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10. 一位士兵以军姿站立，如图中AB所示. 在他的左上方有一个路灯O，BC是他在路灯下的影子(BC＞AB). 士兵向右卧倒，设在此过程中，他影子的长度的最大值为a，最小值为b. 现有下列结论：①$a＞BC$；②$a=BC$；③$b=AB$；④影子的长度先增后减. 其中正确结论的序号是
①③④
.答案
10. ①③④.
解析
【分析】
本题属于点光源下的中心投影问题，解题思路如下：首先明确士兵卧倒时，头顶绕脚部B点顺时针转动，运动轨迹是以B为圆心、AB长为半径的四分之一圆弧；影子长度是路灯发出的光线过当前头顶后，与地面BC的交点到B点的距离。接下来分情况分析：初始站立时头顶在光线OC上，影长为BC；转动过程中，头顶位置变化会改变光线与地面的交点位置，据此判断影长的变化趋势和最值即可。
【解析】
1. 初始状态：士兵直立时头顶A在路灯的光线OC上，此时影子长度为BC。
2. 运动轨迹：士兵向右卧倒的过程中，头顶A绕点B顺时针转动，轨迹是以B为圆心、AB长为半径的圆弧（转动范围为从竖直直立到平躺在BC上）。
3. 最大值分析：当头顶转动到光线OC下方时，过O和当前头顶的光线与BC的交点会落在C点的右侧，此时影长大于BC，因此最大值$a＞BC$，结论①正确，②错误。
4. 最小值分析：当士兵完全平躺在BC上时，头顶落在BC上，距离B点的长度为AB，此时过路灯和头顶的光线与BC的交点就是头顶本身，影子长度等于AB，即最小值$b=AB$，结论③正确。
5. 变化趋势分析：整个卧倒过程中，影长从初始的BC先增大到最大值a，再逐渐减小到最小值AB，因此影子长度先增后减，结论④正确。
综上，正确结论的序号是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
中心投影；圆的基本性质；动态几何最值
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影规律和动态问题分析，解题的关键是确定头顶的运动轨迹，通过光线交点的位置变化判断影长的变化规律，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于点光源下的中心投影问题，解题思路如下：首先明确士兵卧倒时，头顶绕脚部B点顺时针转动，运动轨迹是以B为圆心、AB长为半径的四分之一圆弧；影子长度是路灯发出的光线过当前头顶后，与地面BC的交点到B点的距离。接下来分情况分析：初始站立时头顶在光线OC上，影长为BC；转动过程中，头顶位置变化会改变光线与地面的交点位置，据此判断影长的变化趋势和最值即可。
【解析】
1. 初始状态：士兵直立时头顶A在路灯的光线OC上，此时影子长度为BC。
2. 运动轨迹：士兵向右卧倒的过程中，头顶A绕点B顺时针转动，轨迹是以B为圆心、AB长为半径的圆弧（转动范围为从竖直直立到平躺在BC上）。
3. 最大值分析：当头顶转动到光线OC下方时，过O和当前头顶的光线与BC的交点会落在C点的右侧，此时影长大于BC，因此最大值$a＞BC$，结论①正确，②错误。
4. 最小值分析：当士兵完全平躺在BC上时，头顶落在BC上，距离B点的长度为AB，此时过路灯和头顶的光线与BC的交点就是头顶本身，影子长度等于AB，即最小值$b=AB$，结论③正确。
5. 变化趋势分析：整个卧倒过程中，影长从初始的BC先增大到最大值a，再逐渐减小到最小值AB，因此影子长度先增后减，结论④正确。
综上，正确结论的序号是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
中心投影；圆的基本性质；动态几何最值
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影规律和动态问题分析，解题的关键是确定头顶的运动轨迹，通过光线交点的位置变化判断影长的变化规律，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD. 小东上午去学校时发现路灯AB在阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他的影子恰好落在路灯CD的底部C处. 晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯CD下的影子恰好落在里程碑E处.
（1）在图中画出小东的位置（用线段PQ表示），并画出光线，标明阳光、灯光.
（2）已知小东上午去学校时高2.5 m的木棒在阳光下的影长为10 m，他的身高为1.5 m，他站的地方与里程碑E相距5 m，求路灯的高.
11. 如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD. 小东上午去学校时发现路灯AB在阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他的影子恰好落在路灯CD的底部C处. 晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯CD下的影子恰好落在里程碑E处.
（1）在图中画出小东的位置（用线段PQ表示），并画出光线，标明阳光、灯光.
（2）已知小东上午去学校时高2.5 m的木棒在阳光下的影长为10 m，他的身高为1.5 m，他站的地方与里程碑E相距5 m，求路灯的高.
答案
11. (1) 图略.
(2) 3.3 m. 提示：易得小东上午的影长CQ=6 m. 因为PQ⊥AC，DC⊥AC，所以PQ//CD，△EPQ∽△EDC，由$\frac{PQ}{DC}=\frac{EQ}{EC}$，即$\frac{1.5}{CD}=\frac{5}{5+6}$，得CD=3.3 m.
