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14. 学科
特色
易错题「2026天津河北月考，★☆」关于$x$的方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$的两实数根为$x_1,x_2$，若$x_1x_2+x_1+x_2=2$，则$m$的值为（
A.$-3$
B.$-1$
C.$-3$或$3$
D.$-1$或$3$
特色
易错题「2026天津河北月考，★☆」关于$x$的方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$的两实数根为$x_1,x_2$，若$x_1x_2+x_1+x_2=2$，则$m$的值为（
A
）A.$-3$
B.$-1$
C.$-3$或$3$
D.$-1$或$3$
答案
14.A 由题意得$\Delta =[-(2m-1)]^2-4×1× m^2=(2m-1)^2-4m^2=-4m+1≥0$,即$m≤\frac{1}{4}$.由根与系数的关系,得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m-1$,$x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2$.$\because x_1x_2+x_1+x_2=2$,$\therefore m^2+(2m-1)=2$,即$m^2+2m-3=0$,解得$m=-3$或$m=1$(舍去),$\therefore m=-3$.故选A.
易错警示 使用根与系数的关系的前提条件是方程有两个实数根,即$\Delta≥0$.
易错警示 使用根与系数的关系的前提条件是方程有两个实数根,即$\Delta≥0$.
15.「2026河南安阳期末，★★☆」已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + 2m - 4 = 0$的两个实数根为$x_1, x_2$，若$x_1, x_2$满足$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = m^2 - 1$，则$m$的值为
$-1$
。答案
15.答案 $-1$
解析 由题意得,$\Delta=(-1)^2-4(2m-4)≥0$,整理,得$-8m+17≥0$,解得$m≤\frac{17}{8}$.由根与系数的关系得$x_1+x_2=1$,$x_1x_2=2m-4$.$\because (x_1-3)(x_2-3)=m^2-1$,$\therefore x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=m^2-1$,$\therefore 2m-4-3+9=m^2-1$,整理,得$m^2-2m-3=0$,解得$m_1=-1$,$m_2=3$(舍去),$\therefore m$的值为$-1$.
解析 由题意得,$\Delta=(-1)^2-4(2m-4)≥0$,整理,得$-8m+17≥0$,解得$m≤\frac{17}{8}$.由根与系数的关系得$x_1+x_2=1$,$x_1x_2=2m-4$.$\because (x_1-3)(x_2-3)=m^2-1$,$\therefore x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=m^2-1$,$\therefore 2m-4-3+9=m^2-1$,整理,得$m^2-2m-3=0$,解得$m_1=-1$,$m_2=3$(舍去),$\therefore m$的值为$-1$.
16.「2026湖南长沙月考，★☆」已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + a = 0$的两个实数根，且$x_1^2 - x_2^2 = 12$，则$a=$
$8$
。答案
16.答案 $8$
解析 由题意得$\Delta=(-6)^2-4a＞0$,解得$a＜9$.
由根与系数的关系得$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=a$,
$\because x_1^2-x_2^2=12$,$\therefore (x_1+x_2)(x_1-x_2)=12$,$\therefore x_1-x_2=2$,
$\therefore (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=36-4a=4$,
解得$a=8$,符合题意.
解析 由题意得$\Delta=(-6)^2-4a＞0$,解得$a＜9$.
由根与系数的关系得$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=a$,
$\because x_1^2-x_2^2=12$,$\therefore (x_1+x_2)(x_1-x_2)=12$,$\therefore x_1-x_2=2$,
$\therefore (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=36-4a=4$,
解得$a=8$,符合题意.
17.「2026上海松江期末，★★☆」已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2m+1)x + m^2 -1 =0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若该方程的两个实数根的平方和为21,求$m$的值.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若该方程的两个实数根的平方和为21,求$m$的值.
答案
17.解析 (1)$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$有两个不相等的实数根,
$\therefore \Delta=(2m+1)^2-4(m^2-1)＞0$,解得$m＞-\frac{5}{4}$.
(2)设$x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$的两个根分别为$a,b$,
则$a+b=-2m-1$,$ab=m^2-1$,
$\because$ 该方程的两个实数根的平方和为21,
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=21$,$\therefore (-2m-1)^2-2(m^2-1)=21$,
解得$m=-\sqrt{10}-1$或$m=\sqrt{10}-1$,
$\because m＞-\frac{5}{4}$,$\therefore m=\sqrt{10}-1$.
$\therefore \Delta=(2m+1)^2-4(m^2-1)＞0$,解得$m＞-\frac{5}{4}$.
(2)设$x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$的两个根分别为$a,b$,
则$a+b=-2m-1$,$ab=m^2-1$,
$\because$ 该方程的两个实数根的平方和为21,
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=21$,$\therefore (-2m-1)^2-2(m^2-1)=21$,
解得$m=-\sqrt{10}-1$或$m=\sqrt{10}-1$,
$\because m＞-\frac{5}{4}$,$\therefore m=\sqrt{10}-1$.
18.「2026湖北武汉江岸月考，★★☆」关于$x$的一元二次方程$mx^2 -2mx + m -2=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若$|x_1 -x_2|=1$,求$m$的值.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若$|x_1 -x_2|=1$,求$m$的值.
答案
18.解析 (1)$\because$ 关于$x$的一元二次方程$mx^2-2mx+m-2=0$有两个实数根,
$\therefore \Delta=(-2m)^2-4m(m-2)≥0$,且$m≠0$,解得$m＞0$,
$\therefore m$的取值范围是$m＞0$.
(2)由根与系数的关系得$x_1+x_2=2$,$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$.
$\because |x_1-x_2|=1$,$\therefore (x_1-x_2)^2=1$,
$\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$,
$\therefore 2^2-\frac{4m-8}{m}=1$,解得$m=8$,
经检验,$m=8$是原方程的解,且符合题意,
$\therefore m$的值为8.
$\therefore \Delta=(-2m)^2-4m(m-2)≥0$,且$m≠0$,解得$m＞0$,
$\therefore m$的取值范围是$m＞0$.
(2)由根与系数的关系得$x_1+x_2=2$,$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$.
$\because |x_1-x_2|=1$,$\therefore (x_1-x_2)^2=1$,
$\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$,
$\therefore 2^2-\frac{4m-8}{m}=1$,解得$m=8$,
经检验,$m=8$是原方程的解,且符合题意,
$\therefore m$的值为8.
