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10. 已知$x - y = 7, xy = 5$,则$(x + 1)(y - 1)$的值为（
A.1
B.3
C.$-1$
D.$-3$
D
）A.1
B.3
C.$-1$
D.$-3$
答案
10.D
解析
【分析】
本题已知$x-y$和$xy$的值，要求多项式乘积的值，解题思路如下：第一步，先利用多项式乘多项式的法则将待求式$(x+1)(y-1)$展开；第二步，对展开后的式子进行整理，变形为含有$xy$和$x-y$的形式；第三步，将已知的$x-y=7$、$xy=5$整体代入变形后的式子计算，即可求出结果，不需要单独求解x、y的具体值，能简化计算。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开待求式：
$\begin{aligned}(x+1)(y-1)&=xy - x + y - 1\\&=xy - (x - y) - 1\end{aligned}$
将$x - y = 7$，$xy = 5$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=5 - 7 - 1\\&=-3\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式、整体代入求值、整式化简
【点评】
本题解题的核心是将待求整式展开后，通过变形转化为含已知条件的代数式，运用整体代入思想计算，避免了求解x、y的具体值，减少了计算量，解题时要注意符号变形的准确性。
【难度系数】
0.7
本题已知$x-y$和$xy$的值，要求多项式乘积的值，解题思路如下：第一步，先利用多项式乘多项式的法则将待求式$(x+1)(y-1)$展开；第二步，对展开后的式子进行整理，变形为含有$xy$和$x-y$的形式；第三步，将已知的$x-y=7$、$xy=5$整体代入变形后的式子计算，即可求出结果，不需要单独求解x、y的具体值，能简化计算。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开待求式：
$\begin{aligned}(x+1)(y-1)&=xy - x + y - 1\\&=xy - (x - y) - 1\end{aligned}$
将$x - y = 7$，$xy = 5$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=5 - 7 - 1\\&=-3\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式、整体代入求值、整式化简
【点评】
本题解题的核心是将待求整式展开后，通过变形转化为含已知条件的代数式，运用整体代入思想计算，避免了求解x、y的具体值，减少了计算量，解题时要注意符号变形的准确性。
【难度系数】
0.7
11.已知关于$x$的多项式$ax+b$与$3x^2+x+2$的乘积展开式中不含$x$的二次项，且一次项系数为5，则$a^b$的值为（
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$
B
）A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时首先要利用多项式乘多项式的法则将两个多项式的乘积展开，合并同类项后找到二次项和一次项的系数；根据“展开式不含x的二次项”可知二次项系数为0，结合“一次项系数为5”可列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后代入$a^b$计算即可得到答案。
【解析】
先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}(ax+b)(3x^2+x+2)&=ax·3x^2 + ax· x + ax·2 + b·3x^2 + b· x + b·2\\&=3ax^3 + ax^2 + 2ax + 3bx^2 + bx + 2b\\&=3ax^3 + (a+3b)x^2 + (2a + b)x + 2b\end{aligned}$
根据题意，展开式不含x的二次项，且一次项系数为5，可得：
$\begin{cases}a + 3b = 0 \quad \mathrm{①}\\2a + b = 5 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①得：$a=-3b$，代入②得：
$2×(-3b) + b =5$，即$-6b +b=5$，解得$b=-1$
将$b=-1$代入$a=-3b$，得$a=3$
因此$a^b=3^{-1}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组，负整数指数幂
【点评】
本题属于整式乘法的基础常考题，解题关键是理解“多项式乘积中不含某一项，即该项合并同类项后的系数为0”，通过建立方程求解参数，考察基础计算能力和对整式乘法概念的掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先要利用多项式乘多项式的法则将两个多项式的乘积展开，合并同类项后找到二次项和一次项的系数；根据“展开式不含x的二次项”可知二次项系数为0，结合“一次项系数为5”可列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后代入$a^b$计算即可得到答案。
【解析】
先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}(ax+b)(3x^2+x+2)&=ax·3x^2 + ax· x + ax·2 + b·3x^2 + b· x + b·2\\&=3ax^3 + ax^2 + 2ax + 3bx^2 + bx + 2b\\&=3ax^3 + (a+3b)x^2 + (2a + b)x + 2b\end{aligned}$
根据题意，展开式不含x的二次项，且一次项系数为5，可得：
