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1. 一斜坡的坡度是$1:\sqrt{3}$，则此斜坡的坡角为 （
A.$15°$；
B.$30°$；
C.$45°$；
D.$60°$
B
）A.$15°$；
B.$30°$；
C.$45°$；
D.$60°$
答案
1. B.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确坡度、坡角的定义及二者的关系：坡度是斜坡铅直高度与水平宽度的比值，它等于坡角的正切值。我们可以先根据给出的坡度得到坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值即可求出坡角的度数。
【解析】
设此斜坡的坡角为$α$，
根据坡度的定义可知，坡度$i = \tanα = 1:\sqrt{3}$，
计算得$\tanα = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
结合特殊角的三角函数值，且坡角满足$0° ＜ α ＜ 90°$，可得$α = 30°$。
【答案】
B
【知识点】
坡度与坡角的关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的基础应用，核心是掌握坡度和坡角的对应关系，只要熟记特殊角的三角函数值就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确坡度、坡角的定义及二者的关系：坡度是斜坡铅直高度与水平宽度的比值，它等于坡角的正切值。我们可以先根据给出的坡度得到坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值即可求出坡角的度数。
【解析】
设此斜坡的坡角为$α$，
根据坡度的定义可知，坡度$i = \tanα = 1:\sqrt{3}$，
计算得$\tanα = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
结合特殊角的三角函数值，且坡角满足$0° ＜ α ＜ 90°$，可得$α = 30°$。
【答案】
B
【知识点】
坡度与坡角的关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的基础应用，核心是掌握坡度和坡角的对应关系，只要熟记特殊角的三角函数值就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，一个斜坡通道 AB 的长为 6 m，坡角$∠ B=α$，那么该斜坡的垂直高度AC可以表示为 （
A.$6\sinα$ m；
B.$6\cosα$ m；
C.$6\tanα$ m；
D.$\frac{6}{\sinα}$ m.
A
）A.$6\sinα$ m；
B.$6\cosα$ m；
C.$6\tanα$ m；
D.$\frac{6}{\sinα}$ m.
答案
2. A.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础应用题，首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB的长度和坡角∠B=α，要求垂直高度AC，我们需要先明确AC是∠B的对边，AB是斜边，对应锐角三角函数里的正弦定义，就可以推导出AC的表达式。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，即$\sin B=\frac{AC}{AB}$。
已知$AB=6\mathrm{m}$，$∠ B=α$，代入得：
$\sinα=\frac{AC}{6}$，
变形可得$AC=6\sinα \ \mathrm{m}$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义、解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数在实际问题中的应用，熟练掌握各锐角三角函数的定义，明确正弦、余弦、正切分别对应的边的比例关系是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
本题是解直角三角形的基础应用题，首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB的长度和坡角∠B=α，要求垂直高度AC，我们需要先明确AC是∠B的对边，AB是斜边，对应锐角三角函数里的正弦定义，就可以推导出AC的表达式。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，即$\sin B=\frac{AC}{AB}$。
已知$AB=6\mathrm{m}$，$∠ B=α$，代入得：
$\sinα=\frac{AC}{6}$，
变形可得$AC=6\sinα \ \mathrm{m}$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义、解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数在实际问题中的应用，熟练掌握各锐角三角函数的定义，明确正弦、余弦、正切分别对应的边的比例关系是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 一座楼梯的示意图如图所示，AC表示水平地面，BC表示楼梯的高，BA与CA的夹角为$θ$. 现要在楼梯上铺一条地毯，已知$CA=4\ \mathrm{m}$，楼梯宽度为$3\ \mathrm{m}$，则地毯的面积至少需要 （
A.$\frac{4}{\sinθ}\ \mathrm{m}^2$；
B.$(4 + 4\tanθ)\ \mathrm{m}^2$；
C.$(12 + \frac{12}{\tanθ})\ \mathrm{m}^2$；
D.$(12 + 12\tanθ)\ \mathrm{m}^2$.
D
）A.$\frac{4}{\sinθ}\ \mathrm{m}^2$；
B.$(4 + 4\tanθ)\ \mathrm{m}^2$；
C.$(12 + \frac{12}{\tanθ})\ \mathrm{m}^2$；
D.$(12 + 12\tanθ)\ \mathrm{m}^2$.
