5. 如图，$\odot O_1$，$\odot O_2$是半径为6的两个等圆，$\odot O_1$的圆心$O_1$在$\odot O_2$上，则图中阴影部分的面积是。

$\boldsymbol{24π - 18\sqrt{3}}$

【分析】
阴影部分是两个等圆的重叠区域，已知两圆半径均为6，且$O_1$在$\odot O_2$上，因此圆心距$O_1O_2=6$。解题思路：①连接$O_1A、O_1B、O_2A、O_2B$，根据圆的半径相等可证$△ O_1AO_2$、$△ O_1BO_2$都是等边三角形，得到扇形的圆心角$∠ AO_1B=∠ AO_2B=120°$；②利用割补法，阴影部分面积可转化为2个圆心角为$120°$的扇形面积之和，减去菱形$O_1AO_2B$的面积，即可求出结果。
【解析】
解：连接$O_1A、O_1B、O_2A、O_2B、O_1O_2$。
∵$\odot O_1$和$\odot O_2$是半径为6的等圆，且$O_1$在$\odot O_2$上，
∴$O_1A=O_1O_2=O_2A=O_1B=O_2B=6$，
∴$△ O_1AO_2$、$△ O_1BO_2$均为等边三角形，
∴$∠ AO_1O_2=∠ BO_1O_2=60°$，$∠ AO_2O_1=∠ BO_2O_1=60°$，
即$∠ AO_1B=∠ AO_2B=120°$。
单个圆心角为$120°$的扇形面积：
$S_{扇形}=\frac{120°}{360°}×π r^2=\frac{1}{3}×π×6^2=12π$，
两个扇形面积和为$2×12π=24π$。
菱形$O_1AO_2B$的对角线：$O_1O_2=6$，$AB=2×\sqrt{6^2-3^2}=6\sqrt{3}$，
菱形面积：$S_{菱形}=\frac{1}{2}× 对角线乘积=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$。
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=2S_{扇形}-S_{菱形}=24π-18\sqrt{3}$。
【答案】
$24π - 18\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，菱形面积计算，等边三角形的性质
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心是通过割补法将不规则阴影转化为规则图形的面积和差，解题关键是利用圆半径相等的性质推出等边三角形，得到扇形的圆心角度数。
【难度系数】
0.6

6. 有一位工人师傅将底面直径是10 cm、高为80 cm的圆柱，锻造成底面直径为40 cm的圆柱，则锻造后圆柱的高是 cm.

$\boldsymbol{5}$

【分析】
解决这道题的核心是抓住“锻造前后物体的体积不变”这一等量关系。首先回忆圆柱的体积公式，分别表示出锻造前、后圆柱的体积，再根据体积相等列方程求解即可。解题时需注意题目给出的是底面直径，计算体积前要先换算为底面半径。
【解析】
设锻造后圆柱的高是$ h $ cm。
圆柱体积公式为$ V=π r^2h $（$ r $为底面半径，$ h $为高）。
锻造前圆柱底面半径为$ \frac{10}{2}=5 $ cm，体积为：
$ V_1=π×5^2×80=2000π \ \mathrm{cm}^3 $
锻造后圆柱底面半径为$ \frac{40}{2}=20 $ cm，体积为：
$ V_2=π×20^2× h=400π h \ \mathrm{cm}^3 $
由锻造前后体积相等可得$ V_1=V_2 $，即：
$ 2000π=400π h $
两边同时消去$ π $，解得$ h=5 $。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
圆柱体积计算，等积变换，一元一次方程应用
【点评】
本题是等积变形类基础题，解题的关键是明确锻造过程中体积始终保持不变，计算时要注意区分底面直径和半径，避免代入数据出错。
【难度系数】
0.8

三、解答题
7. 如图，一根绳子与半径为 30 cm 的滑轮的接触部分是$\overset{\frown}{CD}$，绳子 AC 和 BD 所在的直线成$30°$的角.请你测算一下接触部分$\overset{\frown}{CD}$的长.($π$取 3.14)

解：
连接OC、OD，
∵ AC、BD是⊙O的切线，C、D为切点，
∴ OC⊥AC，OD⊥BD，即∠OCA=∠ODB=90°。
延长AC、BD交于点P，由题意得∠P=30°。
在四边形OCPD中，∠P + ∠OCP + ∠ODP + ∠COD = 360°，
∴ ∠COD = 360° - 90° - 90° - 30° = 150°，
接触部分$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角为 $360° - 150° = 210°$。
根据弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=210$，$r=30$，$π=3.14$：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{210×3.14×30}{180}=109.9\ \mathrm{cm}$
答：接触部分$\overset{\frown}{CD}$的长为109.9 cm。

