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一、选择题(每题3分,共18分)
1. 若反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$的图象位于第一、三象限,则$k$的取值范围是（
A.$k＜-3$
B.$k＞-3$
C.$k＜3$
D.$k＞3$
1. 若反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$的图象位于第一、三象限,则$k$的取值范围是（
D
）A.$k＜-3$
B.$k＞-3$
C.$k＜3$
D.$k＞3$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象性质相关知识，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$）的图象分布与系数$a$的关系：图象位于第一、三象限的前提是比例系数$a＞0$。本题中反比例函数的比例系数为$k-3$，据此可列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数，且$a≠0$），当$a＞0$时，函数图象位于第一、三象限；当$a＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
已知反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$的图象位于第一、三象限，因此其比例系数满足：
$k-3＞0$
解不等式得：$k＞3$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象位置和比例系数的对应关系，只要熟记相关性质，就能快速列出不等式求解，解题时注意不要混淆比例系数正负对应的图象象限即可。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的图象性质相关知识，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$）的图象分布与系数$a$的关系：图象位于第一、三象限的前提是比例系数$a＞0$。本题中反比例函数的比例系数为$k-3$，据此可列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数，且$a≠0$），当$a＞0$时，函数图象位于第一、三象限；当$a＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
已知反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$的图象位于第一、三象限，因此其比例系数满足：
$k-3＞0$
解不等式得：$k＞3$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象位置和比例系数的对应关系，只要熟记相关性质，就能快速列出不等式求解，解题时注意不要混淆比例系数正负对应的图象象限即可。
【难度系数】
0.9
2. 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +4k=0$有实数根，则$k$的取值范围是 （
A.$k＜1$
B.$k≤1$
C.$k＞1$
D.$k≠1$
B
）A.$k＜1$
B.$k≤1$
C.$k＞1$
D.$k≠1$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程有实数根的判定条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数根。我们先确定题目中方程对应的$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$k$的不等式，再解不等式就能得到$k$的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
已知方程$x^2 -4x +4k=0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=4k$。
因为方程有实数根，所以根的判别式$\Delta≥0$，即：
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1×4k ≥ 0$
计算得：$16 - 16k ≥ 0$
移项得：$16 ≥ 16k$
两边同时除以16，不等号方向不变，得：$k≤1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，计算量小，只要牢记判别式的取值和根的对应规则，解题时注意解不等式的不等号方向不要出错，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆一元二次方程有实数根的判定条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数根。我们先确定题目中方程对应的$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$k$的不等式，再解不等式就能得到$k$的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
已知方程$x^2 -4x +4k=0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=4k$。
因为方程有实数根，所以根的判别式$\Delta≥0$，即：
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1×4k ≥ 0$
计算得：$16 - 16k ≥ 0$
移项得：$16 ≥ 16k$
两边同时除以16，不等号方向不变，得：$k≤1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，计算量小，只要牢记判别式的取值和根的对应规则，解题时注意解不等式的不等号方向不要出错，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
3. 如图,过反比例函数$y=\frac{k}{x}$上一点A作$AB⊥x$轴,垂足为B.若$S_{△ ABO}=6$,则k的值为 (
A.3
B.$-3$
C.12
