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8.「2026福建泉州期中，★★」已知实数$m,n$满足$2m^2 -7m +1=0$，$n^2 -7n +2=0$，且$mn≠1$，则$\frac{2mn +2}{mn +3n +1}$的值为
$\frac{14}{13}$
。答案
8.答案 $\frac{14}{13}$
解析 对于$n^2-7n+2=0$,$n$显然不等于0,等号两边同时除以$n^2$,得$2(\frac{1}{n})^2-\frac{7}{n}+1=0$,$\because mn≠1$,$\therefore m≠\frac{1}{n}$,$\therefore m,\frac{1}{n}$可看作方程$2x^2-7x+1=0$的两个根,由根与系数的关系得$m+\frac{1}{n}=\frac{7}{2}$,$\therefore \frac{mn+1}{n}=\frac{7}{2}$,$\therefore mn+1=\frac{7}{2}n$,$\therefore 原式=\frac{2(mn+1)}{(mn+1)+3n}=\frac{2×\frac{7}{2}n}{\frac{7}{2}n+3n}=\frac{14}{13}$.
解析 对于$n^2-7n+2=0$,$n$显然不等于0,等号两边同时除以$n^2$,得$2(\frac{1}{n})^2-\frac{7}{n}+1=0$,$\because mn≠1$,$\therefore m≠\frac{1}{n}$,$\therefore m,\frac{1}{n}$可看作方程$2x^2-7x+1=0$的两个根,由根与系数的关系得$m+\frac{1}{n}=\frac{7}{2}$,$\therefore \frac{mn+1}{n}=\frac{7}{2}$,$\therefore mn+1=\frac{7}{2}n$,$\therefore 原式=\frac{2(mn+1)}{(mn+1)+3n}=\frac{2×\frac{7}{2}n}{\frac{7}{2}n+3n}=\frac{14}{13}$.
9.「2026上海闵行期中，★★☆」已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 -5x +1=0$的两实数根.
(1)求方程判别式的值.
(2)求$x_1x_2^2 + x_1^2x_2$和$|x_1 - x_2|$的值.
(1)求方程判别式的值.
(2)求$x_1x_2^2 + x_1^2x_2$和$|x_1 - x_2|$的值.
答案
9.解析 (1)$\because a=2$,$b=-5$,$c=1$,
$\therefore \Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=25-8=17$.
(2)由根与系数的关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-(-\frac{5}{2})=\frac{5}{2}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,$\therefore x_1x_2^2+x_1^2x_2=x_1x_2(x_1+x_2)=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$.
$\because (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{5}{2})^2-4×\frac{1}{2}=\frac{17}{4}$,
$\therefore |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$.
$\therefore \Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=25-8=17$.
(2)由根与系数的关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-(-\frac{5}{2})=\frac{5}{2}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,$\therefore x_1x_2^2+x_1^2x_2=x_1x_2(x_1+x_2)=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{5}{4}$.
$\because (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{5}{2})^2-4×\frac{1}{2}=\frac{17}{4}$,
$\therefore |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$.
10.「2026河北张家口桥东期末，★★☆」已知点$(m,n)$在第四象限，若$m,n$分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（
A.$x^2 + x - 2025 = 0$
B.$x^2 - x - 2025 = 0$
C.$x^2 - x + 2025 = 0$
D.$x^2 + x + 2025 = 0$
B
）A.$x^2 + x - 2025 = 0$
B.$x^2 - x - 2025 = 0$
C.$x^2 - x + 2025 = 0$
D.$x^2 + x + 2025 = 0$
答案
10.B 由题意可知$m＞0$,$n＜0$.分析每个方程中两根之和与两根之积,A.$m=-1＜0$,$n=-2\ 025＜0$,不符合题意;B.$m=1＞0$,$n=-2\ 025＜0$,符合题意;C,D选项中的方程均无实数根,不符合题意.故选B.
