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5. 如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为 
$a \cos θ$
km.（用含字母a、θ的式子表示）答案
5. $a \cos θ$.
解析
【分析】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题时首先观察图形可知△ALR为直角三角形，∠L=90°，已知斜边AR的长度为a，锐角∠ARL=θ，所求的LR是∠θ的邻边。回忆三角函数的定义，余弦表示锐角的邻边与斜边的比值，因此可以用余弦函数建立已知量和未知量的关系，进而求出LR的长度。
【解析】
解：由图可知△ALR是直角三角形，∠ALR=90°。
在Rt△ALR中，AR=a，∠ARL=θ，
根据余弦的定义：$\cosθ = \frac{\mathrm{∠θ的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{LR}{AR}$，
变形可得$LR = AR · \cosθ = a\cosθ$。
【答案】
$a \cos θ$
【知识点】
1. 余弦的定义 2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，结合实际测量场景，要求学生能准确识别直角三角形中的边角对应关系，合理选择三角函数进行计算，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查解直角三角形的实际应用，解题时首先观察图形可知△ALR为直角三角形，∠L=90°，已知斜边AR的长度为a，锐角∠ARL=θ，所求的LR是∠θ的邻边。回忆三角函数的定义，余弦表示锐角的邻边与斜边的比值，因此可以用余弦函数建立已知量和未知量的关系，进而求出LR的长度。
【解析】
解：由图可知△ALR是直角三角形，∠ALR=90°。
在Rt△ALR中，AR=a，∠ARL=θ，
根据余弦的定义：$\cosθ = \frac{\mathrm{∠θ的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{LR}{AR}$，
变形可得$LR = AR · \cosθ = a\cosθ$。
【答案】
$a \cos θ$
【知识点】
1. 余弦的定义 2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，结合实际测量场景，要求学生能准确识别直角三角形中的边角对应关系，合理选择三角函数进行计算，难度较低。
【难度系数】
0.9
6. 某飞机在离地面 2 000 m 的上空测得地面控制点的俯角为 $ 60° $，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是
$\dfrac{4000\sqrt{3}}{3}$
m.答案
6. $\dfrac{4000\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
首先明确俯角的定义：视线在水平线以下时与水平线的夹角。本题可将飞机位置、地面控制点、飞机在地面的垂足三点构造成直角三角形，其中竖直直角边为飞机离地面的高度2000m，该边所对的锐角等于俯角60°，要求的飞机与控制点的距离是直角三角形的斜边，可利用正弦函数建立边角关系求解，最后对结果做分母有理化处理即可。
【解析】
设此时飞机与地面控制点之间的距离为$x$ m。
由俯角的性质可知，在构造的直角三角形中，2000m的竖直高度是60°角对应的对边，$x$为直角三角形的斜边，根据正弦函数的定义：
$\sin60°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{2000}{x}$
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2000}{x}$
解得$x=\frac{2000×2}{\sqrt{3}}=\frac{4000\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{4000\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
俯角的概念，解直角三角形，正弦函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题型，解题核心是准确理解俯角的含义，将实际场景转化为直角三角形的数学模型，再结合锐角三角函数的性质计算，注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
首先明确俯角的定义：视线在水平线以下时与水平线的夹角。本题可将飞机位置、地面控制点、飞机在地面的垂足三点构造成直角三角形，其中竖直直角边为飞机离地面的高度2000m，该边所对的锐角等于俯角60°，要求的飞机与控制点的距离是直角三角形的斜边，可利用正弦函数建立边角关系求解，最后对结果做分母有理化处理即可。
【解析】
设此时飞机与地面控制点之间的距离为$x$ m。
由俯角的性质可知，在构造的直角三角形中，2000m的竖直高度是60°角对应的对边，$x$为直角三角形的斜边，根据正弦函数的定义：
$\sin60°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{2000}{x}$
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2000}{x}$
解得$x=\frac{2000×2}{\sqrt{3}}=\frac{4000\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{4000\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
俯角的概念，解直角三角形，正弦函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题型，解题核心是准确理解俯角的含义，将实际场景转化为直角三角形的数学模型，再结合锐角三角函数的性质计算，注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
7. 升国旗时，学生甲站在离旗杆底部24 m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，甲的视线的仰角为 $ 30° $。如果双眼离地面1.5 m，那么旗杆的高度为
$\dfrac{3}{2}+8\sqrt{3}$
m。（第5题）答案
7. $\dfrac{3}{2}+8\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的仰角类实际应用题，解题思路如下：首先将实际场景转化为直角三角形几何模型：学生到旗杆的水平距离是直角三角形的邻边，旗杆超出人眼高度的部分是直角三角形的对边，仰角30°是视线与水平线的夹角。已知邻边长度求对边，可选用正切函数计算旗杆超出人眼的高度，最后加上人眼离地面的高度，就能得到旗杆总高度，注意不要漏加底部1.5m的高度。
【解析】
解：根据题意构造直角三角形，已知：
学生到旗杆底部的水平距离（直角三角形邻边）为24m，仰角为30°，人眼离地面高度为$1.5=\frac{3}{2}$m。
设旗杆超出人眼的高度为$x$m，
在直角三角形中，$\tan30°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{x}{24}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：
$x=24×\frac{\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$
则旗杆总高度为超出人眼的高度加人眼离地面高度，即：
总高度$=8\sqrt{3}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+8\sqrt{3}$（m）