答案
3. D.
解析
【分析】
要计算地毯的最小面积，首先需确定地毯的总长度：利用平移的性质，楼梯所有水平台阶的长度之和等于水平地面AC的长度，所有竖直台阶的高度之和等于楼梯的高BC；再在Rt△ABC中，根据正切的定义求出BC的长度，即可得到地毯总长度，最后结合楼梯宽度，用矩形面积公式计算面积即可。
【解析】
根据平移的性质，地毯的水平部分总长度 = AC = 4m，竖直部分总高度 = BC。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\tanθ=\frac{BC}{AC}$，代入AC=4m，得$BC=AC·\tanθ=4\tanθ$ m。
因此地毯的总长度为$4 + 4\tanθ$ m。
已知楼梯宽度为3m，地毯为矩形，面积=总长度×宽度，即：
$S=3×(4 + 4\tanθ)=(12 + 12\tanθ)\ \mathrm{m}^2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，解直角三角形，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查平移性质和解直角三角形的应用，解题的关键是通过平移将分散的台阶长度、高度转化为直角三角形的直角边长，降低计算难度，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
要计算地毯的最小面积，首先需确定地毯的总长度：利用平移的性质，楼梯所有水平台阶的长度之和等于水平地面AC的长度，所有竖直台阶的高度之和等于楼梯的高BC；再在Rt△ABC中，根据正切的定义求出BC的长度，即可得到地毯总长度，最后结合楼梯宽度，用矩形面积公式计算面积即可。
【解析】
根据平移的性质，地毯的水平部分总长度 = AC = 4m，竖直部分总高度 = BC。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\tanθ=\frac{BC}{AC}$，代入AC=4m，得$BC=AC·\tanθ=4\tanθ$ m。
因此地毯的总长度为$4 + 4\tanθ$ m。
已知楼梯宽度为3m，地毯为矩形，面积=总长度×宽度，即：
$S=3×(4 + 4\tanθ)=(12 + 12\tanθ)\ \mathrm{m}^2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，解直角三角形，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查平移性质和解直角三角形的应用，解题的关键是通过平移将分散的台阶长度、高度转化为直角三角形的直角边长，降低计算难度，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如果斜坡的坡度$i=1:3$，斜坡高$h=4\ \mathrm{m}$，那么斜坡长为
4. 如果斜坡的坡度$i=1:3$，斜坡高$h=4\ \mathrm{m}$，那么斜坡长为
$4\sqrt{10}$
m，坡角的正切值是$\frac{1}{3}$
。答案
4. $4\sqrt{10}$；$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度i是斜坡的竖直高度与水平宽度的比值，同时坡度也等于坡角的正切值。解题思路如下：第一步，根据坡度的定义，结合已知的斜坡高度，求出斜坡的水平宽度；第二步，斜坡的高、水平宽度和斜坡长构成直角三角形，用勾股定理即可求出斜坡长；第三步，坡角的正切值直接等于坡度的比值，可直接得出结果。
【解析】
解：
∵ 斜坡的坡度$i = \frac{\mathrm{竖直高度}h}{\mathrm{水平宽度}d} = 1:3$，已知$h=4\ \mathrm{m}$
∴ $\frac{4}{d} = \frac{1}{3}$，解得水平宽度$d=12\ \mathrm{m}$
斜坡长为直角三角形的斜边，由勾股定理得：
斜坡长$l = \sqrt{h^2 + d^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
又
∵ 坡角的正切值等于坡度，即$\tanα = i = \frac{1}{3}$
【答案】
$4\sqrt{10}$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
坡度的概念；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查坡度与坡角的对应关系，只要准确掌握坡度的定义，结合直角三角形的勾股定理就能快速求解，是坡度类问题的常规考法。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确坡度的定义：坡度i是斜坡的竖直高度与水平宽度的比值，同时坡度也等于坡角的正切值。解题思路如下：第一步，根据坡度的定义，结合已知的斜坡高度，求出斜坡的水平宽度；第二步，斜坡的高、水平宽度和斜坡长构成直角三角形，用勾股定理即可求出斜坡长；第三步，坡角的正切值直接等于坡度的比值，可直接得出结果。
【解析】
解：
∵ 斜坡的坡度$i = \frac{\mathrm{竖直高度}h}{\mathrm{水平宽度}d} = 1:3$，已知$h=4\ \mathrm{m}$
∴ $\frac{4}{d} = \frac{1}{3}$，解得水平宽度$d=12\ \mathrm{m}$
斜坡长为直角三角形的斜边，由勾股定理得：
斜坡长$l = \sqrt{h^2 + d^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
又
∵ 坡角的正切值等于坡度，即$\tanα = i = \frac{1}{3}$
【答案】
$4\sqrt{10}$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
