三、解答题
11. 如图，在某建筑物AC上挂着“垃圾分类”的宣传条幅BC，小海在点F处看条幅顶端B，测得仰角为$30°$. 再往条幅方向前进20 m到达点E处，此时小海看条幅顶端B，测得仰角为$60°$. 求宣传条幅BC的长.

11. 宣传条幅BC的长为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.

【分析】
这是一道解直角三角形的仰角应用问题，解题思路如下：首先观察图形，存在共直角边BC的两个直角三角形Rt△BCE和Rt△BCF，已知两个仰角的度数和EF的长度。我们可以先利用三角形外角的性质，推出△BEF是等腰三角形，得到BE=EF，再在Rt△BCE中利用60°角的三角函数值求出BC的长度；也可以设BC为未知数，分别用三角函数表示出FC和EC的长度，根据FC-EC=EF=20m列方程求解，两种方法均能快速得到结果。
【解析】
解：由题意得：$∠ F=30°$，$∠ BEC=60°$，$∠ C=90°$，$EF=20\ \mathrm{m}$。
∵ $∠ BEC$是$△ BEF$的外角，
∴ $∠ EBF=∠ BEC-∠ F=60°-30°=30°$，
∴ $∠ EBF=∠ F$，
∴ $BE=EF=20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ C=90°$，$∠ BEC=60°$，
∵ $\sin∠ BEC=\frac{BC}{BE}$，
∴ $BC=BE·\sin60°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 仰角应用问题
2. 锐角三角函数
3. 等腰三角形判定
【点评】
本题属于解直角三角形应用的常规题型，解题的关键是结合仰角构造直角三角形，通过边角关系找到线段间的等量关系，既可以用等腰三角形性质简化计算，也可以用方程思想求解，能较好考察学生对解直角三角形知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

12. 中国古代有一种舂(chōng)谷的工具——“碓”，其平面示意图如图所示. 已知$AB⊥CD$，垂足为$B$，$AB$与水平线$l$相交于点$O$，$OE⊥l$. 若$BC=6\ \mathrm{dm}$，$OB=14\ \mathrm{dm}$，从点$O$处测得点$B$处的仰角为$30°$，求点$C$到水平线$l$的距离$CF$.（结果保留一位小数，参考数据：$\sqrt{3}≈1.73$）

12. 1.8 dm.

【分析】
要求点C到水平线l的距离CF，可通过构造辅助线转化为解直角三角形的问题求解：首先过点B作BG垂直l于G，利用仰角30°和OB的长度求出B到l的竖直距离BG；再结合AB⊥CD的条件推出∠CBG的度数，过C作CH垂直BG于H，利用三角函数求出BH的长度；最后根据矩形的性质可得CF=BG-BH，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：过点B作$BG ⊥ l$于点G，过点C作$CH ⊥ BG$于点H，
则四边形CFGH为矩形，因此$CF = HG$。
由题意得，从O处看B的仰角为30°，即$∠ BOG = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BOG$中，$OB=14\ \mathrm{dm}$：
$BG = OB · \sin30° = 14 × \frac{1}{2} = 7\ \mathrm{dm}$，
$∠ OBG = 90° - 30° = 60°$。
∵$AB ⊥ CD$，
∴$∠ CBD = 90°$，
∴$∠ CBH = 180° - ∠ CBD - ∠ OBG = 180° - 90° - 60° = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$BC=6\ \mathrm{dm}$：
$BH = BC · \cos30° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
因此$CF = HG = BG - BH = 7 - 3\sqrt{3} \approx 7 - 3 × 1.73 = 1.81 \approx 1.8\ \mathrm{dm}$。
【答案】
1.8 dm
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，仰角的定义
【点评】
本题结合传统生产工具考查解直角三角形的实际应用，需要学生正确构造辅助线，梳理图形中的角度关系和边角关系，将实际问题转化为几何计算问题，兼顾了对知识应用能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.6