1. 下列计算中，正确的是 （）

A.$(-c)^4 ÷ c^2 = -c^2$
B.$(-c)^4 ÷ (-c)^2 = -c^2$
C.$(-c)^4 ÷ (-c)^4 = 0$
D.$(-c)^4 ÷ (-c)^2 = c^2$

1.D

【分析】
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路为：首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（底数不为0）；再结合负数的偶次幂为正、奇次幂为负的符号规则，逐一计算每个选项的结果，判断正误即可。
【解析】
我们根据同底数幂除法法则和乘方的符号规律逐个分析选项：
A选项：$(-c)^4 ÷ c^2 = c^4 ÷ c^2 = c^{4-2}=c^2$，结果应为$c^2$，不是$-c^2$，故A错误；
B选项：$(-c)^4 ÷ (-c)^2 = (-c)^{4-2}=(-c)^2=c^2$，结果应为$c^2$，不是$-c^2$，故B错误；
C选项：$(-c)^4 ÷ (-c)^4 = (-c)^{4-4}=(-c)^0=1$（$c≠0$，除数不为0是运算前提），结果应为1，不是0，故C错误；
D选项：$(-c)^4 ÷ (-c)^2 = (-c)^{4-2}=(-c)^2=c^2$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法、乘方的符号运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是忽略负数乘方的符号规律，导致运算结果符号错误，计算时要先明确底数的符号，再按照运算法则计算。
【难度系数】
0.8

2.若$(x-5)^0=1$成立，则$x$的取值范围是（）

A.$x≥5$
B.$x≤5$
C.$x≠5$
D.$x=5$

2.C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆零指数幂的成立条件：我们规定任何非零数的0次幂等于1，也就是说零指数幂的底数不能为0，否则式子无意义。因此本题只需要让底数$x-5$不等于0，解出$x$的范围即可。
【解析】
根据零指数幂的运算性质：$a^0=1$（$a≠0$），
要使$(x-5)^0=1$成立，需满足底数不为0，即：
$x-5≠0$
解得$x≠5$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题是基础概念题，解题关键是牢记零指数幂成立的前提是底数不为0，易错点是忽略底数的限制条件，误将0的0次幂也认定为1从而选错。
【难度系数】
0.9

3.若$2a - 3b = 2$，则$5^{2a} ÷ 5^{3b} =$（）

A.5
B.7
C.10
D.25

3.D

【分析】
解题时首先观察所求式子的结构，属于同底数幂的除法运算，可先运用同底数幂的除法法则对式子化简，将式子转化为底数为5、指数为(2a-3b)的幂的形式，再将已知条件2a-3b=2整体代入化简后的式子，计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为整数），可得：
$5^{2a} ÷ 5^{3b} = 5^{2a - 3b}$
已知$2a - 3b = 2$，将其代入上式：
$5^{2a - 3b} = 5^2 = 25$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法运算、整体代入求值、有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题，核心考查幂的运算法则的应用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则，结合整体代入的思想即可快速求解，是幂运算章节的常见典型考题。
【难度系数】
0.85

4.同底数幂相除，底数，指数，即$a^m ÷ a^n =$（m，n为正整数，m＞n，a≠0）。

4.不变，相减，$a^{m-n}$

【分析】
本题考查同底数幂的除法法则，解题时直接回忆同底数幂除法的运算规则即可：同底数幂相除时，首先底数保持不变，其次对指数做减法运算，最后写出对应的字母表达式即可，题目给出的前提条件（a≠0，m、n为正整数且m＞n）符合该法则的适用范围。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减；
用字母表示该法则为：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（m，n为正整数，m＞n，a≠0）。
【答案】
不变，相减，$a^{m-n}$
【知识点】
1. 同底数幂的除法法则
【点评】
本题是对幂的运算中基础概念的直接考查，解题的关键是熟练记忆同底数幂除法的运算规则。
【难度系数】
0.9

5.下列运算:①$(-3pq)^2=-6p^2q^2$；②$a^3· a^2=a^6$；③$a^6÷ a^2=a$；④$a^m· a=a^{m+1}$；⑤$(-bc)^4÷ (-bc)^2=-b^2c^2$，其中错误的是(填序号)

5.①②③⑤

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需逐一回忆积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则，对每个运算式子逐一计算验证，将运算错误的序号筛选出来即可。
【解析】
我们逐个分析每个运算：
① 根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(-3pq)^2=(-3)^2p^2q^2=9p^2q^2≠-6p^2q^2$，故①运算错误；
② 根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5≠ a^6$，故②运算错误；
③ 根据同底数幂的除法法则：$a^m÷a^n=a^{m-n}(a≠0)$，可得$a^6÷a^2=a^{6-2}=a^4≠ a$，故③运算错误；
④ 根据同底数幂的乘法法则，$a^m·a=a^m·a^1=a^{m+1}$，故④运算正确；
⑤ 根据同底数幂的除法法则和积的乘方法则，$(-bc)^4÷(-bc)^2=(-bc)^{4-2}=(-bc)^2=b^2c^2≠ -b^2c^2$，故⑤运算错误。
综上，运算错误的是①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是考查幂的各类运算法则的掌握情况，解题时要注意区分不同运算的指数计算规则，同时不要忽略负号参与乘方时的符号变化，避免因法则混淆或符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.7

6.计算：$a^6 ÷ a^3 - 2a^3 =$ .