D.$-12$
D
)A.3
B.$-3$
C.12
D.$-12$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。先根据三角形面积求出$|k|$的值，再结合反比例函数图象所在的象限判断k的符号，即可得到k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，垂足为B，
∴$△ ABO$是直角三角形，$OB=|x|$，$AB=|y|$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2}|x||y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ ABO}=6$，代入得：
$\frac{1}{2}|k|=6$，解得$|k|=12$。
由图可知反比例函数图象位于第二象限，第二象限内$x＜0,y＞0$，故$k=xy＜0$，
∴$k=-12$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，解题的易错点是容易忽略函数图象所在象限，未判断k的符号导致错选正值。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。先根据三角形面积求出$|k|$的值，再结合反比例函数图象所在的象限判断k的符号，即可得到k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，垂足为B，
∴$△ ABO$是直角三角形，$OB=|x|$，$AB=|y|$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2}|x||y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ ABO}=6$，代入得：
$\frac{1}{2}|k|=6$，解得$|k|=12$。
由图可知反比例函数图象位于第二象限，第二象限内$x＜0,y＞0$，故$k=xy＜0$，
∴$k=-12$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，解题的易错点是容易忽略函数图象所在象限，未判断k的符号导致错选正值。
【难度系数】
0.7
4. 如图，OA，OB是$\odot O$的半径，若$∠ AOB=50°$，则$∠ ACB$的度数是 （
A.$10°$
B.$15°$
C.$25°$
D.$50°$
C
）A.$10°$
B.$15°$
C.$25°$
D.$50°$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先观察图形，明确∠AOB是弧AB对应的圆心角，∠ACB是弧AB对应的圆周角，结合圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，只需用已知的圆心角度数除以2就能得到∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠ACB是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=50°$，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，解题核心是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，直接套用圆周角定理即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，明确∠AOB是弧AB对应的圆心角，∠ACB是弧AB对应的圆周角，结合圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，只需用已知的圆心角度数除以2就能得到∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠ACB是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=50°$，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，解题核心是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，直接套用圆周角定理即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8
5.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲、乙行各几何.”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲每单位时间走7步,乙每单位时间走3步.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远? 设相遇时,甲、乙行走了$x$个单位时间,则下面由题意所列方程正确的是 (
A.$(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$
B.$(3x)^2 + (7x - 10)^2 = 10^2$
C.$(7x)^2 + 10^2 = (3x - 10)^2$
D.$(7x)^2 + (3x - 10)^2 = 10^2$
A
)A.$(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$
B.$(3x)^2 + (7x - 10)^2 = 10^2$
C.$(7x)^2 + 10^2 = (3x - 10)^2$
D.$(7x)^2 + (3x - 10)^2 = 10^2$
答案
5. A
解析
【分析】
这是一道结合古代数学背景的勾股定理应用题，解题思路如下：首先明确甲乙的行走路径可构成直角三角形，先通过“路程=速度×时间”分别表示出相关线段的长度，再找准直角三角形的两条直角边和斜边，最后代入勾股定理公式列出方程即可判断选项。
【解析】
设相遇时甲、乙行走了$x$个单位时间：
1. 乙全程向东走，速度为每单位时间3步，因此乙走的总路程为$3x$步，对应直角三角形的一条直角边；
2. 甲总路程为$7x$步，其中先向南走了10步，对应直角三角形的另一条直角边，剩余斜向北偏东走的路程为$(7x-10)$步，对应直角三角形的斜边；
