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7. 已知点$(-2,a),(1,b),(3,c)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，则$a,b,c$的大小关系为
$a＜c＜b$
（请用“＜”连接）。答案
7. $a＜c＜b$
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用反比例函数的图象与性质判断函数值大小：第一步先根据$k＞0$确定反比例函数的图象所在象限，以及同一象限内的增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，判断各点所在的象限，明确第三象限的点纵坐标为负，第一象限的点纵坐标为正，可直接得出$a$是三个数里最小的；第三步利用同一象限内$y$随$x$的增大而减小的性质，比较第一象限内两个点的纵坐标大小，最终得出三者的大小关系。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴ 该函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ 点$(-2,a)$的横坐标$-2＜0$，
∴ 该点在第三象限，故$a＜0$。
∵ 点$(1,b)$、$(3,c)$的横坐标$1＞0$，$3＞0$，
∴ 这两个点都在第一象限，故$b＞0$，$c＞0$。
又
∵ 在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$1＜3$，
∴ $b＞c$。
综上可得：$a＜c＜b$。
【答案】
$a＜c＜b$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题时需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，先判断各点所在象限是解题的关键，避免直接用增减性跨象限比较导致错误。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是利用反比例函数的图象与性质判断函数值大小：第一步先根据$k＞0$确定反比例函数的图象所在象限，以及同一象限内的增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，判断各点所在的象限，明确第三象限的点纵坐标为负，第一象限的点纵坐标为正，可直接得出$a$是三个数里最小的；第三步利用同一象限内$y$随$x$的增大而减小的性质，比较第一象限内两个点的纵坐标大小，最终得出三者的大小关系。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴ 该函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ 点$(-2,a)$的横坐标$-2＜0$，
∴ 该点在第三象限，故$a＜0$。
∵ 点$(1,b)$、$(3,c)$的横坐标$1＞0$，$3＞0$，
∴ 这两个点都在第一象限，故$b＞0$，$c＞0$。
又
∵ 在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$1＜3$，
∴ $b＞c$。
综上可得：$a＜c＜b$。
【答案】
$a＜c＜b$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题时需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，先判断各点所在象限是解题的关键，避免直接用增减性跨象限比较导致错误。
【难度系数】
0.8
8. 若关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx -1=0$的一个实数根是$-1$，则$m$的值是
$-1$
.答案
8. $-1$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个实数根，求参数m的值，解题核心是利用一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们只需将x=-1代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的取值。
【解析】
解：
∵$x=-1$是一元二次方程$2x^2 - mx -1=0$的实数根，
∴将$x=-1$代入方程，等式成立，即：
$2×(-1)^2 - m×(-1) -1 = 0$
计算得：$2×1 + m -1 = 0$
化简得：$1 + m = 0$
解得：$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，考察对方程根的定义的理解与应用，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一性质即可顺利求解，是方程类问题的常考基础考点。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的一个实数根，求参数m的值，解题核心是利用一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们只需将x=-1代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的取值。
【解析】
解：
∵$x=-1$是一元二次方程$2x^2 - mx -1=0$的实数根，
∴将$x=-1$代入方程，等式成立，即：
$2×(-1)^2 - m×(-1) -1 = 0$
计算得：$2×1 + m -1 = 0$
化简得：$1 + m = 0$
解得：$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，考察对方程根的定义的理解与应用，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一性质即可顺利求解，是方程类问题的常考基础考点。