6.$-a^3$

【分析】
解决这道题首先明确整式混合运算的顺序：先算乘除，后算加减。第一步先计算同底数幂的除法，需运用同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，算出除法部分的结果；第二步观察得到的两项是同类项，再按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，即可得到最终结果。
【解析】
解：先计算同底数幂的除法：
$a^6 ÷ a^3 = a^{6-3} = a^3$
再代入原式合并同类项：
原式$= a^3 - 2a^3 = (1-2)a^3 = -a^3$
【答案】
$-a^3$
【知识点】
1.同底数幂的除法
2.合并同类项
3.整式混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查整式运算的相关法则，难度较低，只要熟练掌握同底数幂的运算法则、合并同类项的方法，遵循正确的运算顺序，注意合并同类项时的符号处理，即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

7.若$3 × 27^n ÷ 9 = 3^{20}$，则$n=$。

7.7

【分析】
要解这个等式，首先观察等式两边都和底数为3的幂相关，解题思路为：先把等式左侧的27ⁿ、9都转化为底数是3的幂的形式，再利用同底数幂的乘除运算法则化简左侧式子，得到底数为3的幂，最后根据“底数相同的两个相等的幂，指数也相等”建立关于n的一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
第一步：统一等式左侧各项的底数为3
因为$27=3^3$，$9=3^2$，所以原式可变形为：
$3 × (3^3)^n ÷ 3^2 = 3^{20}$
第二步：利用幂的乘方法则化简
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$3 × 3^{3n} ÷ 3^2 = 3^{20}$
第三步：利用同底数幂的乘除法则化简左侧
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，可得：
$3^{1+3n-2}=3^{20}$
即$3^{3n-1}=3^{20}$
第四步：列方程求解n
根据同底数幂相等的性质，可得指数相等：
$3n-1=20$
解得$3n=21$，$n=7$
【答案】
7
【知识点】
幂的乘方运算
同底数幂的乘除运算
同底数幂相等的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，解题核心是将不同底数的幂统一为相同底数，再结合幂的运算法则建立方程求解，主要考察对幂的相关运算法则的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

8.满足等式$(x+2)^{x+5}=1$的x的值为.

8.$-5或-3或-1$

【分析】
要使幂的运算结果为1，结合乘方的相关性质，可分三类情况讨论求解：①非零数的0次幂等于1；②1的任意次幂等于1；③-1的偶次幂等于1。对每类情况分别列方程求解，再验证是否符合对应情况的限制条件，最终汇总所有符合要求的x的值即可。
【解析】
我们分三种情况逐一分析：
1. 非零数的0次幂等于1的情况
需满足指数为0，且底数不为0，列条件得：
$\begin{cases}x+5=0 \\ x+2≠0\end{cases}$
解得$x=-5$，此时底数$x+2=-3≠0$，符合要求，$x=-5$是方程的解。
2. 底数为1的情况
1的任意次幂都是1，列方程得：
$x+2=1$
解得$x=-1$，此时指数$x+5=4$，$1^4=1$，符合要求，$x=-1$是方程的解。
3. 底数为-1的情况
-1的偶次幂等于1，列方程得：
$x+2=-1$
解得$x=-3$，此时指数$x+5=2$，是偶数，$(-1)^2=1$，符合要求，$x=-3$是方程的解。
综上，满足等式的x的值为-5、-3、-1。
【答案】
$-5或-3或-1$
【知识点】
零指数幂性质，乘方运算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是全面梳理幂等于1的所有可能情形，不要遗漏底数为1、底数为-1的情况，同时注意零指数幂中底数不能为0的限制条件，求解后要验证结果是否符合对应情形的要求，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6

9.若$a^m=8,a^n=2$,则$a^{m-2n}$的值等于（）

A.1
B.2
C.4
D.16

9.B

【分析】
首先观察所求代数式$a^{m-2n}$的指数是差的形式，可联想到逆用同底数幂的除法法则，将其转化为同底数幂相除的形式，即$a^m ÷ a^{2n}$；再看指数$2n$是乘积的形式，可逆用幂的乘方法则，把$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，最后将已知的$a^m=8$、$a^n=2$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
根据幂的运算性质的逆用：
1. 逆用同底数幂的除法法则：$a^{m-2n}=a^m ÷ a^{2n}$
2. 逆用幂的乘方法则：$a^{2n}=(a^n)^2$
将$a^m=8$，$a^n=2$代入得：
$a^{m-2n}=a^m ÷ (a^n)^2 = 8 ÷ 2^2 = 8 ÷ 4 = 2$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，核心是灵活运用幂的运算法则的逆变形，只要熟练掌握相关运算性质，就能快速完成计算。
【难度系数】
0.8

