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一、选择题
1. 如图(1),在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成图(2)所示的一个圆锥模型,设图(1)中圆的半径为$r$,扇形半径为$R$,则圆的半径与扇形半径之间的关系为().
A.$R=2r$
B.$R=\frac{9}{4}r$
C.$R=3r$
D.$R=4r$
1. 如图(1),在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成图(2)所示的一个圆锥模型,设图(1)中圆的半径为$r$,扇形半径为$R$,则圆的半径与扇形半径之间的关系为().
A.$R=2r$
B.$R=\frac{9}{4}r$
C.$R=3r$
D.$R=4r$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要抓住“恰好围成圆锥”这个核心条件，其含义是剪下的扇形作为圆锥的侧面、小圆作为圆锥的底面，因此扇形的弧长等于底面圆的周长，这是本题的核心等量关系。其次结合“在正方形铁皮上裁剪”的前提，可知扇形的圆心角为正方形的内角90°，是本题的隐含条件。接下来分别代入弧长公式和圆的周长公式列等式，化简即可得到R与r的关系。
【解析】
∵扇形和圆恰好围成圆锥模型
∴扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长
由题意得，扇形的圆心角为正方形的内角90°
根据弧长公式，扇形弧长$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π R}{180}=\frac{π R}{2}$
底面圆的周长$C=2π r$
因此可得等量关系：$\frac{π R}{2}=2π r$
两边同时约去$π$，得$\frac{R}{2}=2r$，解得$R=4r$
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
这道题属于圆锥与扇形展开结合的基础题型，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面周长相等的对应关系，同时注意挖掘题目中扇形圆心角为90°的隐含条件，熟练掌握相关公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住“恰好围成圆锥”这个核心条件，其含义是剪下的扇形作为圆锥的侧面、小圆作为圆锥的底面，因此扇形的弧长等于底面圆的周长，这是本题的核心等量关系。其次结合“在正方形铁皮上裁剪”的前提，可知扇形的圆心角为正方形的内角90°，是本题的隐含条件。接下来分别代入弧长公式和圆的周长公式列等式，化简即可得到R与r的关系。
【解析】
∵扇形和圆恰好围成圆锥模型
∴扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长
由题意得，扇形的圆心角为正方形的内角90°
根据弧长公式，扇形弧长$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π R}{180}=\frac{π R}{2}$
底面圆的周长$C=2π r$
因此可得等量关系：$\frac{π R}{2}=2π r$
两边同时约去$π$，得$\frac{R}{2}=2r$，解得$R=4r$
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
这道题属于圆锥与扇形展开结合的基础题型，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面周长相等的对应关系，同时注意挖掘题目中扇形圆心角为90°的隐含条件，熟练掌握相关公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，矩形$ABCD$内接于$\odot O$，分别以$AB$，$BC$，$CD$，$AD$为直径向外作半圆.若$AB=4$，$BC=5$，则阴影部分的面积是().
A.$\dfrac{41}{4}π -20$
B.$\dfrac{41}{2}π -20$
C.$20π$
D.$20$
A.$\dfrac{41}{4}π -20$
B.$\dfrac{41}{2}π -20$
C.$20π$
D.$20$
答案
D
解析
【分析】
求解本题的核心是用割补法拆分阴影面积：阴影部分由4个以矩形边为直径向外作的半圆扣除与外接圆重叠的部分组成，因此阴影面积=4个小半圆的总面积+矩形面积-矩形外接圆的面积。接下来分别计算三个部分的面积，再结合勾股定理可以发现4个小半圆的总面积恰好等于外接圆的面积，最后代入矩形面积即可快速得到结果，不需要复杂的π相关运算。
【解析】
步骤1：计算4个向外作的小半圆的总面积
已知矩形ABCD中AB=CD=4，BC=AD=5，
以AB、CD为直径的半圆半径$r_1=\frac{AB}{2}=2$，2个该类半圆的面积和为$2×\frac{1}{2}π r_1^2=π×2^2=4π$；
以BC、AD为直径的半圆半径$r_2=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$，2个该类半圆的面积和为$2×\frac{1}{2}π r_2^2=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{4}$；
因此4个小半圆的总面积$S_{半总}=4π+\frac{25π}{4}=\frac{41π}{4}$。
步骤2：计算矩形外接圆$\odot O$的面积
矩形内接于$\odot O$，因此对角线AC是$\odot O$的直径，由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2=4^2+5^2=41$，
