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8. 如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，求再回到点A的最短距离.
答案
解：将圆锥的侧面沿过点A的母线展开，得到一个扇形。
圆锥底面周长为：$C=2π r=2π×1=2π$。
设展开后扇形的圆心角为$n°$，已知母线长为3，由扇形弧长公式$L=\frac{nπ R}{180}$，得：
$\frac{nπ × 3}{180}=2π$
解得$n=120$，即展开后扇形的圆心角为$120°$。
设展开图的扇形顶点为$O$，点$A$展开后对应两个重合的端点$A$、$A'$，则$OA=OA'=3$，$∠ AOA'=120°$。
过点$O$作$OH⊥ AA'$于点$H$，则$∠ AOH=60°$，$AH=A'H$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
因此$AA'=2AH=3\sqrt{3}$。
由两点之间线段最短，可知所求最短距离即为线段$AA'$的长。
答：从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短距离为$3\sqrt{3}$。
圆锥底面周长为：$C=2π r=2π×1=2π$。
设展开后扇形的圆心角为$n°$，已知母线长为3，由扇形弧长公式$L=\frac{nπ R}{180}$，得：
$\frac{nπ × 3}{180}=2π$
解得$n=120$，即展开后扇形的圆心角为$120°$。
设展开图的扇形顶点为$O$，点$A$展开后对应两个重合的端点$A$、$A'$，则$OA=OA'=3$，$∠ AOA'=120°$。
过点$O$作$OH⊥ AA'$于点$H$，则$∠ AOH=60°$，$AH=A'H$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
因此$AA'=2AH=3\sqrt{3}$。
由两点之间线段最短，可知所求最短距离即为线段$AA'$的长。
答：从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短距离为$3\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要解决圆锥侧面上绕一周的最短路径问题，需运用“化曲为直”的思路，将立体图形转化为平面图形求解：①首先将圆锥侧面沿过点A的母线展开为扇形，原A点对应扇形的两个端点，两点之间的线段长就是所求的最短路径；②再根据“圆锥底面周长=展开扇形的弧长”，计算出扇形的圆心角；③最后结合已知的母线长和求出的圆心角，通过构造直角三角形计算两点间的线段长度即可。
【解析】
解：将圆锥的侧面沿过点A的母线展开，得到一个扇形。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$r=1$，因此底面周长$C=2πr=2π×1=2π$，该周长与展开后扇形的弧长相等。
2. 求扇形的圆心角：设展开后扇形的圆心角为$n°$，扇形半径即圆锥母线长$R=3$，根据扇形弧长公式$L=\frac{nπR}{180}$，代入数据得：
$\frac{nπ×3}{180}=2π$
解得$n=120$，即展开后扇形的圆心角为$120°$。
3. 计算最短路径长度：设展开图扇形的顶点为$O$，点A展开后对应两个端点$A$、$A'$，则$OA=OA'=3$，$∠AOA'=120°$。
过点$O$作$OH⊥AA'$于点$H$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$∠AOH=60°$，$AH=A'H$。
在$Rt△AOH$中，$AH=OA·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
因此$AA'=2AH=3\sqrt{3}$。
根据两点之间线段最短，线段$AA'$的长就是从A出发绕侧面一周回到A的最短距离。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；弧长计算；解直角三角形
【点评】
本题考查曲面最短路径问题的求解方法，核心是掌握“化曲为直”的转化思想，解题关键是利用底面周长和扇形弧长的等量关系求出展开图的圆心角，再结合几何性质计算线段长度，是这类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
要解决圆锥侧面上绕一周的最短路径问题，需运用“化曲为直”的思路，将立体图形转化为平面图形求解：①首先将圆锥侧面沿过点A的母线展开为扇形，原A点对应扇形的两个端点，两点之间的线段长就是所求的最短路径；②再根据“圆锥底面周长=展开扇形的弧长”，计算出扇形的圆心角；③最后结合已知的母线长和求出的圆心角，通过构造直角三角形计算两点间的线段长度即可。
【解析】
解：将圆锥的侧面沿过点A的母线展开，得到一个扇形。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$r=1$，因此底面周长$C=2πr=2π×1=2π$，该周长与展开后扇形的弧长相等。
2. 求扇形的圆心角：设展开后扇形的圆心角为$n°$，扇形半径即圆锥母线长$R=3$，根据扇形弧长公式$L=\frac{nπR}{180}$，代入数据得：
$\frac{nπ×3}{180}=2π$
解得$n=120$，即展开后扇形的圆心角为$120°$。
3. 计算最短路径长度：设展开图扇形的顶点为$O$，点A展开后对应两个端点$A$、$A'$，则$OA=OA'=3$，$∠AOA'=120°$。
过点$O$作$OH⊥AA'$于点$H$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$∠AOH=60°$，$AH=A'H$。
在$Rt△AOH$中，$AH=OA·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
因此$AA'=2AH=3\sqrt{3}$。
根据两点之间线段最短，线段$AA'$的长就是从A出发绕侧面一周回到A的最短距离。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；弧长计算；解直角三角形
【点评】
本题考查曲面最短路径问题的求解方法，核心是掌握“化曲为直”的转化思想，解题关键是利用底面周长和扇形弧长的等量关系求出展开图的圆心角，再结合几何性质计算线段长度，是这类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在$Rt△ ABC$中,斜边$AB=13\ \mathrm{cm}$,直角边$AC=5\ \mathrm{cm}$.以直线$AB$为轴将$△ ABC$旋转一周得到一个几何体,求这个几何体的表面积.
