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5. 如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD，在与其平行的墙上形成矩形影子A'B'C'D'. 若现测得OA=2 cm，OA'=5 cm，纸片ABCD的面积为8 cm²，则影子A'B'C'D'的面积为
50
cm².答案
5. 50.
解析
【分析】
本题是位似图形的实际应用问题，解题思路如下：首先根据点光源照射平行平面上的图形的特点，判断矩形ABCD和它的影子是位似图形，位似中心为灯泡O；其次位似图形是特殊的相似图形，相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即OA与OA'的比值；最后利用相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知的原矩形面积，即可求出影子的面积。
【解析】
解：由题意得，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，位似中心为点O，
∴两个矩形的相似比 $k=\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{5}$，
根据相似多边形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{矩形ABCD}}{S_{矩形A'B'C'D'}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，
将$S_{矩形ABCD}=8\mathrm{cm}^2$代入上式：
$\frac{8}{S_{矩形A'B'C'D'}}=\frac{4}{25}$，
解得 $S_{矩形A'B'C'D'}=8×\frac{25}{4}=50(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
50
【知识点】
位似图形的性质、相似多边形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查位似相关计算，解题的关键是准确判断两个图形的位似关系，明确相似比与对应点到位似中心距离的关系，牢记相似图形面积比等于相似比的平方，这类题型是相似章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是位似图形的实际应用问题，解题思路如下：首先根据点光源照射平行平面上的图形的特点，判断矩形ABCD和它的影子是位似图形，位似中心为灯泡O；其次位似图形是特殊的相似图形，相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即OA与OA'的比值；最后利用相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知的原矩形面积，即可求出影子的面积。
【解析】
解：由题意得，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，位似中心为点O，
∴两个矩形的相似比 $k=\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{5}$，
根据相似多边形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{矩形ABCD}}{S_{矩形A'B'C'D'}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，
将$S_{矩形ABCD}=8\mathrm{cm}^2$代入上式：
$\frac{8}{S_{矩形A'B'C'D'}}=\frac{4}{25}$，
解得 $S_{矩形A'B'C'D'}=8×\frac{25}{4}=50(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
50
【知识点】
位似图形的性质、相似多边形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查位似相关计算，解题的关键是准确判断两个图形的位似关系，明确相似比与对应点到位似中心距离的关系，牢记相似图形面积比等于相似比的平方，这类题型是相似章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，小亮从一盏9 m高的路灯下的B处向前走了8 m到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE是2 m，小亮身高为
1.8
m.答案
6. 1.8.
解析
【分析】
这是一道中心投影结合相似三角形的应用题，解题思路如下：首先，路灯AB和小亮的身高CD都垂直于地面，可得AB与CD平行，进而可判定△ECD和△EBA相似；接着求出BE的总长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于小亮身高CD的比例式，计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，$AB⊥ BE$，$CD⊥ BE$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ DCE = 90°$，
又$\because ∠ E$是两个三角形的公共角，
$\therefore △ EAB ∽ △ EDC$（两角分别相等的两个三角形相似），
已知$AB=9\mathrm{m}$，$BC=8\mathrm{m}$，$CE=2\mathrm{m}$，
$\therefore BE = BC + CE = 8 + 2 = 10\mathrm{m}$，
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CD}{AB} = \frac{CE}{BE}$，
代入已知数据得：$\frac{CD}{9} = \frac{2}{10}$，
解得：$CD=1.8\mathrm{m}$。
【答案】
1.8
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；中心投影
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用，解题关键是结合图形特征找到相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，解题时需注意找准对应边，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道中心投影结合相似三角形的应用题，解题思路如下：首先，路灯AB和小亮的身高CD都垂直于地面，可得AB与CD平行，进而可判定△ECD和△EBA相似；接着求出BE的总长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于小亮身高CD的比例式，计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，$AB⊥ BE$，$CD⊥ BE$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ DCE = 90°$，
又$\because ∠ E$是两个三角形的公共角，
$\therefore △ EAB ∽ △ EDC$（两角分别相等的两个三角形相似），
已知$AB=9\mathrm{m}$，$BC=8\mathrm{m}$，$CE=2\mathrm{m}$，
$\therefore BE = BC + CE = 8 + 2 = 10\mathrm{m}$，
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CD}{AB} = \frac{CE}{BE}$，
代入已知数据得：$\frac{CD}{9} = \frac{2}{10}$，
解得：$CD=1.8\mathrm{m}$。
【答案】
1.8
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；中心投影
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用，解题关键是结合图形特征找到相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，解题时需注意找准对应边，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
7. 如图，小丽想测量教学楼前的一棵树的高度，但当她测得一根高为1 m的竹竿的影长是1.5 m，马上去测量树高时，却发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上. 若她测得留在墙壁上的影高为2 m，地面的影长为6 m，则树高
6
m.答案
7. 6.