坡度的概念；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查坡度与坡角的对应关系，只要准确掌握坡度的定义，结合直角三角形的勾股定理就能快速求解，是坡度类问题的常规考法。
【难度系数】
0.8
5. 有一座山坡，坡面长为130 m，山坡的高度为50 m，那么此山坡的坡度为
$1:2.4$
.答案
5. $1:2.4$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，而非铅直高度与坡面长度的比值。解题时第一步先利用勾股定理，结合已知的坡面长度（斜边）和山坡高度（铅直边），求出坡面的水平宽度，第二步再根据坡度的定义计算比值，并化简为前项为1的形式即可。
【解析】
首先计算山坡的水平宽度：
根据勾股定理，水平宽度 $ l = \sqrt{坡面长^2 - 高度^2} = \sqrt{130^2 - 50^2} $
计算得：$ 130^2 = 16900 $，$ 50^2 = 2500 $，因此 $ l = \sqrt{16900 - 2500} = \sqrt{14400} = 120\ \mathrm{m} $
根据坡度的定义，坡度 $ i = \mathrm{铅直高度}:\mathrm{水平宽度} = 50:120 $
将比值化简为前项为1的形式：两边同时除以50，得 $ i = 1:2.4 $
【答案】
$1:2.4$
【知识点】
坡度的概念、勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查对坡度定义的理解，易错点是容易混淆坡度的比的对象，误将铅直高度与坡面长度的比当作坡度，解题时只要准确记忆坡度定义，结合勾股定理计算水平宽度即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，而非铅直高度与坡面长度的比值。解题时第一步先利用勾股定理，结合已知的坡面长度（斜边）和山坡高度（铅直边），求出坡面的水平宽度，第二步再根据坡度的定义计算比值，并化简为前项为1的形式即可。
【解析】
首先计算山坡的水平宽度：
根据勾股定理，水平宽度 $ l = \sqrt{坡面长^2 - 高度^2} = \sqrt{130^2 - 50^2} $
计算得：$ 130^2 = 16900 $，$ 50^2 = 2500 $，因此 $ l = \sqrt{16900 - 2500} = \sqrt{14400} = 120\ \mathrm{m} $
根据坡度的定义，坡度 $ i = \mathrm{铅直高度}:\mathrm{水平宽度} = 50:120 $
将比值化简为前项为1的形式：两边同时除以50，得 $ i = 1:2.4 $
【答案】
$1:2.4$
【知识点】
坡度的概念、勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查对坡度定义的理解，易错点是容易混淆坡度的比的对象，误将铅直高度与坡面长度的比当作坡度，解题时只要准确记忆坡度定义，结合勾股定理计算水平宽度即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. 某斜坡坡角α的正弦值为$\frac{1}{3}$，那么这个斜坡的坡度为
$1:2\sqrt{2}$
。答案
6. $1:2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心概念：1. 坡角α的正弦值是直角三角形中α的对边与斜边的比值；2. 斜坡的坡度是铅直高度与水平宽度的比值，也就是坡角的正切值tanα。已知sinα的值，我们可以通过设参数的方式表示出直角三角形的对边和斜边，再用勾股定理求出邻边，最终计算得到正切值也就是坡度。
【解析】
设该斜坡的坡角为α，由题意得$\sinα=\frac{1}{3}$。
将坡角α置于直角三角形中，设α的对边（即斜坡的铅直高度）为$k$，则斜边长度为$3k$（$k＞0$）。
根据勾股定理，α的邻边（即斜坡的水平宽度）为：
$\sqrt{(3k)^2 - k^2}=\sqrt{9k^2 - k^2}=\sqrt{8k^2}=2\sqrt{2}k$
根据坡度的定义，坡度$i=$铅直高度$:$水平宽度，代入得：
$i=k:2\sqrt{2}k=1:2\sqrt{2}$
【答案】
$1:2\sqrt{2}$
【知识点】
坡度与坡角的关系，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查坡度的定义以及锐角三角函数的相关计算，解题时只要准确掌握坡度、坡角与锐角三角函数的对应关系，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需要明确两个核心概念：1. 坡角α的正弦值是直角三角形中α的对边与斜边的比值；2. 斜坡的坡度是铅直高度与水平宽度的比值，也就是坡角的正切值tanα。已知sinα的值，我们可以通过设参数的方式表示出直角三角形的对边和斜边，再用勾股定理求出邻边，最终计算得到正切值也就是坡度。
【解析】
设该斜坡的坡角为α，由题意得$\sinα=\frac{1}{3}$。
将坡角α置于直角三角形中，设α的对边（即斜坡的铅直高度）为$k$，则斜边长度为$3k$（$k＞0$）。
根据勾股定理，α的邻边（即斜坡的水平宽度）为：
$\sqrt{(3k)^2 - k^2}=\sqrt{9k^2 - k^2}=\sqrt{8k^2}=2\sqrt{2}k$
根据坡度的定义，坡度$i=$铅直高度$:$水平宽度，代入得：
$i=k:2\sqrt{2}k=1:2\sqrt{2}$
【答案】
$1:2\sqrt{2}$
【知识点】
坡度与坡角的关系，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查坡度的定义以及锐角三角函数的相关计算，解题时只要准确掌握坡度、坡角与锐角三角函数的对应关系，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