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}.$
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}.$
以直线$AB$为轴旋转一周得到的几何体是两个底面重合的圆锥的组合体，两个圆锥的底面半径均为$CD$，母线长分别为$AC$和$BC$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$\begin{aligned}S&=π· CD· AC + π· CD· BC\\&=π· \frac{60}{13}×5 + π· \frac{60}{13}×12\\&=π· \frac{60}{13}×(5+12)\\&=\frac{1020π}{13}\ \mathrm{cm^2}.\end{aligned}$
答：这个几何体的表面积为$\frac{1020π}{13}\ \mathrm{cm^2}$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}.$
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}.$
以直线$AB$为轴旋转一周得到的几何体是两个底面重合的圆锥的组合体，两个圆锥的底面半径均为$CD$，母线长分别为$AC$和$BC$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$\begin{aligned}S&=π· CD· AC + π· CD· BC\\&=π· \frac{60}{13}×5 + π· \frac{60}{13}×12\\&=π· \frac{60}{13}×(5+12)\\&=\frac{1020π}{13}\ \mathrm{cm^2}.\end{aligned}$
答：这个几何体的表面积为$\frac{1020π}{13}\ \mathrm{cm^2}$。
解析
【分析】
首先判断旋转后得到的几何体形状：Rt△ABC绕斜边AB旋转一周，得到的是两个底面重合的圆锥组合体，该几何体的表面积就是两个圆锥的侧面积之和（重合的底面不属于外露的表面积）。根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，需要先确定两个圆锥的母线长和公共底面半径：两个圆锥的母线长分别是直角边AC、BC，公共底面半径是Rt△ABC斜边AB上的高CD。因此解题步骤为：①用勾股定理求直角边BC的长度；②用等面积法求斜边上的高CD；③分别代入圆锥侧面积公式，求和得到总表面积。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$
过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}·AB·CD$，可得：
$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$
以直线$AB$为轴旋转一周得到的几何体是两个底面重合的圆锥的组合体，两个圆锥的底面半径均为$CD$，母线长分别为$AC$和$BC$。
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$\begin{aligned}S&=π·CD·AC + π·CD·BC\\&=π×\frac{60}{13}×5 + π×\frac{60}{13}×12\\&=π×\frac{60}{13}×(5+12)\\&=\frac{1020π}{13}\ \mathrm{cm^2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1020π}{13}\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理，等面积法求高，圆锥侧面积计算
【点评】
本题结合旋转体考查圆锥侧面积的计算，核心是准确判断旋转后几何体的构成，注意组合体的表面积仅计算外露部分，不要误加重合的底面面积，计算时可利用乘法分配律简化运算。
【难度系数】
0.6
首先判断旋转后得到的几何体形状：Rt△ABC绕斜边AB旋转一周，得到的是两个底面重合的圆锥组合体，该几何体的表面积就是两个圆锥的侧面积之和（重合的底面不属于外露的表面积）。根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，需要先确定两个圆锥的母线长和公共底面半径：两个圆锥的母线长分别是直角边AC、BC，公共底面半径是Rt△ABC斜边AB上的高CD。因此解题步骤为：①用勾股定理求直角边BC的长度；②用等面积法求斜边上的高CD；③分别代入圆锥侧面积公式，求和得到总表面积。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$
过点$C$作$CD⊥AB$于点$D$，根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}·AB·CD$，可得：
$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$
以直线$AB$为轴旋转一周得到的几何体是两个底面重合的圆锥的组合体，两个圆锥的底面半径均为$CD$，母线长分别为$AC$和$BC$。
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$\begin{aligned}S&=π·CD·AC + π·CD·BC\\&=π×\frac{60}{13}×5 + π×\frac{60}{13}×12\\&=π×\frac{60}{13}×(5+12)\\&=\frac{1020π}{13}\ \mathrm{cm^2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1020π}{13}\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理，等面积法求高，圆锥侧面积计算
【点评】
本题结合旋转体考查圆锥侧面积的计算，核心是准确判断旋转后几何体的构成，注意组合体的表面积仅计算外露部分，不要误加重合的底面面积，计算时可利用乘法分配律简化运算。
【难度系数】
0.6