11.「2026江苏苏州月考，★★☆」若一个一元二次方程的两根分别是方程$x^2 -5x -6=0$的两根的相反数，则这个一元二次方程可以为（
A.$x^2 -5x +6=0$
B.$x^2 +5x +6=0$
C.$x^2 +5x -6=0$
D.$x^2 +6x -5=0$
C
）A.$x^2 -5x +6=0$
B.$x^2 +5x +6=0$
C.$x^2 +5x -6=0$
D.$x^2 +6x -5=0$
答案
11.C 设方程$x^2-5x-6=0$的两根分别为$a$和$b$,易得$a+b=5$,$ab=-6$,所以$(-a)+(-b)=-(a+b)=-5$,$(-a)(-b)=ab=-6$,所以所求的方程可以为$x^2+5x-6=0$.故选C.
12. 学科特色多解法「2026上海闵行期中，★★☆」写出一个一元二次方程，使它有一个根为2，且两根之和是$-\frac{9}{2}$，这个一元二次方程是
$2x^2+9x-26=0$(答案不唯一)
（写出一个即可）答案
12.答案 $2x^2+9x-26=0$(答案不唯一)
解析 设该一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$,另一个根为$m$.
【解法一】由题意得$-\frac{b}{a}=2+m=-\frac{9}{2}$,解得$m=-\frac{13}{2}$,$\therefore$ 两根之积为$\frac{c}{a}=2×(-\frac{13}{2})=-13$.取$a=2$(方便消除分母),则$b=-2×(-\frac{9}{2})=9$,$c=2×(-13)=-26$,故方程为$2x^2+9x-26=0$.(答案不唯一)
【解法二】由题意得$-\frac{b}{a}=2+m=-\frac{9}{2}$,解得$m=-\frac{13}{2}$,$\therefore$ 所求的方程可以是$(x-2)(x+\frac{13}{2})=0$,即$x^2+\frac{9}{2}x-13=0$,整理,得$2x^2+9x-26=0$.(答案不唯一)
解析 设该一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$,另一个根为$m$.
【解法一】由题意得$-\frac{b}{a}=2+m=-\frac{9}{2}$,解得$m=-\frac{13}{2}$,$\therefore$ 两根之积为$\frac{c}{a}=2×(-\frac{13}{2})=-13$.取$a=2$(方便消除分母),则$b=-2×(-\frac{9}{2})=9$,$c=2×(-13)=-26$,故方程为$2x^2+9x-26=0$.(答案不唯一)
【解法二】由题意得$-\frac{b}{a}=2+m=-\frac{9}{2}$,解得$m=-\frac{13}{2}$,$\therefore$ 所求的方程可以是$(x-2)(x+\frac{13}{2})=0$,即$x^2+\frac{9}{2}x-13=0$,整理,得$2x^2+9x-26=0$.(答案不唯一)
13.「★★☆」若一个二次项系数为1的一元二次方程的两根$x_1,x_2$满足下列关系：$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 2 = 0$，$x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 5 = 0$，则这个一元二次方程为
$x^2-x-3=0$
。答案
13.答案 $x^2-x-3=0$
解析 由题意得$\begin{cases}x_1x_2+x_1+x_2+2=0,\\x_1x_2-2(x_1+x_2)+5=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1x_2=-3,\\x_1+x_2=1,\end{cases}$
$\because$ 该一元二次方程二次项系数为1,$\therefore -\frac{b}{1}=1$,$\frac{c}{1}=-3$,
$\therefore b=-1$,$c=-3$,$\therefore$ 该方程为$x^2-x-3=0$.
解析 由题意得$\begin{cases}x_1x_2+x_1+x_2+2=0,\\x_1x_2-2(x_1+x_2)+5=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1x_2=-3,\\x_1+x_2=1,\end{cases}$
$\because$ 该一元二次方程二次项系数为1,$\therefore -\frac{b}{1}=1$,$\frac{c}{1}=-3$,
$\therefore b=-1$,$c=-3$,$\therefore$ 该方程为$x^2-x-3=0$.