(2) 3.3 m. 提示：易得小东上午的影长CQ=6 m. 因为PQ⊥AC，DC⊥AC，所以PQ//CD，△EPQ∽△EDC，由$\frac{PQ}{DC}=\frac{EQ}{EC}$，即$\frac{1.5}{CD}=\frac{5}{5+6}$，得CD=3.3 m.
解析
【分析】
（1）作图需明确两种光线的特点：上午的阳光属于平行投影，光线互相平行，因此过C作AB影子对应的光线BE的平行线，即为上午照到小东的太阳光线；晚上路灯CD的光线属于中心投影，光线从点光源D出发，因此连接D和小东影子的端点E，得到路灯的光线，两条光线的交点就是小东的头顶位置，过该点作AC的垂线段，即为表示小东的PQ，最后标注光线类型即可。
（2）解题分两步：第一步利用平行投影“同一时刻物高与影长成正比”的性质，结合已知木棒的物高、影长和小东的身高，算出小东上午的影长，即他站立位置到C的距离；第二步根据中心投影下两个直角三角形相似的性质，列出比例式代入数值即可求解路灯高度。
【解析】
（1）作图步骤：①连接BE，即为上午照射路灯AB的太阳光线，标注为“阳光”；②过点C作BE的平行线，即为上午照射小东的太阳光线；③连接DE，即为晚上路灯CD照射小东的灯光，标注为“灯光”；④两条光线交于点Q，过Q作PQ⊥AC，垂足为P，线段PQ即为小东的位置。（图略）
（2）解：上午属于平行投影，同一时刻物高与影长成正比，设小东的影长（即CQ的长度）为$x$ m，由题意得：
$\frac{2.5}{10}=\frac{1.5}{x}$
解得$x=6$，即$CQ=6\ \mathrm{m}$，因此$EC=EQ+QC=5+6=11\ \mathrm{m}$。
$\because PQ⊥ AC$，$CD⊥ AC$，$\therefore ∠ PQE=∠ DCE=90°$，
又$\because ∠ PEQ=∠ DEC$（公共角），$\therefore △ EPQ ∽ △ EDC$，
$\therefore \frac{PQ}{DC}=\frac{EQ}{EC}$，代入$PQ=1.5\ \mathrm{m}$，$EQ=5\ \mathrm{m}$，$EC=11\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.5}{CD}=\frac{5}{11}$
解得$CD=3.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）图略；（2）路灯的高为3.3 m。
【知识点】
平行投影、中心投影、相似三角形应用
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查了两种投影的性质及相似三角形的实际应用，解题核心是区分平行投影光线平行、中心投影光线交于一点的特点，准确构造比例关系求解。
【难度系数】
0.7
（1）作图需明确两种光线的特点：上午的阳光属于平行投影，光线互相平行，因此过C作AB影子对应的光线BE的平行线，即为上午照到小东的太阳光线；晚上路灯CD的光线属于中心投影，光线从点光源D出发，因此连接D和小东影子的端点E，得到路灯的光线，两条光线的交点就是小东的头顶位置，过该点作AC的垂线段，即为表示小东的PQ，最后标注光线类型即可。
（2）解题分两步：第一步利用平行投影“同一时刻物高与影长成正比”的性质，结合已知木棒的物高、影长和小东的身高，算出小东上午的影长，即他站立位置到C的距离；第二步根据中心投影下两个直角三角形相似的性质，列出比例式代入数值即可求解路灯高度。
【解析】
（1）作图步骤：①连接BE，即为上午照射路灯AB的太阳光线，标注为“阳光”；②过点C作BE的平行线，即为上午照射小东的太阳光线；③连接DE，即为晚上路灯CD照射小东的灯光，标注为“灯光”；④两条光线交于点Q，过Q作PQ⊥AC，垂足为P，线段PQ即为小东的位置。（图略）
（2）解：上午属于平行投影，同一时刻物高与影长成正比，设小东的影长（即CQ的长度）为$x$ m，由题意得：
$\frac{2.5}{10}=\frac{1.5}{x}$
解得$x=6$，即$CQ=6\ \mathrm{m}$，因此$EC=EQ+QC=5+6=11\ \mathrm{m}$。
$\because PQ⊥ AC$，$CD⊥ AC$，$\therefore ∠ PQE=∠ DCE=90°$，
又$\because ∠ PEQ=∠ DEC$（公共角），$\therefore △ EPQ ∽ △ EDC$，
$\therefore \frac{PQ}{DC}=\frac{EQ}{EC}$，代入$PQ=1.5\ \mathrm{m}$，$EQ=5\ \mathrm{m}$，$EC=11\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.5}{CD}=\frac{5}{11}$
解得$CD=3.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）图略；（2）路灯的高为3.3 m。
【知识点】
平行投影、中心投影、相似三角形应用
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查了两种投影的性质及相似三角形的实际应用，解题核心是区分平行投影光线平行、中心投影光线交于一点的特点，准确构造比例关系求解。
【难度系数】
0.7
