14. 核心素养 几何直观 「2026贵州贵阳三十九中期中，★★☆」小幽同学分别从上面、前面观察了超市置物架上的三摞杯子，画面如图，那么这三摞杯子至少有个.

14.答案 8
解析 由从前面观察的图形可以确定左上角的杯子数量为4,右上角和右下角其中一摞有3个杯子,另一摞最少有1个杯子,最多有3个杯子,$\therefore$ 这三摞杯子至少有$4+3+1=8$(个),故答案为8.

15.「★★☆」如图,在△ABC中,点D是AC的中点,AE平分∠BAC,AE与BD交于点F,若BF:FD=3:1,AB+BE=3√3,则△ABC的周长为。

15.答案 $5\sqrt{3}$
解析 如图,过点F作$FM⊥ AB$于点M,$FN⊥ AC$于点N,过点D作$DT// AE$交BC于点T.
$\because AE$平分$∠ BAC$,$FM⊥ AB$,$FN⊥ AC$,$\therefore FM=FN$,
$\therefore \frac{S_{△ ABF}}{S_{△ ADF}}=\frac{BF}{DF}=\frac{\frac{1}{2}· AB· FM}{\frac{1}{2}· AD· FN}=3$,
$\therefore AB=3AD$,
$\because$ 点D是AC的中点,$\therefore AD=DC$,
设$AD=a$,则$AB=3a$,$AC=2a$,
$\because AD=DC$,$DT// AE$,$\therefore ET=CT$,$\therefore \frac{BE}{ET}=\frac{BF}{DF}=3$,
设$ET=CT=b$,则$BE=3b$,$\therefore BC=5b$,
$\because AB+BE=3\sqrt{3}$,$\therefore 3a+3b=3\sqrt{3}$,$\therefore a+b=\sqrt{3}$,
$\therefore △ ABC$的周长$=AB+AC+BC=5a+5b=5\sqrt{3}$,
故答案为$5\sqrt{3}$.

16.「2026河南焦作期中，★★☆」如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P为边AD上的动点(不与点A重合)，点A关于直线BP的对称点为点E，连接PE，BE，CE，DE，当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为。

16.答案 $8-4\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
解析 $\because$ 四边形ABCD是正方形,且边长为4,$\therefore AB=BC=CD=AD=4$,$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ BAD=90°$,根据轴对称的性质得$PA=PE$,$AB=BE=4$,$∠ PEB=∠ BAD=90°$,$∠ PBA=∠ PBE$,当$△ CDE$是以CE为腰的等腰三角形时,有以下两种情况：
①当$CE=CD=4$时,过点E作$EM⊥ AD$于点M,ME的延长线交BC于点N,如图1所示,$\therefore$ 四边形CDMN是矩形,$\therefore MN=CD=4$,$\because BE=BC=CE=4$,$\therefore △ EBC$是等边三角形,$\therefore CN=\frac{1}{2}BC=2$,$∠ EBC=60°$,$\therefore ∠ ABE=∠ ABC-∠ EBC=30°$,在$\mathrm{Rt}△ ECN$中,由勾股定理得$EN=\sqrt{CE^2-CN^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,$\therefore ME=MN-EN=4-2\sqrt{3}$,在四边形ABEP中,$∠ PEB=∠ BAD=90°$,$∠ ABE=30°$,$\therefore ∠ APE=360°-90°-90°-30°=150°$,$\therefore ∠ MPE=180°-∠ APE=30°$,在$\mathrm{Rt}△ PME$中,$PE=2ME=8-4\sqrt{3}$,$\therefore AP=PE=8-4\sqrt{3}$.

②当$CE=DE$时,过点E作$EH⊥ CD$,HE的延长线交AB于点T,如图2所示,$\therefore DH=CH$,$\therefore$ 直线HT是CD的垂直平分线,$\therefore HT$是正方形ABCD的一条对称轴,连接AE,易知$AE=BE=4$,$\therefore △ ABE$是等边三角形,$\therefore ∠ ABE=60°$,$\therefore ∠ PBA=∠ PBE=30°$,在$\mathrm{Rt}△ ABP$中,$BP=2AP$,由勾股定理得$AB=\sqrt{BP^2-AP^2}=\sqrt{3}AP$,$\therefore AP=\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}×4=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

综上所述,当$△ CDE$是以CE为腰的等腰三角形时,AP的值为$8-4\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

三、解答题(共72分)(答案含评分细则)
17.「2026河南郑州一中期中，★☆」(8分)解方程：
(1)$2x^2 -3x -1=0$. (2)$x^2 -9=2(x-3)$.

17.解析
(1)$\because a=2,b=-3,c=-1$,
$\therefore \Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$,$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}$,
$\therefore x_1=\frac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$. ..................... (4分)
(2)方程整理得$(x+3)(x-3)-2(x-3)=0$,
$\therefore (x-3)(x+1)=0$,$\therefore x-3=0$或$x+1=0$,
$\therefore x_1=3,x_2=-1$. ..................... (8分)