20.「2026四川成都期末，★★☆」（12分）某中学物理组的教师们需要购置某种教学仪器.经物理组教师们讨论，现有以下两种购置方案.
方案一:到商店直接购买成品,每件仪器价格为8元.
方案二:教师自己制作,需购买原材料,每件仪器所需原材料费用为4元,另需支付制作工具租金120元.
设现在教师们需要教学仪器x件,方案一的总费用为$y_1$元,方案二的总费用为$y_2$元.
(1)写出$y_1,y_2$关于x的函数关系式.(直接写结论,不用写出自变量的取值范围)
(2)当添置教学仪器多少件时,两种方案所需的总费用相同?
(3)若教师们计划添置教学仪器60件,则采用哪种方案费用更少?

20.解析 (1)根据题意,得 $y_1=8x$,$y_2=4x+120$.
(2)令 $y_1=y_2$,即 $8x=4x+120$,$\therefore x=30$,
$\therefore$ 当添置教学仪器 30 件时,两种方案所需的费用相同.
(3)把 $x=60$ 分别代入 $y_1=8x$,$y_2=4x+120$ 中,得 $y_1=8×60=480$,$y_2=4×60+120=360$,
$\because y_1＞y_2$,$\therefore$ 当教师们计划添置教学仪器 60 件时,采用方案二费用更少.

21.「2026 山西晋中期中，★★★」（14分）如图，直线$y=kx-2$与$x$轴，$y$轴分别交于$B,C$两点，其中$OB=1$.
(1)求$k$的值.
(2)若点$A(a,b)$是直线$y=kx-2$上的一个动点，当点$A$仅在第一象限内运动时，试写出$△ AOB$的面积$S$与$a$之间的函数表达式.
(3)在(2)的条件下，
①当点$A$运动到什么位置时，$△ AOB$的面积为1？
②若$∠ AOB=45°$，在$x$轴上是否存在一点$P$，使$△ POA$是直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

21.解析 (1)因为 $OB=1$,所以 $B(1,0)$.
因为点 $B$ 在直线 $y=kx-2$ 上,所以 $0=k-2$,解得 $k=2$.
(2)由(1)得直线 $BC$ 的表达式为 $y=2x-2$.
因为点 $A(a,b)$ 是第一象限内直线 $y=2x-2$ 上的一个动点,
所以 $b=2a-2$($a＞1$),所以 $△ AOB$ 的面积 $S=\frac{1}{2}· OB· |b|=\frac{1}{2}×1×|2a-2|=a-1$.
(3)①因为 $S_{△ AOB}=a-1=1$,所以 $a=2$,将 $a=2$ 代入 $b=2a-2$ 中,得 $b=2×2-2=2$,所以当点 $A$ 的坐标为$(2,2)$时,$△ AOB$ 的面积为 1.
②存在.满足条件的所有点 $P$ 的坐标为$(2,0)$,$(4,0)$.
详解:设点 $P$ 的坐标为$(m,0)$.
分情况讨论:(i)如图,当 $∠ AP_1O=90°$ 时,因为 $∠ AOB=45°$,所以 $△ AP_1O$ 为等腰直角三角形,则 $OP_1=AP_1$,所以 $m=2m-2$,解得 $m=2$,此时点 $P_1$ 的坐标为$(2,0)$.
(ii)如图,当 $∠ OAP_2=90°$ 时,因为 $∠ AOB=45°$,所以 $△ AP_2O$ 为等腰直角三角形,则 $OA=AP_2$,易知此时点 $A$ 的横坐标与纵坐标相等,点 $P_2$ 的横坐标是点 $A$ 的横坐标的 2 倍,所以 $m=2(2×\frac{m}{2}-2)$,解得 $m=4$,此时点 $P_2$ 的坐标为$(4,0)$.综上,点 $P$ 的坐标为$(2,0)$或$(4,0)$.