$\odot O$的面积$S_圆=π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{π× AC^2}{4}=\frac{41π}{4}$。
步骤3：计算阴影面积
观察图形可得：$S_{阴}=S_{半总}+S_{矩形}-S_圆$，
矩形面积$S_{矩形}=AB× BC=4×5=20$，代入得：
$S_{阴}=\frac{41π}{4}+20-\frac{41π}{4}=20$。
【答案】
D
【知识点】
割补法求阴影面积；圆的面积计算；勾股定理
【点评】
本题是典型的阴影面积巧算题，解题关键是合理拆分阴影面积的构成，利用勾股定理可以发现四个小半圆面积和等于外接圆面积，省去了复杂的含π运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
求解本题的核心是用割补法拆分阴影面积：阴影部分由4个以矩形边为直径向外作的半圆扣除与外接圆重叠的部分组成，因此阴影面积=4个小半圆的总面积+矩形面积-矩形外接圆的面积。接下来分别计算三个部分的面积，再结合勾股定理可以发现4个小半圆的总面积恰好等于外接圆的面积，最后代入矩形面积即可快速得到结果，不需要复杂的π相关运算。
【解析】
步骤1：计算4个向外作的小半圆的总面积
已知矩形ABCD中AB=CD=4，BC=AD=5，
以AB、CD为直径的半圆半径$r_1=\frac{AB}{2}=2$，2个该类半圆的面积和为$2×\frac{1}{2}π r_1^2=π×2^2=4π$；
以BC、AD为直径的半圆半径$r_2=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$，2个该类半圆的面积和为$2×\frac{1}{2}π r_2^2=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{4}$；
因此4个小半圆的总面积$S_{半总}=4π+\frac{25π}{4}=\frac{41π}{4}$。
步骤2：计算矩形外接圆$\odot O$的面积
矩形内接于$\odot O$，因此对角线AC是$\odot O$的直径，由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2=4^2+5^2=41$，
$\odot O$的面积$S_圆=π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{π× AC^2}{4}=\frac{41π}{4}$。
步骤3：计算阴影面积
观察图形可得：$S_{阴}=S_{半总}+S_{矩形}-S_圆$，
矩形面积$S_{矩形}=AB× BC=4×5=20$，代入得：
$S_{阴}=\frac{41π}{4}+20-\frac{41π}{4}=20$。
【答案】
D
【知识点】
割补法求阴影面积；圆的面积计算；勾股定理
【点评】
本题是典型的阴影面积巧算题，解题关键是合理拆分阴影面积的构成，利用勾股定理可以发现四个小半圆面积和等于外接圆面积，省去了复杂的含π运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C$为锐角,$AB=4$,$AC=2$,分别以$AB$,$AC$为直径作半圆,再过点$B$,$A$作$\overset{\frown}{BA}$,过点$A$,$C$作$\overset{\frown}{AC}$.$S_3$,$S_4$分别表示图中阴影部分的面积,$S_1$,$S_2$分别表示图中空白部分的面积,若$S_3 - S_4 = \frac{π}{4}$,则$S_1 - S_2$的值是().
A.$\frac{29π}{4}$
B.$\frac{23π}{4}$
C.$\frac{11π}{4}$
D.$\frac{5π}{4}$
A.$\frac{29π}{4}$
B.$\frac{23π}{4}$
C.$\frac{11π}{4}$
D.$\frac{5π}{4}$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是利用整体代换思想，先梳理各部分面积与两个半圆面积的关系：首先分别计算以AB、AC为直径的半圆面积，再将S₁、S₂用对应半圆面积和阴影面积的关系表示，代入S₁-S₂的表达式后，结合已知S₃-S₄=π/4即可求出结果，不需要单独计算每个区域的面积。
【解析】
1. 计算两个半圆的面积：
以AB为直径的半圆半径$r_1=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$，面积为：
$S_{\mathrm{大半圆}}=\frac{1}{2}π r_1^2=\frac{1}{2}π×2^2=2π$
由图形可知$S_{\mathrm{大半圆}}=S_1+S_3$，因此$S_1=2π - S_3$。
以AC为直径的半圆半径$r_2=\frac{AC}{2}=\frac{2}{2}=1$，面积为：
$S_{\mathrm{小半圆}}=\frac{1}{2}π r_2^2=\frac{1}{2}π×1^2=\frac{π}{2}$
由图形可知$S_{\mathrm{小半圆}}=S_2+S_4$，因此$S_2=\frac{π}{2} - S_4$。
2. 推导S₁-S₂的表达式并计算：
将$S_1$、$S_2$代入得：
$\begin{aligned}S_1-S_2&=(2π - S_3)-(\frac{π}{2} - S_4)\\&=2π - \frac{π}{2} - (S_3 - S_4)\end{aligned}$
将$S_3-S_4=\frac{π}{4}$代入上式：
$S_1-S_2=\frac{3π}{2}-\frac{π}{4}=\frac{6π}{4}-\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$
【答案】
D
【知识点】
半圆面积计算，面积和差关系，整体代换
【点评】