【难度系数】
0.9
9. 如图，点A在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，点B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上，且$AB// x$轴，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积是
$2$
。答案
9. $2$
解析
【分析】
解题时可先回忆反比例函数系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积等于|k|。观察图形可知四边形ABCD是矩形，可通过两种思路求解：一是设出点A的坐标，根据AB平行x轴得到点B的坐标，再用矩形面积公式计算，计算过程中未知数会自动消去；二是直接利用k的几何意义，用点B对应的x轴垂线形成的矩形面积减去点A对应的x轴垂线形成的矩形面积，快速得到结果。
【解析】
方法1：利用反比例函数k的几何意义求解
∵点A在双曲线$y=\frac{1}{x}$上，AD⊥x轴，
∴过点A作x轴、y轴垂线所得矩形面积为$|k_1|=1$，即$OD· AD=1$。
∵点B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上，BC⊥x轴，
同理可得$OC· BC=3$。
∵AB//x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴四边形ABCD是矩形，且$AD=BC$，
∴$S_{矩形ABCD}=OC· BC - OD· AD=3-1=2$。
方法2：设坐标计算
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，
∵点A在$y=\frac{1}{x}$上，
∴$A(a,\frac{1}{a})$。
∵AB//x轴，
∴点B的纵坐标为$\frac{1}{a}$，
将$y=\frac{1}{a}$代入$y=\frac{3}{x}$，得$x=3a$，即$B(3a,\frac{1}{a})$。
∴$AB=3a - a=2a$，$AD=\frac{1}{a}$，
∴$S_{矩形ABCD}=AB· AD=2a·\frac{1}{a}=2$。
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的面积计算
【点评】
本题考查反比例函数相关性质的应用，利用k的几何意义求解可大幅简化计算过程，熟练掌握反比例函数的基本性质是解决此类题型的基础。
【难度系数】
0.7
解题时可先回忆反比例函数系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积等于|k|。观察图形可知四边形ABCD是矩形，可通过两种思路求解：一是设出点A的坐标，根据AB平行x轴得到点B的坐标，再用矩形面积公式计算，计算过程中未知数会自动消去；二是直接利用k的几何意义，用点B对应的x轴垂线形成的矩形面积减去点A对应的x轴垂线形成的矩形面积，快速得到结果。
【解析】
方法1：利用反比例函数k的几何意义求解
∵点A在双曲线$y=\frac{1}{x}$上，AD⊥x轴，
∴过点A作x轴、y轴垂线所得矩形面积为$|k_1|=1$，即$OD· AD=1$。
∵点B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上，BC⊥x轴，
同理可得$OC· BC=3$。
∵AB//x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴四边形ABCD是矩形，且$AD=BC$，
∴$S_{矩形ABCD}=OC· BC - OD· AD=3-1=2$。
方法2：设坐标计算
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，
∵点A在$y=\frac{1}{x}$上，
∴$A(a,\frac{1}{a})$。
∵AB//x轴，
∴点B的纵坐标为$\frac{1}{a}$，
将$y=\frac{1}{a}$代入$y=\frac{3}{x}$，得$x=3a$，即$B(3a,\frac{1}{a})$。
∴$AB=3a - a=2a$，$AD=\frac{1}{a}$，
∴$S_{矩形ABCD}=AB· AD=2a·\frac{1}{a}=2$。
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的面积计算
【点评】
本题考查反比例函数相关性质的应用，利用k的几何意义求解可大幅简化计算过程，熟练掌握反比例函数的基本性质是解决此类题型的基础。
【难度系数】
0.7
10. 已知圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm，则该圆锥的侧面积为
$15π$
cm².答案
10. $15π$
解析
【分析】
解决本题首先需要回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥的侧面展开图是扇形，推导可得圆锥侧面积的简化计算公式为$S=π rl$（其中$r$为圆锥底面半径，$l$为圆锥母线长）。接下来对应题目给出的已知条件，找到底面半径和母线长的数值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
圆锥侧面积的计算公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$代表圆锥底面半径，$l$代表圆锥的母线长。
由题可知，$r=3\ \mathrm{cm}$，$l=5\ \mathrm{cm}$，将数值代入公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 3 × 5 =15π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆锥展开图性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题关键是牢记公式并准确匹配公式中各参数对应的数值。
