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9. 已知单项式 $ x^3 y^{m+1} $ 与单项式 $ \frac{1}{2} x^{n-1} y^2 $ 的和也是单项式。
(1) 求 $ m,n $ 的值；
(2) 当 $ x=1,y=2 $ 时，求 $ x^3 y^{m+1} + \frac{1}{2} x^{n-1} y^2 $ 的值。
(1) 求 $ m,n $ 的值；
(2) 当 $ x=1,y=2 $ 时，求 $ x^3 y^{m+1} + \frac{1}{2} x^{n-1} y^2 $ 的值。
答案
9. 解:(1)因为单项式$x^3 y^{m+1}$与单项式$\frac{1}{2}x^{n-1}y^2$的和也是单项式，
所以$x^3 y^{m+1}$与$\frac{1}{2}x^{n-1}y^2$是同类项，
所以$m+1=2,n-1=3$,
解得$m=1,n=4$。
(2)当$x=1,y=2$时，
$x^3 y^{m+1} +\frac{1}{2}x^{n-1}y^2 =(1+\frac{1}{2})x^3 y^2 =\frac{3}{2}x^3 y^2 =\frac{3}{2}×1^3 ×2^2 =\frac{3}{2}×1×4=6$。
所以$x^3 y^{m+1}$与$\frac{1}{2}x^{n-1}y^2$是同类项，
所以$m+1=2,n-1=3$,
解得$m=1,n=4$。
(2)当$x=1,y=2$时，
$x^3 y^{m+1} +\frac{1}{2}x^{n-1}y^2 =(1+\frac{1}{2})x^3 y^2 =\frac{3}{2}x^3 y^2 =\frac{3}{2}×1^3 ×2^2 =\frac{3}{2}×1×4=6$。
解析
【分析】
（1）首先明确“两个单项式的和仍是单项式”说明这两个单项式可以合并，即二者是同类项。根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，即可分别列出关于m、n的等式，求解即可得到m、n的值。
（2）先将第（1）问求出的m、n代入原式，先合并同类项对式子进行化简，再代入x、y的数值计算，可简化运算过程，降低计算出错概率。
【解析】
(1) 因为单项式$x^3 y^{m+1}$与单项式$\frac{1}{2} x^{n-1} y^2$的和也是单项式，所以两个单项式为同类项。
根据同类项“相同字母的指数相等”的性质，可得：
$m+1=2$，$n-1=3$
解得：$m=1$，$n=4$。
(2) 将$m=1$、$n=4$代入原式，可得：
$x^3 y^{m+1} + \frac{1}{2} x^{n-1} y^2 = x^3 y^2 + \frac{1}{2}x^3 y^2$
合并同类项得：
原式$=(1+\frac{1}{2})x^3 y^2 = \frac{3}{2}x^3 y^2$
再将$x=1$、$y=2$代入化简后的式子：
$\frac{3}{2}×1^3×2^2 = \frac{3}{2}×1×4 = 6$
【答案】
(1) $m=1$，$n=4$；(2) $6$
【知识点】
同类项的概念，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的基础题型，核心考查同类项的判定规则与合并同类项的运算方法，掌握同类项的定义是解题的突破口，计算时要注意指数运算和有理数运算的准确性。
【难度系数】
0.85
（1）首先明确“两个单项式的和仍是单项式”说明这两个单项式可以合并，即二者是同类项。根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，即可分别列出关于m、n的等式，求解即可得到m、n的值。
（2）先将第（1）问求出的m、n代入原式，先合并同类项对式子进行化简，再代入x、y的数值计算，可简化运算过程，降低计算出错概率。
【解析】
(1) 因为单项式$x^3 y^{m+1}$与单项式$\frac{1}{2} x^{n-1} y^2$的和也是单项式，所以两个单项式为同类项。
根据同类项“相同字母的指数相等”的性质，可得：
$m+1=2$，$n-1=3$
解得：$m=1$，$n=4$。
(2) 将$m=1$、$n=4$代入原式，可得：
$x^3 y^{m+1} + \frac{1}{2} x^{n-1} y^2 = x^3 y^2 + \frac{1}{2}x^3 y^2$
合并同类项得：
原式$=(1+\frac{1}{2})x^3 y^2 = \frac{3}{2}x^3 y^2$
再将$x=1$、$y=2$代入化简后的式子：
