14.[学科素养·推理能力]如图,已知线段AB=10 cm,CD=2 cm,点E是AC的中点,点F是BD的中点.

(1)若AC=3 cm,求线段EF的长度；
(2)当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时,试判断线段EF的长度是否发生变化,如果不变,请求出线段EF的长度；如果变化,请说明理由.

14.解:(1)因为$AC=3\ \mathrm{cm}$,$CD=2\ \mathrm{cm}$,所以$BD=AB-AC-CD=10-3-2=5(\mathrm{cm})$.因为点$E$是$AC$的中点,点$F$是$BD$的中点,所以$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}(\mathrm{cm})$,$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}(\mathrm{cm})$,所以$EF=EC+CD+DF=\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}=6(\mathrm{cm})$.
(2)线段$EF$的长度不发生变化.因为点$E$是$AC$的中点,点$F$是$BD$的中点,所以$AE=\frac{1}{2}AC$,$BF=\frac{1}{2}BD$,所以$EF=AB-AE-BF=AB-\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)=AB-\frac{1}{2}(AB-CD)=10-\frac{1}{2}×(10-2)=6(\mathrm{cm})$.

【分析】
(1) 求解第一问时，先根据线段AB、AC、CD的长度，通过线段和差关系算出BD的长度；再结合点E、F分别是AC、BD中点的性质，求出EC和DF的长度；最后根据EF由EC、CD、DF三部分组成，求和即可得到EF的长度。
(2) 求解第二问时，无需考虑CD的具体位置，利用中点性质将AE、BF分别用AC、BD表示，再把EF转化为AB减去AE和BF的差，将AC+BD替换为AB-CD，通过整体代入即可算出EF的定值，判断其长度不变。
【解析】
(1) 已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系可得：
$BD=AB-AC-CD=10-3-2=5(\mathrm{cm})$
因为点E是AC的中点，点F是BD的中点，根据线段中点的性质：
$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}(\mathrm{cm})$，$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}(\mathrm{cm})$
因此$EF=EC+CD+DF=\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}=6(\mathrm{cm})$。
(2) 线段EF的长度不发生变化，理由如下：
因为点E是AC的中点，点F是BD的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AC$，$BF=\frac{1}{2}BD$。
根据线段和差关系，$EF=AB-AE-BF$，代入中点结论可得：
$EF=AB-\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)$
又因为$AC+BD=AB-CD$，代入得：
$EF=AB-\frac{1}{2}(AB-CD)=10-\frac{1}{2}×(10-2)=6(\mathrm{cm})$
因此无论CD如何运动，EF的长度固定不变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；
(2) 线段EF的长度不发生变化，长度为$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算；整体思想求值
【点评】
本题第一问是基础的线段和差与中点结合的计算，第二问通过整体代入的方法避开了动态线段位置变化的干扰，能有效锻炼逻辑推理能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7

15. 下列换算中，错误的是 （）

A.$47.28°=47°16'48''$
B.$83.5°=83°50'$
C.$16°5'24''=16.09°$
D.$0.25°=900''$

15.B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确度、分、秒是角度的常用单位，相邻单位之间的进率为60，即$1°=60'$，$1'=60''$。大单位换算为小单位时乘进率60，小单位换算为大单位时除以进率60。解题时我们只需按照换算规则逐一验证每个选项的换算是否正确，即可找到错误的选项。
【解析】
首先明确角度单位换算规则：$1°=60'$，$1'=60''$，$1°=3600''$。
验证A选项：$47.28°$的整数部分为$47°$，剩余$0.28°$换算成分：$0.28×60'=16.8'$，$16.8'$的整数部分为$16'$，剩余$0.8'$换算成秒：$0.8×60''=48''$，因此$47.28°=47°16'48''$，A换算正确。
验证B选项：$83.5°$的整数部分为$83°$，剩余$0.5°$换算成分：$0.5×60'=30'$，因此$83.5°=83°30'≠83°50'$，B换算错误。
验证C选项：先把$24''$换算成分：$24÷60'=0.4'$，加上原有$5'$得$5.4'$，再把$5.4'$换算成度：$5.4÷60°=0.09°$，加上原有$16°$得$16.09°$，因此$16°5'24''=16.09°$，C换算正确。
验证D选项：$0.25°$换算成秒：$0.25×3600''=900''$，D换算正确。
综上，换算错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算、角度单位进率
【点评】
本题主要考查角度单位的换算，解题的核心是牢记度分秒相邻单位间是60进制，换算时注意区分大单位转小单位和小单位转大单位的计算方法，避免误按十进制计算导致出错。
【难度系数】
0.7