【难度系数】
0.9
解决本题首先需要回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥的侧面展开图是扇形，推导可得圆锥侧面积的简化计算公式为$S=π rl$（其中$r$为圆锥底面半径，$l$为圆锥母线长）。接下来对应题目给出的已知条件，找到底面半径和母线长的数值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
圆锥侧面积的计算公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$代表圆锥底面半径，$l$代表圆锥的母线长。
由题可知，$r=3\ \mathrm{cm}$，$l=5\ \mathrm{cm}$，将数值代入公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 3 × 5 =15π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆锥展开图性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题关键是牢记公式并准确匹配公式中各参数对应的数值。
【难度系数】
0.9
11. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为
（第11题）（第12题）
$25$
cm.（第11题）（第12题）
答案
11. $25$
解析
【分析】要计算残缺圆形工件的半径，首先根据垂径定理的推论可知，AB的垂直平分线CD必过圆心，因此我们可以先设出半径，再构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解。具体思路：第一步确定圆心在CD上，设半径为r；第二步根据垂径定理得到AD的长度，用r表示出圆心到弦AB的距离OD；第三步在直角三角形中应用勾股定理列方程，解方程得到半径。
【解析】设该圆形工件的圆心为O，半径为r cm，连接OA。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 圆心O在直线CD上，且$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×40 = 20\ \mathrm{cm}$，
又
∵ CD = 10 cm，
∴ $OD = OC - CD = (r - 10)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OA^2 = AD^2 + OD^2$，
代入得：$r^2 = 20^2 + (r - 10)^2$，
展开整理：$r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100$，
移项得：$20r = 500$，
解得：$r = 25$。
【答案】25
【知识点】垂径定理、勾股定理、线段垂直平分线性质
【点评】本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程求解，这也是圆中求弦长、半径等线段长度的常用方法。
【难度系数】0.7
【解析】设该圆形工件的圆心为O，半径为r cm，连接OA。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 圆心O在直线CD上，且$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×40 = 20\ \mathrm{cm}$，
又
∵ CD = 10 cm，
∴ $OD = OC - CD = (r - 10)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OA^2 = AD^2 + OD^2$，
代入得：$r^2 = 20^2 + (r - 10)^2$，
展开整理：$r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100$，
移项得：$20r = 500$，
解得：$r = 25$。
【答案】25
【知识点】垂径定理、勾股定理、线段垂直平分线性质
【点评】本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程求解，这也是圆中求弦长、半径等线段长度的常用方法。
【难度系数】0.7
12. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型.图②是模型驱动部分的示意图，其中$\odot M$，$\odot N$的半径分别是1 cm和10 cm，当$\odot M$按顺时针方向转动2周时，$\odot N$上的点P随之旋转$n°$，则$n=$
$72$
.答案
12. $72$
解析
【分析】
本题是皮带传动的圆相关计算问题，解题关键是明确皮带不打滑时，主动轮$\odot M$转动的总弧长等于从动轮$\odot N$上对应点转过的弧长。首先计算$\odot M$顺时针转2周走过的总弧长，再根据弧长公式列等式求解$\odot N$转过的角度$n$即可。
【解析】
解：已知$\odot M$的半径$r_1=1\mathrm{cm}$，它转动2周的总弧长为：
$L=2× 2π r_1=2× 2π× 1=4π(\mathrm{cm})$
因为皮带传动不打滑，所以$\odot N$上点P转过的弧长等于$\odot M$转动的总弧长。
$\odot N$的半径$r_2=10\mathrm{cm}$，设转过的角度为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$可得：