$\frac{3}{2}×1^3×2^2 = \frac{3}{2}×1×4 = 6$
【答案】
(1) $m=1$，$n=4$；(2) $6$
【知识点】
同类项的概念，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的基础题型，核心考查同类项的判定规则与合并同类项的运算方法，掌握同类项的定义是解题的突破口，计算时要注意指数运算和有理数运算的准确性。
【难度系数】
0.85
10. 有这样一道题:“当$ a=2025,b=-2030 $时,求多项式$ 7a^3 -6a^3b +3a^2b +3a^3 +6a^3b -3a^2b -10a^3 +2020 $的值。”
小明说:“本题中$ a=2025,b=-2030 $是多余的条件。”小强马上回应说:“这不可能,多项式中含有$ a $和$ b $,不给出$ a,b $的值怎么能求出多项式的值呢。”你同意哪位同学的观点?请说明理由。
小明说:“本题中$ a=2025,b=-2030 $是多余的条件。”小强马上回应说:“这不可能,多项式中含有$ a $和$ b $,不给出$ a,b $的值怎么能求出多项式的值呢。”你同意哪位同学的观点?请说明理由。
答案
10. 解:我同意小明的观点。
理由:$7a^3 -6a^3 b +3a^2 b +3a^3 +6a^3 b -3a^2 b -10a^3 +2020=(7+3-10)a^3 +(-6+6)a^3 b +(3-3)a^2 b +2020=2020$,
结果中不含$a,b$,所以原代数式的值与$a,b$的取值无关，
所以小明的观点正确。
理由:$7a^3 -6a^3 b +3a^2 b +3a^3 +6a^3 b -3a^2 b -10a^3 +2020=(7+3-10)a^3 +(-6+6)a^3 b +(3-3)a^2 b +2020=2020$,
结果中不含$a,b$,所以原代数式的值与$a,b$的取值无关，
所以小明的观点正确。
解析
【分析】
要判断哪位同学的观点正确，核心是对给定的多项式进行化简，观察化简结果是否含有字母a、b。解题思路为：首先找出多项式中的同类项，再根据合并同类项法则（同类项的系数相加，字母和字母的指数不变）合并同类项，若最终结果不含a、b，说明多项式的值与a、b的取值无关，即给出的a、b值是多余的，小明观点正确，反之则小强观点正确。
【解析】
解：我同意小明的观点，理由如下：
对多项式合并同类项：
$7a^3 -6a^3b +3a^2b +3a^3 +6a^3b -3a^2b -10a^3 +2020$
$=(7+3-10)a^3 +(-6+6)a^3b +(3-3)a^2b +2020$
$=0+0+0+2020$
$=2020$
化简后的结果为常数2020，不含字母a和b，说明原多项式的值与a、b的取值无关，因此题目中给出的$a=2025,b=-2030$是多余的条件，小明的观点正确。
【答案】
同意小明的观点，多项式化简后结果为2020，与a、b的取值无关，因此$a=2025,b=-2030$是多余条件。
【知识点】
合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题关键是熟练掌握合并同类项的法则，遇到代数式求值类问题时，先化简代数式再判断或计算，不要盲目代入数值，避免增加运算量。
【难度系数】
0.7
要判断哪位同学的观点正确，核心是对给定的多项式进行化简，观察化简结果是否含有字母a、b。解题思路为：首先找出多项式中的同类项，再根据合并同类项法则（同类项的系数相加，字母和字母的指数不变）合并同类项，若最终结果不含a、b，说明多项式的值与a、b的取值无关，即给出的a、b值是多余的，小明观点正确，反之则小强观点正确。
【解析】
解：我同意小明的观点，理由如下：
对多项式合并同类项：
$7a^3 -6a^3b +3a^2b +3a^3 +6a^3b -3a^2b -10a^3 +2020$
$=(7+3-10)a^3 +(-6+6)a^3b +(3-3)a^2b +2020$
$=0+0+0+2020$
$=2020$
化简后的结果为常数2020，不含字母a和b，说明原多项式的值与a、b的取值无关，因此题目中给出的$a=2025,b=-2030$是多余的条件，小明的观点正确。
【答案】
同意小明的观点，多项式化简后结果为2020，与a、b的取值无关，因此$a=2025,b=-2030$是多余条件。
【知识点】
合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题关键是熟练掌握合并同类项的法则，遇到代数式求值类问题时，先化简代数式再判断或计算，不要盲目代入数值，避免增加运算量。
【难度系数】
0.7
