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13. 为测量一条两岸平行的河流宽度，三个研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在点A的正北方向. 测量方案与数据如下：
课题名称：测量河流宽度
测量工具：测量角度的仪器、皮尺等
测量小组：第一小组、第二小组、第三小组
测量方案示意图：[图],
, [图]
说明：
第一小组：点B、C在点A的正东方向
第二小组：点B、D在点A的正东方向
第三小组：点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据：
第一小组：$BC=60\ \mathrm{m}$，$∠ ABH=70°$，$∠ ACH=35°$
第二小组：$BD=20\ \mathrm{m}$，$∠ ABH=70°$，$∠ BCD=35°$
第三小组：$BC=101\ \mathrm{m}$，$∠ ABH=70°$，$∠ ACH=35°$
（1）哪个小组的测量数据无法计算出河宽？
（2）选择其中一个测量方案及其测量数据求出河宽.（精确到 $0.1\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sin70°\approx0.94$，$\sin35°\approx0.57$，$\tan70°\approx2.75$，$\tan35°\approx0.70$）
课题名称：测量河流宽度
测量工具：测量角度的仪器、皮尺等
测量小组：第一小组、第二小组、第三小组
测量方案示意图：[图],
, [图]说明：
第一小组：点B、C在点A的正东方向
第二小组：点B、D在点A的正东方向
第三小组：点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据：
第一小组：$BC=60\ \mathrm{m}$，$∠ ABH=70°$，$∠ ACH=35°$
第二小组：$BD=20\ \mathrm{m}$，$∠ ABH=70°$，$∠ BCD=35°$
第三小组：$BC=101\ \mathrm{m}$，$∠ ABH=70°$，$∠ ACH=35°$
（1）哪个小组的测量数据无法计算出河宽？
（2）选择其中一个测量方案及其测量数据求出河宽.（精确到 $0.1\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sin70°\approx0.94$，$\sin35°\approx0.57$，$\tan70°\approx2.75$，$\tan35°\approx0.70$）
答案
13. (1) 第二小组.
(2) 56.4 m. 提示：利用第一小组的测量方案，可证明 $BC=BH=60\ \mathrm{m}$，则 $AH= 60 · \sin 70° \approx 56.4(\mathrm{m})$. 利用第三小组的测量方案，可设 $AH=x\ \mathrm{m}$，则 $CA=\dfrac{AH}{\tan 35°}$，$AB=\dfrac{AH}{\tan 70°}$，根据 $CA+AB=CB$，得 $\dfrac{AH}{\tan 35°}+\dfrac{AH}{\tan 70°}=101$，解得 $AH\approx56.4$.
(2) 56.4 m. 提示：利用第一小组的测量方案，可证明 $BC=BH=60\ \mathrm{m}$，则 $AH= 60 · \sin 70° \approx 56.4(\mathrm{m})$. 利用第三小组的测量方案，可设 $AH=x\ \mathrm{m}$，则 $CA=\dfrac{AH}{\tan 35°}$，$AB=\dfrac{AH}{\tan 70°}$，根据 $CA+AB=CB$，得 $\dfrac{AH}{\tan 35°}+\dfrac{AH}{\tan 70°}=101$，解得 $AH\approx56.4$.