$\begin{cases}a + 3b = 0 \quad \mathrm{①}\\2a + b = 5 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①得：$a=-3b$，代入②得：
$2×(-3b) + b =5$，即$-6b +b=5$，解得$b=-1$
将$b=-1$代入$a=-3b$，得$a=3$
因此$a^b=3^{-1}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组，负整数指数幂
【点评】
本题属于整式乘法的基础常考题，解题关键是理解“多项式乘积中不含某一项，即该项合并同类项后的系数为0”，通过建立方程求解参数，考察基础计算能力和对整式乘法概念的掌握。
【难度系数】
0.7
12.计算：
(1)$(x^3 - 2)(x^3 + 3) - (x^2)^3 + x^2 · x$； (2)$5x(x^2 + 2x + 1) - (2x + 3)(x - 5)$。
(1)$(x^3 - 2)(x^3 + 3) - (x^2)^3 + x^2 · x$； (2)$5x(x^2 + 2x + 1) - (2x + 3)(x - 5)$。
答案
12.(1)$2x^3-6$ (2)$5x^3+8x^2+12x+15$
解析
【分析】
这两道题属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
1. 先分别计算式子中的幂运算（幂的乘方、同底数幂相乘）、单项式乘多项式、多项式乘多项式；
2. 去括号时要注意括号前是负号的话，括号内各项都要变号；
3. 最后合并同类项，将结果化为最简形式。
【解析】
(1) 先分别计算各项：
① 多项式乘多项式：$(x^3 - 2)(x^3 + 3) = x^3 · x^3 + 3x^3 - 2x^3 - 2 × 3 = x^6 + x^3 - 6$
② 幂的乘方：$(x^2)^3 = x^{2 × 3} = x^6$
③ 同底数幂相乘：$x^2 · x = x^{2+1} = x^3$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(x^6 + x^3 - 6) - x^6 + x^3 \\&=x^6 + x^3 - 6 - x^6 + x^3 \\&=2x^3 - 6\end{aligned}$
(2) 先分别计算各项：
① 单项式乘多项式：$5x(x^2 + 2x + 1) = 5x · x^2 + 5x · 2x + 5x · 1 = 5x^3 + 10x^2 + 5x$
② 多项式乘多项式：$(2x + 3)(x - 5) = 2x · x - 2x × 5 + 3 · x - 3 × 5 = 2x^2 - 7x - 15$
代入原式化简（注意括号前是负号，去括号要变号）：
$\begin{aligned}原式&=(5x^3 + 10x^2 + 5x) - (2x^2 - 7x - 15) \\&=5x^3 + 10x^2 + 5x - 2x^2 + 7x + 15 \\&=5x^3 + 8x^2 + 12x + 15\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{2x^3 - 6}$；(2) $\boxed{5x^3 + 8x^2 + 12x + 15}$
【知识点】
整式的混合运算、幂的运算性质、多项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查运算顺序和去括号的符号规则，熟练掌握各类整式乘法运算法则、细心计算即可做对，对巩固整式运算的基本功有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
这两道题属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
1. 先分别计算式子中的幂运算（幂的乘方、同底数幂相乘）、单项式乘多项式、多项式乘多项式；
2. 去括号时要注意括号前是负号的话，括号内各项都要变号；
3. 最后合并同类项，将结果化为最简形式。
【解析】
(1) 先分别计算各项：
① 多项式乘多项式：$(x^3 - 2)(x^3 + 3) = x^3 · x^3 + 3x^3 - 2x^3 - 2 × 3 = x^6 + x^3 - 6$
② 幂的乘方：$(x^2)^3 = x^{2 × 3} = x^6$
③ 同底数幂相乘：$x^2 · x = x^{2+1} = x^3$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(x^6 + x^3 - 6) - x^6 + x^3 \\&=x^6 + x^3 - 6 - x^6 + x^3 \\&=2x^3 - 6\end{aligned}$
(2) 先分别计算各项：
① 单项式乘多项式：$5x(x^2 + 2x + 1) = 5x · x^2 + 5x · 2x + 5x · 1 = 5x^3 + 10x^2 + 5x$
② 多项式乘多项式：$(2x + 3)(x - 5) = 2x · x - 2x × 5 + 3 · x - 3 × 5 = 2x^2 - 7x - 15$
代入原式化简（注意括号前是负号，去括号要变号）：
$\begin{aligned}原式&=(5x^3 + 10x^2 + 5x) - (2x^2 - 7x - 15) \\&=5x^3 + 10x^2 + 5x - 2x^2 + 7x + 15 \\&=5x^3 + 8x^2 + 12x + 15\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{2x^3 - 6}$；(2) $\boxed{5x^3 + 8x^2 + 12x + 15}$
【知识点】
整式的混合运算、幂的运算性质、多项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查运算顺序和去括号的符号规则，熟练掌握各类整式乘法运算法则、细心计算即可做对，对巩固整式运算的基本功有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
13.已知长方形的周长为 12 cm，面积为 7 cm²，若长方形的长与宽都增加 2 cm，求增加以后的长方形的面积.