解析
【分析】
本题是平行投影的实际应用问题，解题核心是利用“同一时刻下，物体高度与影长的比值恒定”的性质求解。遇到影子部分落在竖直墙面的情况，我们可通过作辅助线转化问题：过墙面影子的顶端作光线的平行线，将树高拆分为两部分：一部分高度等于墙面的影高，另一部分的影子完全落在地面上，再结合比例关系计算即可。
【解析】
过点C作CE//AD，交AB于点E。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB//CD，结合CE//AD，可得四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=2m。
由题意知，同一时刻1m高的竹竿影长为1.5m，即同一时刻物高与影长的比为$\frac{1}{1.5}$。
EB的影长为地面影长BC=6m，因此有$\frac{EB}{BC}=\frac{1}{1.5}$，
代入BC=6m，解得$EB=6×\frac{1}{1.5}=4$m，
则树高AB=AE+EB=2+4=6m。
【答案】
6
【知识点】
平行投影性质；平行四边形判定；比例计算
【点评】
本题属于投影的基础应用型题目，解题关键是通过作辅助线将部分落在竖直面的影子转化为常规的地面投影问题，考查学生将实际场景转化为几何模型的能力，掌握平行投影的比例性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是平行投影的实际应用问题，解题核心是利用“同一时刻下，物体高度与影长的比值恒定”的性质求解。遇到影子部分落在竖直墙面的情况，我们可通过作辅助线转化问题：过墙面影子的顶端作光线的平行线，将树高拆分为两部分：一部分高度等于墙面的影高，另一部分的影子完全落在地面上，再结合比例关系计算即可。
【解析】
过点C作CE//AD，交AB于点E。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB//CD，结合CE//AD，可得四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=2m。
由题意知，同一时刻1m高的竹竿影长为1.5m，即同一时刻物高与影长的比为$\frac{1}{1.5}$。
EB的影长为地面影长BC=6m，因此有$\frac{EB}{BC}=\frac{1}{1.5}$，
代入BC=6m，解得$EB=6×\frac{1}{1.5}=4$m，
则树高AB=AE+EB=2+4=6m。
【答案】
6
【知识点】
平行投影性质；平行四边形判定；比例计算
【点评】
本题属于投影的基础应用型题目，解题关键是通过作辅助线将部分落在竖直面的影子转化为常规的地面投影问题，考查学生将实际场景转化为几何模型的能力，掌握平行投影的比例性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，小明家的客厅有一张直径为1.4 m，高0.8 m的圆桌BC，在距地面2.4 m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE. 以1 m为1个单位长度建立平面直角坐标系，若点D的坐标为(2,0)，则点E的坐标是
(4.1,0)
.答案
8. (4.1,0).