10.已知$x^{2n}=3$，则$(-x^{3n})^4 ÷ [4(x^3)^{2n}]$的值为。

10.$\frac{27}{4}$

【分析】
本题是已知幂的值求整式运算结果的题目，解题思路如下：第一步先利用幂的乘方、积的乘方的运算性质，将待求式中的各项分别化简；第二步利用同底数幂的除法法则化简整个式子；第三步逆用幂的乘方公式，将化简后的式子转化为含$x^{2n}$的形式，最后代入已知条件计算即可。
【解析】
先化简待求式：
1. 计算分子部分：$(-x^{3n})^4 = (-1)^4 · (x^{3n})^4 = x^{3n×4} = x^{12n}$
2. 计算分母部分：$4(x^3)^{2n} = 4 · x^{3×2n} = 4x^{6n}$
3. 计算除法：
$\begin{aligned}原式&= x^{12n} ÷ (4x^{6n}) \\&= \frac{1}{4} · x^{12n - 6n} \\&= \frac{1}{4}x^{6n}\end{aligned}$
4. 逆用幂的乘方公式变形：$x^{6n} = (x^{2n})^3$，将$x^{2n}=3$代入得：
$\begin{aligned}原式&= \frac{1}{4} × 3^3 \\&= \frac{1}{4} × 27 \\&= \frac{27}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{27}{4}$
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方运算；同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题的核心是熟练掌握各类幂的运算规则，灵活运用整体代入思想，将待求式转化为含有已知条件的形式再计算，运算过程中要注意指数的计算不要出错。
【难度系数】
0.7

11.计算：
(1)$27^2 × 9^8 ÷ (-3)^{18}$；
(2)$x^{12} ÷ x^8 · x^6 - x^{m+6} ÷ x^{m-4}$；

11.(1)81 (2)0

【分析】
(1) 解决本题的核心是先统一底数：观察到27、9都可以写成以3为底的幂，同时负数的偶次幂为正，可将$(-3)^{18}$转化为$3^{18}$，再依次运用幂的乘方法则、同底数幂的乘除运算法则计算即可。
(2) 本题属于整式的混合运算，按照运算顺序，先分别用同底数幂的乘除法则计算两个整式项，再合并同类项得到结果，运算时注意同底数幂的运算只改变指数，底数保持不变。
【解析】
(1) 先将各幂的底数统一为3：
$\begin{aligned}原式&=(3^3)^2 × (3^2)^8 ÷ 3^{18}\\&=3^{3×2} × 3^{2×8} ÷ 3^{18}\\&=3^6 × 3^{16} ÷ 3^{18}\\&=3^{6+16-18}\\&=3^4\\&=81\end{aligned}$
(2) 分别计算两项后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^{12-8} · x^6 - x^{(m+6)-(m-4)}\\&=x^4 · x^6 - x^{m+6-m+4}\\&=x^{10} - x^{10}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{81}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘除运算，合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，重点考查幂的相关运算法则的灵活运用，计算时注意先统一底数，运算时要准确计算指数，避免符号和指数运算失误。
【难度系数】
0.75

(3)$(-2)^3 + (π - 3.14)^0 - (-\dfrac{1}{3})^2$；(4)$a^3 · a + (-a^2)^3 ÷ a^2$。

11.(3)$-7\frac{1}{9}$ (4)0

【分析】
(3)题是实数混合运算，遵循“先乘方、后加减”的运算顺序：首先分别计算乘方项、零指数幂，要明确负数奇次幂为负、非零数的零次幂等于1、负数偶次幂为正的规则，再按从左到右的顺序计算加减即可。
(4)题是整式混合运算，遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再计算同底数幂的除法，最后合并同类项，运算过程中要重点注意符号的处理。
【解析】
(3) 分别计算各项：
$(-2)^3=-8$，
因为$π-3.14≠0$，所以$(π-3.14)^0=1$，
$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-8+1-\dfrac{1}{9}\\&=-7-\dfrac{1}{9}\\&=-7\dfrac{1}{9}\end{aligned}$
(4) 按运算顺序分步计算：
同底数幂相乘：$a^3·a=a^{3+1}=a^4$，
幂的乘方运算：$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-a^6$，
同底数幂相除：$(-a^6)÷ a^2=-a^{6-2}=-a^4$，
合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^4+(-a^4)\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(3) $-7\dfrac{1}{9}$；(4) $0$
【知识点】
实数混合运算、零指数幂性质、整式乘除运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考察幂的相关运算性质和运算顺序，计算时要注意负数乘方、负号参与幂运算时的符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8