【分析】
要求接触部分$\overset{\frown}{CD}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，已知滑轮半径$r=30\mathrm{cm}$，因此核心是求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$n$。首先根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，因此连接$OC$、$OD$可得到两个直角；其次绳子$AC$、$BD$所在直线夹角为$30°$，延长两线交于点$P$可得$∠ P=30°$，利用四边形内角和为$360°$可先求出劣弧$CD$对应的圆心角$∠ COD$，再结合接触部分是滑轮上的优弧$CD$，算出优弧对应的圆心角，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$OC$、$OD$，
∵ $AC$、$BD$是$\odot O$的切线，$C$、$D$为切点，
∴ $OC⊥ AC$，$OD⊥ BD$，即$∠ OCA=∠ ODB=90°$。
延长$AC$、$BD$交于点$P$，由题意得$∠ P=30°$。
在四边形$OCPD$中，$∠ P + ∠ OCP + ∠ ODP + ∠ COD = 360°$，
∴ $∠ COD = 360° - 90° - 90° - 30° = 150°$，
接触部分$\overset{\frown}{CD}$为优弧，所对的圆心角为 $360° - 150° = 210°$。
根据弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=210$，$r=30$，$π=3.14$：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{210×3.14×30}{180}=109.9\ \mathrm{cm}$
【答案】
接触部分$\overset{\frown}{CD}$的长为$109.9\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；弧长计算
【点评】
本题是圆的性质与弧长计算的综合应用题，解题的关键是明确接触弧对应的是优弧，准确求出其圆心角，计算时要注意圆心角的单位为角度，避免误算劣弧长度。
【难度系数】
0.7

8. 如图，以纸杯ACFE为基础，延长AC，EF交于点O，形成圆锥O-AE，该圆锥的侧面展开图形是扇形AOB。经测量，纸杯上开口圆的直径为6 cm，下底面圆的直径为4 cm，母线EF=8 cm。求扇形AOB的圆心角及这个纸杯的表面积。

（单位：cm）

解：设扇形AOB的圆心角为$n°$，$OC$的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则$OA=(x+8)\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式，得：
$\begin{cases}\frac{nπ(x+8)}{180} = 6π \\\frac{nπ x}{180} = 4π\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}n(x+8) = 1080 \\nx = 720\end{cases}$
两式相减得：$8n=360$，解得$n=45$。
将$n=45$代入$nx=720$，得$45x=720$，解得$x=16$。
即扇形AOB的圆心角为$45°$，$OC=16\ \mathrm{cm}$，$OA=24\ \mathrm{cm}$。
纸杯的侧面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{侧}} &= S_{\mathrm{扇形}AOB} - S_{\mathrm{扇形}COD} \\&= \frac{1}{2} × 6π × 24 - \frac{1}{2} × 4π × 16 \\&= 72π - 32π = 40π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
纸杯的下底面积为：
$S_{\mathrm{底}} = π × (\frac{4}{2})^2 = 4π\ (\mathrm{cm}^2)$
纸杯的表面积为：
$S_{\mathrm{表}} = 40π + 4π = 44π\ (\mathrm{cm}^2)$
答：扇形AOB的圆心角为$45°$，这个纸杯的表面积为$44π\ \mathrm{cm}^2$。

【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步求扇形的圆心角，圆台上下底的周长分别对应侧面展开图中大小两个扇形的弧长，我们可以设圆心角为$n°$，小扇形$COD$的半径$OC=x\ \mathrm{cm}$，利用弧长公式列出方程组求解；第二步求纸杯的表面积，纸杯的侧面积等于大扇形$AOB$的面积减去小扇形$COD$的面积，再加上纸杯下底面的面积即可，注意纸杯上开口无盖，不需要加上开口的面积。
【解析】
设扇形$AOB$的圆心角为$n°$，$OC$的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则$OA=(x+8)\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，结合上下底圆的周长等于对应弧长，列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ(x+8)}{180} = 6π \\\frac{nπ x}{180} = 4π\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}n(x+8) = 1080 \\nx = 720\end{cases}$
将两个方程相减得：$8n=360$，解得$n=45$。
把$n=45$代入$nx=720$，得$45x=720$，解得$x=16$。
即扇形$AOB$的圆心角为$45°$，$OC=16\ \mathrm{cm}$，$OA=24\ \mathrm{cm}$。
接下来计算纸杯的表面积：
纸杯侧面积为大扇形面积减去小扇形面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{侧}} &= S_{\mathrm{扇形}AOB} - S_{\mathrm{扇形}COD} \\&= \frac{1}{2} × 6π × 24 - \frac{1}{2} × 4π × 16 \\&= 72π - 32π = 40π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
纸杯下底面积为：
$S_{\mathrm{底}} = π × (\frac{4}{2})^2 = 4π\ (\mathrm{cm}^2)$
纸杯的表面积为侧面积加下底面积：
$S_{\mathrm{表}} = 40π + 4π = 44π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
扇形AOB的圆心角为$45°$，这个纸杯的表面积为$44π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
弧长公式，扇形面积计算，表面积计算
【点评】
本题结合圆台的侧面展开图考查弧长与扇形面积的实际应用，解题的关键是明确圆台上下底周长和展开扇形弧长的对应关系，列方程求解相关量，计算表面积时注意结合实际，纸杯无上盖，仅需加下底面积，避免多算出错。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为$90°$的扇形$BAC$.
(1) 求扇形$BAC$的面积；
(2) 在剩下的三块余料中,能否从余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?说明理由；
(3) 当$\odot O$的半径$R(R＞0)$为任意实数时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