【答案】
$\dfrac{3}{2}+8\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形应用；仰角概念；特殊角三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，核心考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题时要注意结合仰角的定义找准直角三角形的对应边角，牢记特殊角的三角函数值即可顺利求解，易错点是遗漏人眼到地面的高度。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的仰角类实际应用题，解题思路如下：首先将实际场景转化为直角三角形几何模型：学生到旗杆的水平距离是直角三角形的邻边，旗杆超出人眼高度的部分是直角三角形的对边，仰角30°是视线与水平线的夹角。已知邻边长度求对边，可选用正切函数计算旗杆超出人眼的高度，最后加上人眼离地面的高度，就能得到旗杆总高度，注意不要漏加底部1.5m的高度。
【解析】
解：根据题意构造直角三角形，已知：
学生到旗杆底部的水平距离（直角三角形邻边）为24m，仰角为30°，人眼离地面高度为$1.5=\frac{3}{2}$m。
设旗杆超出人眼的高度为$x$m，
在直角三角形中，$\tan30°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{x}{24}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：
$x=24×\frac{\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$
则旗杆总高度为超出人眼的高度加人眼离地面高度，即：
总高度$=8\sqrt{3}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+8\sqrt{3}$（m）
【答案】
$\dfrac{3}{2}+8\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形应用；仰角概念；特殊角三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，核心考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题时要注意结合仰角的定义找准直角三角形的对应边角，牢记特殊角的三角函数值即可顺利求解，易错点是遗漏人眼到地面的高度。
【难度系数】
0.7
8. 如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东$60°$方向，渔船向正东方向航行12海里到达B处，测得灯塔C在它的北偏东$45°$方向。若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是
$6\sqrt{3}+6$
海里。答案
8. $6\sqrt{3}+6$.
解析
【分析】
要求渔船与灯塔C的最短距离，根据点到直线的距离垂线段最短，需过点C作AB延长线的垂线CD，CD即为所求最短距离。首先根据方位角的定义求出∠CAD=30°，∠CBD=45°，可得△CBD为等腰直角三角形，即CD=BD。设CD为x，用含x的式子表示出AD的长度，再在Rt△ACD中利用30°角的正切值列方程求解即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD=x海里。
由题意可知：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-45°=45°，AB=12海里。
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，
∴ BD=CD=x海里，
∴ AD=AB+BD=(12+x)海里。
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠CAD=30°，
∴ tan30°=$\frac{CD}{AD}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{12+x}$，
交叉相乘得：$\sqrt{3}(12+x)=3x$，
整理得：$x(3-\sqrt{3})=12\sqrt{3}$，
解得：$x=\frac{12\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{36\sqrt{3}+36}{6}=6\sqrt{3}+6$。
【答案】
$6\sqrt{3}+6$
【知识点】
解直角三角形的应用，方位角识别，点到直线的距离
【点评】
本题属于解直角三角形中方位角的典型题型，解题核心是通过作垂线构造含特殊角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值建立边的等量关系列方程求解，计算时要注意分母有理化的运算准确性。
【难度系数】
0.6
要求渔船与灯塔C的最短距离，根据点到直线的距离垂线段最短，需过点C作AB延长线的垂线CD，CD即为所求最短距离。首先根据方位角的定义求出∠CAD=30°，∠CBD=45°，可得△CBD为等腰直角三角形，即CD=BD。设CD为x，用含x的式子表示出AD的长度，再在Rt△ACD中利用30°角的正切值列方程求解即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD=x海里。
由题意可知：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-45°=45°，AB=12海里。
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，
∴ BD=CD=x海里，
∴ AD=AB+BD=(12+x)海里。
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠CAD=30°，
∴ tan30°=$\frac{CD}{AD}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{12+x}$，
交叉相乘得：$\sqrt{3}(12+x)=3x$，
整理得：$x(3-\sqrt{3})=12\sqrt{3}$，
解得：$x=\frac{12\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{36\sqrt{3}+36}{6}=6\sqrt{3}+6$。
【答案】
$6\sqrt{3}+6$
【知识点】
解直角三角形的应用，方位角识别，点到直线的距离
【点评】
本题属于解直角三角形中方位角的典型题型，解题核心是通过作垂线构造含特殊角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值建立边的等量关系列方程求解，计算时要注意分母有理化的运算准确性。
【难度系数】
0.6
9. 某种型号的机器狗模型在正常状态下小腿和大腿之间有一定夹角，其腿部简化图如图所示，其中$AB=BC=20\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC=120°$. 机器狗在正常状态下的高度可以看成A、C两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为
$20\sqrt{3}$
cm.答案
9. $20\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要求A、C两点的距离，首先连接AC得到△ABC，已知AB=BC，可知△ABC为等腰三角形。我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点B作AC的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再通过解直角三角形求出AC的长度。