解析
【分析】
（1）判断哪个小组无法计算河宽，核心是看已知条件能否建立河宽AH与已知边长的等量关系：第一小组可借助三角形外角性质得到等腰三角形，将已知边长BC转化为直角三角形的斜边BH，再用三角函数求AH；第三小组可利用C、A、B共线得到AC+AB=BC，分别用AH表示AC、AB列方程求解；第二小组的已知量无法和AH建立关联，因此不能计算。（2）求解河宽时，选择第一小组可先证等腰得到BH长度，再在直角三角形中用正弦函数计算；选择第三小组可设AH为未知数，结合正切函数表示AC和AB，根据线段和列方程求解。
【解析】
（1）第二小组的测量数据无法计算出河宽，因为其给出的BD、∠ABH、∠BCD三个已知量，没有可关联河宽AH的等量关系，无法建立可解的关系式。
（2）选择第一小组的方案求解：
在△BHC中，∠ABH是△BHC的外角，根据三角形外角性质：
$∠ ABH = ∠ ACH + ∠ BHC$
代入已知$∠ ABH=70°$，$∠ ACH=35°$，得：
$∠ BHC=70°-35°=35°$
因此$∠ BHC=∠ ACH$，可得$BH=BC=60\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$∠ BAH=90°$，由正弦函数定义：
$\sin∠ ABH=\frac{AH}{BH}$
则$AH=BH·\sin70°\approx60×0.94=56.4\ \mathrm{m}$。
（若选择第三小组：设$AH=x\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ACH$中$\tan35°=\frac{AH}{AC}$，得$AC=\frac{x}{\tan35°}$；在$\mathrm{Rt}△ ABH$中$\tan70°=\frac{AH}{AB}$，得$AB=\frac{x}{\tan70°}$。由$AC+AB=BC$得$\frac{x}{0.70}+\frac{x}{2.75}=101$，解得$x\approx56.4\ \mathrm{m}$。）
【答案】
（1）第二小组；（2）$\boxed{56.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形的应用；等腰三角形的判定；三角形外角性质
【点评】
本题以实际测量河宽为背景，考查将实际问题转化为几何问题的能力，需要灵活运用三角形性质和三角函数建立等量关系求解，贴合生活实际，体现了数学的应用价值。
【难度系数】
0.7
（1）判断哪个小组无法计算河宽，核心是看已知条件能否建立河宽AH与已知边长的等量关系：第一小组可借助三角形外角性质得到等腰三角形，将已知边长BC转化为直角三角形的斜边BH，再用三角函数求AH；第三小组可利用C、A、B共线得到AC+AB=BC，分别用AH表示AC、AB列方程求解；第二小组的已知量无法和AH建立关联，因此不能计算。（2）求解河宽时，选择第一小组可先证等腰得到BH长度，再在直角三角形中用正弦函数计算；选择第三小组可设AH为未知数，结合正切函数表示AC和AB，根据线段和列方程求解。
【解析】
（1）第二小组的测量数据无法计算出河宽，因为其给出的BD、∠ABH、∠BCD三个已知量，没有可关联河宽AH的等量关系，无法建立可解的关系式。
（2）选择第一小组的方案求解：
在△BHC中，∠ABH是△BHC的外角，根据三角形外角性质：
$∠ ABH = ∠ ACH + ∠ BHC$
代入已知$∠ ABH=70°$，$∠ ACH=35°$，得：
$∠ BHC=70°-35°=35°$
因此$∠ BHC=∠ ACH$，可得$BH=BC=60\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$∠ BAH=90°$，由正弦函数定义：
$\sin∠ ABH=\frac{AH}{BH}$
则$AH=BH·\sin70°\approx60×0.94=56.4\ \mathrm{m}$。
（若选择第三小组：设$AH=x\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ACH$中$\tan35°=\frac{AH}{AC}$，得$AC=\frac{x}{\tan35°}$；在$\mathrm{Rt}△ ABH$中$\tan70°=\frac{AH}{AB}$，得$AB=\frac{x}{\tan70°}$。由$AC+AB=BC$得$\frac{x}{0.70}+\frac{x}{2.75}=101$，解得$x\approx56.4\ \mathrm{m}$。）
【答案】
（1）第二小组；（2）$\boxed{56.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形的应用；等腰三角形的判定；三角形外角性质
【点评】
本题以实际测量河宽为背景，考查将实际问题转化为几何问题的能力，需要灵活运用三角形性质和三角函数建立等量关系求解，贴合生活实际，体现了数学的应用价值。
【难度系数】
0.7