解：
(1) 连接BC，∵∠BAC=90°，∴BC为⊙O的直径，BC=2。
在Rt△ABC中，AB=AC，由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=4$，解得$AB=\sqrt{2}$。
扇形BAC的面积：
$S=\frac{90π· AB^2}{360}=\frac{90π×2}{360}=\frac{π}{2}$
(2) 不能，理由如下：
设圆锥底面圆的半径为$r$，弧BC的长：
$l=\frac{90π· AB}{180}=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$
由圆锥底面周长等于弧长，得$2π r=\frac{\sqrt{2}π}{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即圆锥底面圆的直径为$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
连接AO并延长，交弧BC于点E，交⊙O于点F，可得$AO=1$，$AE=AB=\sqrt{2}$，则余料③中可剪出的最大圆的直径$d=EF=AF-AE=2-\sqrt{2}$。
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}＞2-\sqrt{2}$，即所需圆锥底面圆的直径大于余料③中可剪出的最大圆的直径，因此不能从余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥。
(3) 结论仍然成立，理由如下：
当⊙O的半径为$R$时，$BC=2R$，在Rt△ABC中，$AB=AC=\sqrt{2}R$。
弧BC的长：
$l=\frac{90π·\sqrt{2}R}{180}=\frac{\sqrt{2}π R}{2}$
设圆锥底面圆半径为$r$，由$2π r=l$得$r=\frac{\sqrt{2}R}{4}$，圆锥底面圆直径为$2r=\frac{\sqrt{2}R}{2}$。
余料③中可剪出的最大圆的直径$d=2R-\sqrt{2}R$。
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}-(2-\sqrt{2})=\frac{3\sqrt{2}-4}{2}＞0$，∴$\frac{\sqrt{2}R}{2}＞(2-\sqrt{2})R$，即所需圆锥底面圆的直径始终大于余料③中可剪出的最大圆的直径，因此无论$R＞0$取何值，都不能从余料③中剪出符合要求的圆，结论仍然成立。

【分析】
(1) 求扇形面积需先确定扇形半径，由90°圆周角对应直径可得BC为⊙O直径，结合△ABC是等腰直角三角形，用勾股定理求出AB长度，再代入扇形面积公式计算即可。
(2) 要判断能否剪出符合要求的圆，首先根据扇形弧长等于圆锥底面周长，算出所需底面圆的直径；再求出余料③中可剪出的最大圆的直径，比较两个直径的大小即可得出结论。
(3) 将⊙O半径设为任意R，重复(2)的推导步骤，比较所需底面直径与余料最大可剪直径的大小关系，即可判断结论是否仍然成立。
【解析】
(1) 连接BC，
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，BC=2。
在Rt△ABC中，AB=AC，由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=4$，解得$AB=\sqrt{2}$。
扇形BAC的面积：
$S=\frac{90π· AB^2}{360}=\frac{90π×2}{360}=\frac{π}{2}$
(2) 不能，理由如下：
设圆锥底面圆的半径为$r$，弧BC的长：
$l=\frac{90π· AB}{180}=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$
由圆锥底面周长等于弧长，得$2π r=\frac{\sqrt{2}π}{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即圆锥底面圆的直径为$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
连接AO并延长，交弧BC于点E，交⊙O于点F，可得$AO=1$，$AE=AB=\sqrt{2}$，则余料③中可剪出的最大圆的直径$d=EF=AF-AE=2-\sqrt{2}$。
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}＞2-\sqrt{2}$，即所需圆锥底面圆的直径大于余料③中可剪出的最大圆的直径，因此不能从余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥。
(3) 结论仍然成立，理由如下：
当⊙O的半径为$R$时，$BC=2R$，在Rt△ABC中，$AB=AC=\sqrt{2}R$。
弧BC的长：
$l=\frac{90π·\sqrt{2}R}{180}=\frac{\sqrt{2}π R}{2}$
设圆锥底面圆半径为$r$，由$2π r=l$得$r=\frac{\sqrt{2}R}{4}$，圆锥底面圆直径为$2r=\frac{\sqrt{2}R}{2}$。
余料③中可剪出的最大圆的直径$d=2R-\sqrt{2}R$。
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}-(2-\sqrt{2})=\frac{3\sqrt{2}-4}{2}＞0$，
∴$\frac{\sqrt{2}R}{2}＞(2-\sqrt{2})R$，即所需圆锥底面圆的直径始终大于余料③中可剪出的最大圆的直径，因此无论$R＞0$取何值，都不能从余料③中剪出符合要求的圆，结论仍然成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{π}{2}}$；(2) 不能，理由见解析；(3) 结论仍然成立，理由见解析
【知识点】
圆周角定理，扇形弧长与面积计算，圆锥的相关计算
【点评】
本题将圆的性质、扇形计算和圆锥的应用结合起来，核心是掌握圆锥底面周长和侧面展开扇形弧长的等量关系，通过计算比较最值判断方案的可行性，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4