【解析】
连接AC，过点B作BD⊥AC，垂足为D。
∵ AB=BC=20cm，
∴ △ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得：
AD=DC，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，$∠ ABD=60°$，AB=20cm，
由锐角三角函数的定义得：$\sin∠ ABD=\frac{AD}{AB}$，
∴ $AD=AB·\sin60°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=2AD=2×10\sqrt{3}=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的核心是通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，再结合等腰三角形性质和三角函数计算边长，是几何应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要求A、C两点的距离，首先连接AC得到△ABC，已知AB=BC，可知△ABC为等腰三角形。我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点B作AC的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再通过解直角三角形求出AC的长度。
【解析】
连接AC，过点B作BD⊥AC，垂足为D。
∵ AB=BC=20cm，
∴ △ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得：
AD=DC，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，$∠ ABD=60°$，AB=20cm，
由锐角三角函数的定义得：$\sin∠ ABD=\frac{AD}{AB}$，
∴ $AD=AB·\sin60°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=2AD=2×10\sqrt{3}=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的核心是通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，再结合等腰三角形性质和三角函数计算边长，是几何应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，两个直角三角形$△ OAB$和$△ OBC$组成一个几何图形. $∠ A=∠ OBC=90°$，在$△ OBC$内部作菱形$CDEF$，使点$D$、$E$、$F$分别在边$OC$、$OB$、$BC$上，过点$E$作$EH⊥ AB$，垂足为$H$. 当$AB=BC$，$∠ BOC=30°$，$DE=2$时，$EH$的长为________.
答案
10. $\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手，得到边长与边的平行关系，再结合30°直角三角形的性质求出OC、OB、OE的长度，利用AB=BC得到AB的长度，最后通过解直角三角形结合勾股定理求出EH的长度即可。
【解析】
1. 由菱形CDEF的性质可得：$CD=DE=2$，且$DE// BC$。
2. 已知$∠ OBC=90°$，即$BC⊥ OB$，结合$DE// BC$可得$DE⊥ OB$，$∠ DEO=90°$。
3. 在$Rt△ ODE$中，$∠ BOC=30°$，$DE=2$，根据30°角所对直角边是斜边一半，得$OD=2DE=4$，因此$OC=OD+CD=4+2=6$。
4. 在$Rt△ OBC$中，$∠ BOC=30°$，$∠ OBC=90°$：
$BC=OC·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3$，$OB=OC·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，由$AB=BC$得$AB=3$。
5. 在$Rt△ ODE$中，$OE=\frac{DE}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}$，因此$BE=OB-OE=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
6. 由$EH⊥ AB$，$∠ A=90°$得$EH// AO$，$∠ HBE=∠ ABO$，在$Rt△ ABO$中，$\cos∠ ABO=\frac{AB}{OB}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
7. 在$Rt△ BHE$中，$\cos∠ HBE=\frac{BH}{BE}$，代入得$BH=BE·\cos∠ HBE=\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}=1$。
8. 由勾股定理：$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
菱形的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题综合了特殊四边形和直角三角形的相关知识，需要逐层推导各边的数量关系，解题的关键是利用菱形的平行性质得到直角三角形，结合特殊角的三角函数值逐步计算。
【难度系数】
0.6
解题时先从菱形的性质入手，得到边长与边的平行关系，再结合30°直角三角形的性质求出OC、OB、OE的长度，利用AB=BC得到AB的长度，最后通过解直角三角形结合勾股定理求出EH的长度即可。
【解析】
1. 由菱形CDEF的性质可得：$CD=DE=2$，且$DE// BC$。
2. 已知$∠ OBC=90°$，即$BC⊥ OB$，结合$DE// BC$可得$DE⊥ OB$，$∠ DEO=90°$。
3. 在$Rt△ ODE$中，$∠ BOC=30°$，$DE=2$，根据30°角所对直角边是斜边一半，得$OD=2DE=4$，因此$OC=OD+CD=4+2=6$。
4. 在$Rt△ OBC$中，$∠ BOC=30°$，$∠ OBC=90°$：
$BC=OC·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3$，$OB=OC·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，由$AB=BC$得$AB=3$。
5. 在$Rt△ ODE$中，$OE=\frac{DE}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}$，因此$BE=OB-OE=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
6. 由$EH⊥ AB$，$∠ A=90°$得$EH// AO$，$∠ HBE=∠ ABO$，在$Rt△ ABO$中，$\cos∠ ABO=\frac{AB}{OB}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
7. 在$Rt△ BHE$中，$\cos∠ HBE=\frac{BH}{BE}$，代入得$BH=BE·\cos∠ HBE=\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}=1$。
8. 由勾股定理：$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
菱形的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题综合了特殊四边形和直角三角形的相关知识，需要逐层推导各边的数量关系，解题的关键是利用菱形的平行性质得到直角三角形，结合特殊角的三角函数值逐步计算。
【难度系数】
0.6