答案
13.$23\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：原长方形周长12cm、面积7cm²，需求长宽各增加2cm后的新长方形面积。第一步根据长方形周长公式可直接得到“长+宽”的整体值，根据面积公式得到“长×宽”的整体值；第二步表示出新长方形的面积为(长+2)(宽+2)，若单独求解长、宽的具体数值需要解一元二次方程，计算较复杂，而用整式乘法展开新面积的表达式后，会发现式子可整理为含“长+宽”、“长×宽”的形式，直接代入已知的整体值计算即可，简化运算过程。
【解析】
设原长方形的长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$。
1. 根据长方形周长公式：$2(a+b)=12$，解得$a+b=6$；
2. 根据长方形面积公式：$ab=7$；
3. 长、宽各增加2cm后，新长方形的长为$(a+2)\ \mathrm{cm}$，宽为$(b+2)\ \mathrm{cm}$，新面积为：
$\begin{aligned}S&=(a+2)(b+2)\\&=ab+2a+2b+4\\&=ab+2(a+b)+4\end{aligned}$
4. 将$a+b=6$、$ab=7$代入上式：
$S=7+2×6+4=7+12+4=23(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$23\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
整式的乘法运算，长方形周长与面积计算，整体代入求值
【点评】
本题巧妙结合整式乘法和整体代入思想求解面积，无需单独计算长、宽的具体数值，利用已知的整体量代入即可快速得到结果，有效降低了计算复杂度，是整式乘法在几何计算中的典型应用。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：原长方形周长12cm、面积7cm²，需求长宽各增加2cm后的新长方形面积。第一步根据长方形周长公式可直接得到“长+宽”的整体值，根据面积公式得到“长×宽”的整体值；第二步表示出新长方形的面积为(长+2)(宽+2)，若单独求解长、宽的具体数值需要解一元二次方程，计算较复杂，而用整式乘法展开新面积的表达式后，会发现式子可整理为含“长+宽”、“长×宽”的形式，直接代入已知的整体值计算即可，简化运算过程。
【解析】
设原长方形的长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$。
1. 根据长方形周长公式：$2(a+b)=12$，解得$a+b=6$；
2. 根据长方形面积公式：$ab=7$；
3. 长、宽各增加2cm后，新长方形的长为$(a+2)\ \mathrm{cm}$，宽为$(b+2)\ \mathrm{cm}$，新面积为：
$\begin{aligned}S&=(a+2)(b+2)\\&=ab+2a+2b+4\\&=ab+2(a+b)+4\end{aligned}$
4. 将$a+b=6$、$ab=7$代入上式：
$S=7+2×6+4=7+12+4=23(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$23\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
整式的乘法运算，长方形周长与面积计算，整体代入求值
【点评】
本题巧妙结合整式乘法和整体代入思想求解面积，无需单独计算长、宽的具体数值，利用已知的整体量代入即可快速得到结果，有效降低了计算复杂度，是整式乘法在几何计算中的典型应用。
【难度系数】
0.7
14.对于任意实数$a,b,c,d$,我们将式子$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$称为二阶行列式,并且规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$.若$x^2 -3x -2=0$,求$\begin{vmatrix} x+1 & 3x \\ x-2 & x-1 \end{vmatrix}$的值.
答案
14.$-5$
解析
【分析】
解题时首先要理解二阶行列式的运算规则，先按照规则将行列式展开为整式运算，再通过整式的乘法、合并同类项对式子进行化简，最后观察化简结果与已知方程的关系，采用整体代入的方法求值，不需要直接求解x的值，简化计算过程。
【解析】
根据二阶行列式的运算规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x+1 & 3x \\ x-2 & x-1 \end{vmatrix}=(x+1)(x-1)-3x(x-2)$
先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
原式$=x^2-1-(3x^2-6x)$
去括号、合并同类项：
原式$=x^2-1-3x^2+6x=-2x^2+6x-1$
由已知$x^2-3x-2=0$，变形得$x^2-3x=2$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=-2(x^2-3x)-1=-2×2 -1=-4-1=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
新定义运算，整式乘法，整体代入求值
【点评】
本题将新定义运算和整式运算相结合，重点考查对新规则的理解能力和整体代入思想的应用，解题核心是正确展开行列式并将式子变形为与已知条件相关的形式，避免解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解二阶行列式的运算规则，先按照规则将行列式展开为整式运算，再通过整式的乘法、合并同类项对式子进行化简，最后观察化简结果与已知方程的关系，采用整体代入的方法求值，不需要直接求解x的值，简化计算过程。
【解析】
根据二阶行列式的运算规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x+1 & 3x \\ x-2 & x-1 \end{vmatrix}=(x+1)(x-1)-3x(x-2)$
先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
原式$=x^2-1-(3x^2-6x)$
去括号、合并同类项：
原式$=x^2-1-3x^2+6x=-2x^2+6x-1$
由已知$x^2-3x-2=0$，变形得$x^2-3x=2$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=-2(x^2-3x)-1=-2×2 -1=-4-1=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
新定义运算，整式乘法，整体代入求值
【点评】
本题将新定义运算和整式运算相结合，重点考查对新规则的理解能力和整体代入思想的应用，解题核心是正确展开行列式并将式子变形为与已知条件相关的形式，避免解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