解析
【分析】
这是一道结合中心投影的相似三角形应用题，解题思路如下：首先观察到圆桌BC和它的影子DE都水平放置，因此BC//DE，可判定△ABC和△ADE相似；其次找到两个相似三角形对应高的长度：灯A到地面的高度是2.4m，圆桌高0.8m，因此A到BC的垂直距离为2.4-0.8=1.6m，A到DE（地面）的垂直距离为2.4m；再根据相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式求出DE的长度；最后结合点D的坐标，即可求出点E的坐标。
【解析】
解：
∵BC和DE均水平放置，
∴BC//DE，
∴△ABC∽△ADE。
由题意可知：BC=1.4m，
点A到BC的垂直距离为$2.4-0.8=1.6(\mathrm{m})$，
点A到DE的垂直距离为$2.4\mathrm{m}$，
根据相似三角形的性质，相似比等于对应高的比，可得：
$\frac{BC}{DE}=\frac{1.6}{2.4}$，
代入$BC=1.4$得：$\frac{1.4}{DE}=\frac{2}{3}$，
解得：$DE=2.1\mathrm{m}$。
∵点D坐标为$(2,0)$，点E在x轴正方向，
∴点E的横坐标为$2+2.1=4.1$，纵坐标为0，
即$E(4.1,0)$。
【答案】
$(4.1,0)$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是准确找到相似三角形及对应边、对应高的比例关系，将实际问题转化为几何计算问题，解题难度较低。
【难度系数】
0.7
这是一道结合中心投影的相似三角形应用题，解题思路如下：首先观察到圆桌BC和它的影子DE都水平放置，因此BC//DE，可判定△ABC和△ADE相似；其次找到两个相似三角形对应高的长度：灯A到地面的高度是2.4m，圆桌高0.8m，因此A到BC的垂直距离为2.4-0.8=1.6m，A到DE（地面）的垂直距离为2.4m；再根据相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式求出DE的长度；最后结合点D的坐标，即可求出点E的坐标。
【解析】
解：
∵BC和DE均水平放置，
∴BC//DE，
∴△ABC∽△ADE。
由题意可知：BC=1.4m，
点A到BC的垂直距离为$2.4-0.8=1.6(\mathrm{m})$，
点A到DE的垂直距离为$2.4\mathrm{m}$，
根据相似三角形的性质，相似比等于对应高的比，可得：
$\frac{BC}{DE}=\frac{1.6}{2.4}$，
代入$BC=1.4$得：$\frac{1.4}{DE}=\frac{2}{3}$，
解得：$DE=2.1\mathrm{m}$。
∵点D坐标为$(2,0)$，点E在x轴正方向，
∴点E的横坐标为$2+2.1=4.1$，纵坐标为0，
即$E(4.1,0)$。
【答案】
$(4.1,0)$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是准确找到相似三角形及对应边、对应高的比例关系，将实际问题转化为几何计算问题，解题难度较低。
【难度系数】
0.7
9. 如图是一个帐篷的示意图，其高$OE=2\ \mathrm{m}$，某时刻帐篷顶端$E$在阳光下的影子为点$F$，$OE⊥ OF$，$OF$交$AB$于点$G$，$OG=1\ \mathrm{m}$. 若在同一时刻，附近一根长为$1\ \mathrm{m}$的标杆在地面的影长为$2\ \mathrm{m}$，则$FG=$
3
$\mathrm{m}$.答案
9. 3.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用平行投影的性质：同一时刻，太阳光下所有竖直物体的高度与对应影长的比值是定值。首先我们先根据标杆的高和影长求出这个比值，再结合帐篷的高度OE求出它的总影长OF，最后用OF减去OG的长度即可得到FG的长度。
【解析】
∵ 同一时刻，太阳光下物体的高度与影长成正比，
已知1m长的标杆影长为2m，可得竖直高度与影长的比值为$\frac{1}{2}$。
由题意可知，$OE⊥ OF$，OE为竖直高度，长度为2m，OE对应的影长为OF，
∴ $\frac{OE}{OF}=\frac{1}{2}$，
将$OE=2\ \mathrm{m}$代入，得$\frac{2}{OF}=\frac{1}{2}$，解得$OF=4\ \mathrm{m}$。
又已知$OG=1\ \mathrm{m}$，
∴ $FG=OF-OG=4-1=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
3
【知识点】
平行投影的性质，比例的计算
【点评】
本题结合生活中的帐篷投影场景考查平行投影的实际应用，解题的关键是找到物高与影长的比例关系，再结合已知线段长度计算即可，贴近生活，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用平行投影的性质：同一时刻，太阳光下所有竖直物体的高度与对应影长的比值是定值。首先我们先根据标杆的高和影长求出这个比值，再结合帐篷的高度OE求出它的总影长OF，最后用OF减去OG的长度即可得到FG的长度。
【解析】
∵ 同一时刻，太阳光下物体的高度与影长成正比，
已知1m长的标杆影长为2m，可得竖直高度与影长的比值为$\frac{1}{2}$。
由题意可知，$OE⊥ OF$，OE为竖直高度，长度为2m，OE对应的影长为OF，
∴ $\frac{OE}{OF}=\frac{1}{2}$，
将$OE=2\ \mathrm{m}$代入，得$\frac{2}{OF}=\frac{1}{2}$，解得$OF=4\ \mathrm{m}$。
又已知$OG=1\ \mathrm{m}$，
∴ $FG=OF-OG=4-1=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
3
【知识点】
平行投影的性质，比例的计算
【点评】
本题结合生活中的帐篷投影场景考查平行投影的实际应用，解题的关键是找到物高与影长的比例关系，再结合已知线段长度计算即可，贴近生活，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
