B'E// CD$交$AC$的延长线于点$E$,此时,$OA+OB=OA+OB'$的长最短,点$O$即为污水处理厂的位置,根据勾股定理得 $AB' =\sqrt{AE^2+B'E^2} = \sqrt{7^2+24^2} =25$,$\therefore$ 最短的排污管长为 25 km.

(3)如图,假设 $BD=2$,$AC=6$,$CD=15$,设 $OC=a$,则 $OD=15-a$,根据勾股定理得 $AO+OB= \sqrt{a^2+36}+ \sqrt{(15-a)^2+4}$,当 $A,O,B'$三点共线时,$OA+OB$ 的值最小,即 $\sqrt{a^2+36}+ \sqrt{(15-a)^2+4}$的值最小,最小值为 $\sqrt{a^2+36}+ \sqrt{(15-a)^2+4} = \sqrt{(6+2)^2+15^2} =17$.