3. 根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：$(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，列一元二次方程
【点评】
本题是将实际生活场景转化为几何模型的典型题，解题核心是准确把行走路径对应到直角三角形的三边，易错点是容易搞错斜边对应的路程。
【难度系数】
0.75
这是一道结合古代数学背景的勾股定理应用题，解题思路如下：首先明确甲乙的行走路径可构成直角三角形，先通过“路程=速度×时间”分别表示出相关线段的长度，再找准直角三角形的两条直角边和斜边，最后代入勾股定理公式列出方程即可判断选项。
【解析】
设相遇时甲、乙行走了$x$个单位时间：
1. 乙全程向东走，速度为每单位时间3步，因此乙走的总路程为$3x$步，对应直角三角形的一条直角边；
2. 甲总路程为$7x$步，其中先向南走了10步，对应直角三角形的另一条直角边，剩余斜向北偏东走的路程为$(7x-10)$步，对应直角三角形的斜边；
3. 根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：$(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，列一元二次方程
【点评】
本题是将实际生活场景转化为几何模型的典型题，解题核心是准确把行走路径对应到直角三角形的三边，易错点是容易搞错斜边对应的路程。
【难度系数】
0.75
6. 如图，点A的坐标是$(-3,0)$，点C是以OA为直径的$\odot B$上的一动点，点A关于点C的对称点为点$P(x,y)$，则$x+y$的最大值为（
A.$3$
B.$3\sqrt{2}$
C.$6$
D.$3\sqrt{2}+3$
B
）A.$3$
B.$3\sqrt{2}$
C.$6$
D.$3\sqrt{2}+3$
答案
6. B
解析
【分析】
首先根据点A与点P关于点C对称，得出C是AP的中点，利用中点坐标公式用P的坐标表示出C的坐标；再结合点C在⊙B上，代入⊙B的方程即可推导出点P的轨迹方程，可知P在以原点为圆心、半径为3的圆上；最后将求x+y的最大值转化为求直线y=-x+k的截距k的最大值，利用直线与圆有交点时圆心到直线的距离不大于半径即可求解。
【解析】
1. 求⊙B的基本参数
已知点A坐标为$(-3,0)$，原点O坐标为$(0,0)$，OA为⊙B的直径，因此圆心B是OA的中点，坐标为$(-\frac{3}{2},0)$，半径$r=\frac{OA}{2}=\frac{3}{2}$，可得⊙B的方程为：
$(x+\frac{3}{2})^2 + y^2 = (\frac{3}{2})^2$
2. 推导点P的轨迹方程
∵点A关于点C的对称点为P，
∴C是线段AP的中点。设点P坐标为$(x,y)$，根据中点坐标公式，点C的坐标为$(\frac{x-3}{2},\frac{y}{2})$。
∵点C在⊙B上，将C的坐标代入⊙B的方程：
$( \frac{x-3}{2} + \frac{3}{2} )^2 + ( \frac{y}{2} )^2 = ( \frac{3}{2} )^2$
化简得：$( \frac{x}{2} )^2 + ( \frac{y}{2} )^2 = \frac{9}{4}$，两边同乘4得$x^2 + y^2 = 9$，即点P的轨迹是以原点为圆心、半径为3的圆。
3. 求$x+y$的最大值
设$x+y=k$，变形为直线方程$y=-x+k$，当直线与圆$x^2+y^2=9$有公共点时，圆心$(0,0)$到直线的距离不大于圆的半径：
$d=\frac{|0+0-k|}{\sqrt{1^2+1^2}} ≤ 3$
即$\frac{|k|}{\sqrt{2}} ≤ 3$，解得$|k| ≤ 3\sqrt{2}$，因此$k$的最大值为$3\sqrt{2}$，即$x+y$的最大值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
中点坐标公式，圆的标准方程，直线与圆的位置关系
【点评】
本题通过对称关系转化得到动点的轨迹，再将代数最值问题转化为直线与圆的位置关系问题，考查了转化思想的应用，解题的关键是正确求出点P的轨迹方程。
【难度系数】
0.6
首先根据点A与点P关于点C对称，得出C是AP的中点，利用中点坐标公式用P的坐标表示出C的坐标；再结合点C在⊙B上，代入⊙B的方程即可推导出点P的轨迹方程，可知P在以原点为圆心、半径为3的圆上；最后将求x+y的最大值转化为求直线y=-x+k的截距k的最大值，利用直线与圆有交点时圆心到直线的距离不大于半径即可求解。
【解析】
1. 求⊙B的基本参数
已知点A坐标为$(-3,0)$，原点O坐标为$(0,0)$，OA为⊙B的直径，因此圆心B是OA的中点，坐标为$(-\frac{3}{2},0)$，半径$r=\frac{OA}{2}=\frac{3}{2}$，可得⊙B的方程为：
$(x+\frac{3}{2})^2 + y^2 = (\frac{3}{2})^2$
2. 推导点P的轨迹方程
∵点A关于点C的对称点为P，
∴C是线段AP的中点。设点P坐标为$(x,y)$，根据中点坐标公式，点C的坐标为$(\frac{x-3}{2},\frac{y}{2})$。
∵点C在⊙B上，将C的坐标代入⊙B的方程：
$( \frac{x-3}{2} + \frac{3}{2} )^2 + ( \frac{y}{2} )^2 = ( \frac{3}{2} )^2$
化简得：$( \frac{x}{2} )^2 + ( \frac{y}{2} )^2 = \frac{9}{4}$，两边同乘4得$x^2 + y^2 = 9$，即点P的轨迹是以原点为圆心、半径为3的圆。
3. 求$x+y$的最大值
设$x+y=k$，变形为直线方程$y=-x+k$，当直线与圆$x^2+y^2=9$有公共点时，圆心$(0,0)$到直线的距离不大于圆的半径：
$d=\frac{|0+0-k|}{\sqrt{1^2+1^2}} ≤ 3$
即$\frac{|k|}{\sqrt{2}} ≤ 3$，解得$|k| ≤ 3\sqrt{2}$，因此$k$的最大值为$3\sqrt{2}$，即$x+y$的最大值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
中点坐标公式，圆的标准方程，直线与圆的位置关系
【点评】
本题通过对称关系转化得到动点的轨迹，再将代数最值问题转化为直线与圆的位置关系问题，考查了转化思想的应用，解题的关键是正确求出点P的轨迹方程。
【难度系数】
0.6