16. 如图，已知$∠ AOB : ∠ BOC = 2 : 3$，$∠ AOC=75°$，那么$∠ AOB=$（）

A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$45°$

16.B

【分析】
首先观察图形可得∠AOC由∠AOB和∠BOC组成，即∠AOB+∠BOC=∠AOC=75°。已知两个角的度数比为2:3，我们可以通过设未知数的方法，将∠AOB设为2份，∠BOC设为3份，先求出每份对应的度数，再计算∠AOB的度数即可。
【解析】
解：由图形可知，∠AOB + ∠BOC = ∠AOC = 75°，
∵ ∠AOB:∠BOC = 2:3，
∴ 设∠AOB = 2x，∠BOC = 3x，
代入角的和关系可得：2x + 3x = 75°，
合并同类项得5x = 75°，
解得x = 15°，
因此∠AOB = 2x = 2×15° = 30°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算；按比例分配
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是结合图形明确各角之间的和差关系，再结合已知的比例关系列式求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.85

17.如图,在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西$56°$的方向,同时轮船B在南偏东$17°$的方向,那么$∠ AOB$的大小为（）


A.$159°$
B.$141°$
C.$111°$
D.$69°$

17.B

【分析】
解题时首先要明确方位角的含义：北偏西56°是指以观测点O为顶点，正北方向为始边，向西旋转56°得到轮船A的方向线OA；南偏东17°是指以O为顶点，正南方向为始边，向东旋转17°得到轮船B的方向线OB。已知正北和正南方向在同一直线上，夹角为平角180°，我们可以通过角的和差关系计算∠AOB的大小：用正北正南的平角180°减去OA与正北方向的夹角56°，再加上OB与正南方向的夹角17°即可得到结果。
【解析】
解：由方位角的定义可知：
OA与O点正北方向的夹角为56°，OB与O点正南方向的夹角为17°，
又
∵正北方向与正南方向的夹角为180°，
∴∠AOB = 180° - 56° + 17° = 141°。
【答案】
B
【知识点】
方位角的识别，角的和差计算，平角的定义
【点评】
本题是方位角相关的基础计算题，解题核心是准确理解方位角的含义，明确各方位方向间的固定夹角，结合角的和差运算即可求解。
【难度系数】
0.8

18. 如图，已知$∠ AOB = 150°$，$∠ COD = 40°$，$∠ COD$在$∠ AOB$的内部绕点$O$任意旋转。若$OE$平分$∠ AOC$，则$2∠ BOE - ∠ BOD =$。

18.$110°$

【分析】
解题时可先设∠BOC为未知数x，结合已知角的度数表示出其余相关角：首先根据角平分线的性质得到∠EOC的表达式，再分别表示出∠BOE和∠BOD，代入所求式子化简，过程中未知数会抵消，即可得到定值。
【解析】
设∠BOC = x，
∵ ∠AOB = 150°，
∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 150° - x，
∵ OE平分∠AOC，
∴ ∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{150° - x}{2}$，
∴ ∠BOE = ∠EOC + ∠BOC = $\frac{150° - x}{2}$ + x = 75° + $\frac{x}{2}$，
则2∠BOE = 2×(75° + $\frac{x}{2}$) = 150° + x，
又
∵ ∠COD = 40°，
∴ ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = x + 40°，
∴ 2∠BOE - ∠BOD = (150° + x) - (x + 40°) = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角的计算中的定值问题，不用考虑∠COD的具体旋转位置，通过设参数表示各角后代入化简，参数会自动消去得到结果，考查了代数式化简和角的基本运算能力。
【难度系数】
0.6

19.如图,将两块直角三角尺叠放在一起.
(1)若$∠ DCE=25°$,求$∠ ACB$的度数;
(2)若$∠ ACB=140°$,求$∠ DCE$的度数;
(3)猜想$∠ ACB$与$∠ DCE$的关系,并说明理由.

19.解:(1)因为$∠ACD=∠ECB=90°$,$∠DCE=25°$,所以$∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ECB-∠DCE=180°-ECD=155°$.
(2)由(1)知$∠ACB=180°-∠ECD$,所以$∠ECD=180°-∠ACB=40°$.
(3)$∠ACB+∠DCE=180°$,理由如下:因为$∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+90°-∠DCE$,所以$∠ACB+∠DCE=180°$,即$∠ACB$与$∠DCE$互补.