$\frac{nπ× 10}{180}=4π$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{10n}{180}=4$
解得$n=72$。
【答案】
$\boxed{72}$
【知识点】
弧长计算；皮带传动性质；圆的周长计算
【点评】
本题结合古代发明创设情境，考查圆的相关计算在实际问题中的应用，解题的核心是抓住皮带传动过程中两圆转过的弧长相等这一隐含条件，再代入对应公式计算即可，注重理论联系实际。
【难度系数】
0.7
本题是皮带传动的圆相关计算问题，解题关键是明确皮带不打滑时，主动轮$\odot M$转动的总弧长等于从动轮$\odot N$上对应点转过的弧长。首先计算$\odot M$顺时针转2周走过的总弧长，再根据弧长公式列等式求解$\odot N$转过的角度$n$即可。
【解析】
解：已知$\odot M$的半径$r_1=1\mathrm{cm}$，它转动2周的总弧长为：
$L=2× 2π r_1=2× 2π× 1=4π(\mathrm{cm})$
因为皮带传动不打滑，所以$\odot N$上点P转过的弧长等于$\odot M$转动的总弧长。
$\odot N$的半径$r_2=10\mathrm{cm}$，设转过的角度为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$可得：
$\frac{nπ× 10}{180}=4π$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{10n}{180}=4$
解得$n=72$。
【答案】
$\boxed{72}$
【知识点】
弧长计算；皮带传动性质；圆的周长计算
【点评】
本题结合古代发明创设情境，考查圆的相关计算在实际问题中的应用，解题的核心是抓住皮带传动过程中两圆转过的弧长相等这一隐含条件，再代入对应公式计算即可，注重理论联系实际。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共64分)
13. (8分)解下列方程：
(1) $2(x-2)^2 -16=0$；
(2) $x^2 -7x=-12$。
13. (8分)解下列方程：
(1) $2(x-2)^2 -16=0$；
(2) $x^2 -7x=-12$。
答案
13. (1) $x_1=2\sqrt{2}+2,x_2=-2\sqrt{2}+2$ (2) $x_1=4,x_2=3$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程结构选择简便解法：
(1) 方程形如$a(x-h)^2=k$，适合用直接开平方法，解题步骤为：先移项将常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，最后开平方转化为两个一元一次方程求解即可。
(2) 方程整理后可化为二次三项式等于0的形式，常数项12可拆为-3和-4相乘，且两者之和等于一次项系数-7，适合用因式分解法，先将方程整理为一般形式，再分解因式转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 解方程 $2(x-2)^2 -16=0$
移项，得：$2(x-2)^2=16$
两边同时除以2，得：$(x-2)^2=8$
开平方，得：$x-2=\pm 2\sqrt{2}$
即 $x-2=2\sqrt{2}$ 或 $x-2=-2\sqrt{2}$
解得：$x_1=2+2\sqrt{2}$，$x_2=2-2\sqrt{2}$
(2) 解方程 $x^2 -7x=-12$
移项整理为一般形式，得：$x^2-7x+12=0$
因式分解，得：$(x-3)(x-4)=0$
所以 $x-3=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=4$
【答案】
(1) $x_1=2\sqrt{2}+2,x_2=-2\sqrt{2}+2$；(2) $x_1=4,x_2=3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题的关键是观察方程的结构特征，灵活选择简便的求解方法，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程结构选择简便解法：
(1) 方程形如$a(x-h)^2=k$，适合用直接开平方法，解题步骤为：先移项将常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，最后开平方转化为两个一元一次方程求解即可。
(2) 方程整理后可化为二次三项式等于0的形式，常数项12可拆为-3和-4相乘，且两者之和等于一次项系数-7，适合用因式分解法，先将方程整理为一般形式，再分解因式转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 解方程 $2(x-2)^2 -16=0$
移项，得：$2(x-2)^2=16$
两边同时除以2，得：$(x-2)^2=8$
开平方，得：$x-2=\pm 2\sqrt{2}$
即 $x-2=2\sqrt{2}$ 或 $x-2=-2\sqrt{2}$
解得：$x_1=2+2\sqrt{2}$，$x_2=2-2\sqrt{2}$
(2) 解方程 $x^2 -7x=-12$
移项整理为一般形式，得：$x^2-7x+12=0$
因式分解，得：$(x-3)(x-4)=0$
所以 $x-3=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=4$
【答案】
(1) $x_1=2\sqrt{2}+2,x_2=-2\sqrt{2}+2$；(2) $x_1=4,x_2=3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题的关键是观察方程的结构特征，灵活选择简便的求解方法，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.85