本题侧重考查对图形面积关系的梳理能力，避开单独计算零散区域面积的复杂思路，用整体代换就能快速求解，解题的关键是准确建立半圆面积和标注区域面积的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题的核心是利用整体代换思想，先梳理各部分面积与两个半圆面积的关系：首先分别计算以AB、AC为直径的半圆面积，再将S₁、S₂用对应半圆面积和阴影面积的关系表示，代入S₁-S₂的表达式后，结合已知S₃-S₄=π/4即可求出结果，不需要单独计算每个区域的面积。
【解析】
1. 计算两个半圆的面积：
以AB为直径的半圆半径$r_1=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$，面积为：
$S_{\mathrm{大半圆}}=\frac{1}{2}π r_1^2=\frac{1}{2}π×2^2=2π$
由图形可知$S_{\mathrm{大半圆}}=S_1+S_3$，因此$S_1=2π - S_3$。
以AC为直径的半圆半径$r_2=\frac{AC}{2}=\frac{2}{2}=1$，面积为：
$S_{\mathrm{小半圆}}=\frac{1}{2}π r_2^2=\frac{1}{2}π×1^2=\frac{π}{2}$
由图形可知$S_{\mathrm{小半圆}}=S_2+S_4$，因此$S_2=\frac{π}{2} - S_4$。
2. 推导S₁-S₂的表达式并计算：
将$S_1$、$S_2$代入得：
$\begin{aligned}S_1-S_2&=(2π - S_3)-(\frac{π}{2} - S_4)\\&=2π - \frac{π}{2} - (S_3 - S_4)\end{aligned}$
将$S_3-S_4=\frac{π}{4}$代入上式：
$S_1-S_2=\frac{3π}{2}-\frac{π}{4}=\frac{6π}{4}-\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$
【答案】
D
【知识点】
半圆面积计算，面积和差关系，整体代换
【点评】
本题侧重考查对图形面积关系的梳理能力，避开单独计算零散区域面积的复杂思路，用整体代换就能快速求解，解题的关键是准确建立半圆面积和标注区域面积的对应关系。
【难度系数】
0.6
4. 如图(1),从半径为5 cm 的圆形纸片上剪去一个扇形,剪去的扇形面积是圆形纸片面积的$\frac{1}{5}$,将留下的扇形围成一个如图(2)所示的圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高是 cm.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，先根据剪去扇形的面积占比，求出留下扇形的弧长；其次，留下的扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，据此求出圆锥的底面半径；最后，圆锥的母线长等于原圆形纸片的半径，结合勾股定理即可求出圆锥的高。
【解析】
已知原圆形纸片半径$R=5\mathrm{cm}$，
1. 求留下扇形的弧长：
原圆的周长为$C=2πR=2π×5=10π\ \mathrm{cm}$，
因为剪去的扇形面积是圆面积的$\frac{1}{5}$，所以留下扇形的弧长为原周长的$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，
则留下扇形的弧长$l=10π×\frac{4}{5}=8π\ \mathrm{cm}$。
2. 求圆锥底面半径$r$：
扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面周长，即$2πr=l=8π$，
解得$r=4\ \mathrm{cm}$。
3. 求圆锥的高$h$：
圆锥的母线长等于原圆形半径$5\mathrm{cm}$，根据勾股定理，圆锥的高、底面半径、母线长满足$h^2 + r^2 = R^2$，
代入数值得$h=\sqrt{R^2 - r^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
弧长计算，圆锥的展开图，勾股定理
【点评】
本题重点考查扇形与圆锥之间的转化关系，解题的核心是明确扇形弧长等于圆锥底面周长，结合勾股定理即可求解，是扇形和圆锥相关知识的典型应用题目。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，先根据剪去扇形的面积占比，求出留下扇形的弧长；其次，留下的扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，据此求出圆锥的底面半径；最后，圆锥的母线长等于原圆形纸片的半径，结合勾股定理即可求出圆锥的高。
【解析】
已知原圆形纸片半径$R=5\mathrm{cm}$，
1. 求留下扇形的弧长：
原圆的周长为$C=2πR=2π×5=10π\ \mathrm{cm}$，
因为剪去的扇形面积是圆面积的$\frac{1}{5}$，所以留下扇形的弧长为原周长的$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，
则留下扇形的弧长$l=10π×\frac{4}{5}=8π\ \mathrm{cm}$。
2. 求圆锥底面半径$r$：
扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面周长，即$2πr=l=8π$，
解得$r=4\ \mathrm{cm}$。
3. 求圆锥的高$h$：
圆锥的母线长等于原圆形半径$5\mathrm{cm}$，根据勾股定理，圆锥的高、底面半径、母线长满足$h^2 + r^2 = R^2$，
代入数值得$h=\sqrt{R^2 - r^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
弧长计算，圆锥的展开图，勾股定理
【点评】
本题重点考查扇形与圆锥之间的转化关系，解题的核心是明确扇形弧长等于圆锥底面周长，结合勾股定理即可求解，是扇形和圆锥相关知识的典型应用题目。
【难度系数】
0.7