【分析】
这道题的核心是利用两块直角三角尺的直角均为90°的性质，通过角的和差关系推导∠ACB与∠DCE的数量关系。解前两问时，先明确∠ACB可拆分为∠ACD+∠DCB，而∠DCB=∠ECB-∠DCE，代入已知角度即可计算；第三问则通过前两问的计算规律，整理两个角的表达式即可得出它们的数量关系。
【解析】
(1) 由题意得∠ACD=∠ECB=90°，
已知∠DCE=25°，
则$∠ ACB=∠ ACD + ∠ DCB$
$=∠ ACD + (∠ ECB - ∠ DCE)$
$=90°+90°-25°$
$=155°$
(2) 由(1)可得推导关系：$∠ ACB=180°-∠ DCE$，
已知$∠ ACB=140°$，
则$∠ DCE=180°-∠ ACB=180°-140°=40°$
(3) 猜想：$∠ ACB + ∠ DCE=180°$，理由如下：
$\because ∠ ACB=∠ ACD + ∠ DCB=90° + (90° - ∠ DCE)$
$\therefore ∠ ACB=180° - ∠ DCE$
移项得$∠ ACB + ∠ DCE=180°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{155°}$
(2) $\boldsymbol{40°}$
(3) $\boldsymbol{∠ ACB + ∠ DCE=180°}$（或$∠ ACB$与$∠ DCE$互补）
【知识点】
角的和差运算、互补的定义、直角的性质
【点评】
本题以直角三角板为载体考查角的数量关系推导，解题的关键是准确拆分角的组成，梳理不同角之间的和差关系，熟练掌握角的基本运算即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

20.点 O 在直线 AB 上，∠BOC=2∠AOC.
(1)如图1，求∠AOC 的度数；
(2)OD，OE 的位置如图 2 所示，∠DOE=3∠BOD，猜想∠COE 与∠COD 的数量关系并说明理由；
(3)如图 3，在(2)的条件下，作∠COF=∠COD，OG 为∠AOE 的平分线，求∠FOG 的度数.

20.解:(1)因为点$O$在直线$AB$上,$∠BOC=2∠AOC$,所以$∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=60°$.
(2)$∠COE=2∠COD$.理由如下:因为$∠DOE=3∠BOD$,所以$∠BOE=2∠BOD$.由(1)可得$∠BOC=120°$,所以$∠COE=360°-∠BOC-∠BOE=240°-2∠BOD$.因为$∠COD=∠BOC-∠BOD=120°-∠BOD$,所以$∠COE=2∠COD$.
(3)因为$∠COF=∠COD$,$∠COE=2∠COD$,所以$∠COF=\frac{1}{2}∠COE$,即$OF$是$∠COE$的平分线,所以$∠EOF=\frac{1}{2}∠COE$.又因为$OG$为$∠AOE$的平分线,所以$∠EOG=\frac{1}{2}∠EOA$,所以$∠FOG=∠EOF-∠EOG=\frac{1}{2}∠COE -\frac{1}{2} EOA = \frac{1}{2}（∠COE -∠EOA）=\frac{1}{2}∠AOC=30°$.

【分析】
(1) 首先利用平角的性质：点O在直线AB上时∠AOB=180°，结合已知∠BOC和∠AOC的倍数关系，将180°按比例分配即可求出∠AOC的度数。
(2) 先从∠DOE=3∠BOD推导出∠BOE和∠BOD的数量关系，再结合(1)中得到的∠BOC度数，分别用含∠BOD的式子表示∠COE和∠COD，对比即可得到二者的数量关系。
(3) 先根据∠COF=∠COD和(2)的结论推出OF是∠COE的平分线，再结合OG是∠AOE的平分线，将∠FOG转化为两个角平分线分得的角的差，提取公因式后即可关联到已知的∠AOC的度数，代入计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，即∠AOC+∠BOC=180°，
又
∵∠BOC=2∠AOC，
∴∠AOC+2∠AOC=180°，即3∠AOC=180°，
解得∠AOC=60°。
(2) 猜想：∠COE=2∠COD，理由如下：
∵∠DOE=3∠BOD，且∠DOE=∠BOD+∠BOE，
∴3∠BOD=∠BOD+∠BOE，化简得∠BOE=2∠BOD，
由(1)可得∠BOC=180°-∠AOC=120°，
∴∠COD=∠BOC - ∠BOD=120°-∠BOD，
∠COE=360°-∠BOC - ∠BOE=360°-120°-2∠BOD=240°-2∠BOD=2(120°-∠BOD)，
∴∠COE=2∠COD。
(3) 解：
∵∠COF=∠COD，且由(2)知∠COE=2∠COD，
∴∠COE=2∠COF，即OF是∠COE的平分线，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠COE，
∵OG为∠AOE的平分线，
∴∠EOG=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠FOG=∠EOF - ∠EOG=$\frac{1}{2}$∠COE - $\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$(∠COE - ∠AOE)，
又
∵∠COE - ∠AOE=∠AOC=60°，
∴∠FOG=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOC=60°}$；
(2) $\boldsymbol{∠COE=2∠COD}$；
(3) $\boldsymbol{∠FOG=30°}$。
【知识点】
平角的定义，角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的综合题，三个小问层层递进，既考查了基础的平角、周角性质，也涉及角的倍数关系转化、角平分线性质的灵活运用，能有效提升角度推导和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6